利用耦合系统自由振动响应识别结构被控模态和TMD参数

温青 华旭刚 王修勇

摘要： 准确从安装TMD后的结构-TMD耦合系统中识别结构被控模态和TMD参数是TMD现场调试的必需条件。针对TMD现场调试中参数识别问题，提出了一种通过结构-TMD耦合系统自由振动试验识别结构被控模态的模态质量、频率和阻尼比以及TMD频率和阻尼比的方法。该方法首先采用随机子空间算法评估耦合系统的离散状态空间模型，然后将其减缩和转化为结构被控模态和TMD耦合的两自由系统连续状态空间模型;最后，利用连续状态矩阵，识别结构被控模态的模态质量、频率和阻尼比以及TMD频率和阻尼比。数值分析研究结果表明：1）该方法抗噪能力强;2）TMD与原结构各模态耦合越强，质量比识别结果误差越大，其他参数识别结果均满足工程要求。通过单层框架结构试验研究，验证了该方法的可行性。

关键词： 参数识别; TMD-结构耦合系统; 模态分析; 状态空间; 自由振动测试

中图分类号： TU311.3; TU352.1 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2019）04-0565-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.002

引 言

舒适性是结构设计的重要指标，结构的大幅振动会引起人体不适甚至心理恐慌。因此，对于存在大幅振动的结构，需要采取控制措施，抑制结构振动。安装调谐质量阻尼器（TMD）减振系统是一种常见的提高结构舒适性的被动耗能减振方法。该方法已经广泛应用于人行桥人致振动控制和高耸结构风致振动控制，如葡萄牙Pedro e Inês人行桥[1]、绵阳一号桥人行桥[2]、合肥跨怀宁路人行桥[3]、台北101大楼[4]、广州电视塔[5]、上海中心大厦[6]等。

根据控制目标的不同，采用相应的TMD参数优化设计方法，设计TMD的质量、频率和阻尼比[7]。然而，不管采用何种参数优化方法，准确获得结构的模态质量、频率和阻尼比，以及准确调试TMD的频率和阻尼比是保证TMD减振效率的关键。在实际工程中，结构的模态质量常采用有限元方法评估，试验方法通常采用强迫振动试验，该方法能有效评估结构的模态质量[8]，但是该方法需要专门的激振设备，成本较高，且对大型结构不适用。结构的频率和阻尼比可以通过环境振动测试或自由振动测试评估[9-11]。用于TMD优化设计的结构模态参数应该为结构正常运营状态下的模态参数，然而，TMD的安装有时与结构的施工同步，用于TMD优化设计的结构动力参数无法事先准确获得，需要在安装TMD后测试结构模态参数，并据此对TMD进行调试。小型TMD可以在工厂组装好，能准确调试其频率和阻尼比，而大型TMD，如重达660 t的台北101大厦TMD[4]、重达1000 t的上海中心大厦TMD[6]等，或者安装于狭窄空间的TMD，如安装于桥梁钢箱梁内的TMD[2]，只能在现场组装，因此，TMD的频率和阻尼比有时需要在现场调试，TMD的参数偏离会影响减振效率[12]。

安装TMD后，结构和TMD构成一个耦合振动系统，传统的参数识别方法只能评估耦合系统的模态参数，而不能通过耦合系统的响应识别结构被控模态参数和TMD物理参数。安装于结构上，TMD既是一种减振装置，又可以作为一种激振装置。通过摇动TMD可以激励结构大幅振动。Porras等[13]提出了利用TMD作为振子的基于自由振动测试的结构模态质量识别方法。Hwang等[14-15]通过模型减缩方法，利用TMD的运动质量已知识别了结构的模态质量。但是，这些方法均没有讨论结构被控模态和TMD的频率和阻尼比识别。

鉴于此，本文提出了一种通过测试结构和TMD耦合系统的自由振动响应，识别结构被控模态的模态质量、频率和阻尼比以及TMD频率和阻尼比的方法。本文首先建立了結构-TMD耦合系统的自由振动的状态空间模型，提出了基于状态空间的参数识别方法;然后，采用数值方法，验证了提出方法的可行性，分析了不同TMD参数、噪声和结构模态耦合程度对识别结果的影响;最后，通过单层框架试验，验证了该方法的可行性。

在实际测试中，噪声不可避免。噪声分两部分模拟：1）零均值高斯白噪声激励，模拟环境激励，作用于结构上;2）测量噪声，用零均值高斯白噪声模拟，叠加在结构和TMD的响应上。噪声水平由噪信比R确定，R=σy/σx。R1为激励噪声，由仅在激励噪声作用下结构响应的均方根σy与无噪声时结构响应的均方根σx确定。R2为测试噪声，由测试噪声信号的均方根σy与无噪声时结构响应的均方根σx确定。

有噪声时，分析了不同噪信比对识别结构的影响。分析时，μ=1.00%，ζ0=6.09%，采样时长为12 s。图3为R1=10%和R2=10%时的稳态图。图中，有2条明显的稳定轴，对应的频率约为1.431和1.555 Hz，等于结构-TMD耦合系统的模态频率。由于采样时间太短，同一噪信比下，不同的噪声得到不同的结果，因此，对同一噪信比进行了1000个工况分析，识别的结果如表2所示。表中，识别结果表示为均值±均方根。识别结果表明，即使在较大的噪声干扰下，该方法也能较为准确地识别参数。在R1=20%和R2=20%内，识别的频率均值误差不超过0.1%，质量比均值误差不超过1.5%。识别的TMD阻尼比均值误差很小，而识别的结构阻尼比ζ1均值误差较大。由式（19）可知，ζ1的识别与ωr，μ，ζ0和ω0相关，因此，这些参数的识别误差都会传递给ζ1，导致其识别误差较大。随着噪信比的增大，识别结果的离散性越来越大。激励噪声是影响参数识别精度的主要原因。

2.2.1 多点弹性支撑连续梁

多点弹性支撑连续梁模型如图4所示。该结构跨径12 m，跨中均布的23个刚度k均为200 N/m的弹簧。主梁为宽0.1 m、高0.012 m的矩形钢板，钢材的密度ρ=7850 kg/m3，弹性模量E=2.06×1011 Pa，主梁的抗弯惯性矩I=0.144×10-7 m4。结构的阻尼采用Rayleigh阻尼模拟，即C=αM+βK，其中M为结构的一致质量矩阵，K为刚度矩阵。设定第2阶和第4阶的模态阻尼比均为0.50%，反推Rayleigh阻尼常数，得：α=0.0582，β=3.4897×10-4。结构的动力特征如表3所示。结构各阶模态质量均为56.5 kg。模态振型为简谐函数曲线。

在结构跨中安装一个TMD控制结构的第1阶模态。 质量比取1%， TMD质量为0.565 kg， 按照最大位移最小化方法，设计TMD最优频率和阻尼比分别为1.045 Hz和6.09%。TMD刚度k0为24.347 N/m，阻尼系数c0为0.4 N·s/m。安装TMD后，结构-TMD耦合系统的模态特征如表3所示。安装TMD后，在原结构第1阶模态的附加出现两阶模态，且这两阶模态的阻尼比很大。TMD与原结构其他模态耦合程度很小。

2.2.2 TMD频率对识别结果的影响

不同TMD频率下识别的结果如表4所示。频率比为TMD的频率与结构被控模态频率的比值。由表4可知： （1）TMD的频率显著影响质量比的识别结果，TMD频率偏离结构频率越大，质量比识别误差越大;（2）TMD频率偏离略微影响结构频率的识别;（3）TMD频率偏离基本不影响TMD频率、阻尼比以及结构阻尼比的识别精度。当TMD频率与结构被控模态频率接近时，能获得更好的识别结果。

2.2.3 模态耦合程度对识别结果的影响

在理论推导过程中，由式（4）推导式（6）时，引入了假设：耦合系统中原结构第n个自由度位置的位移仅有第r阶模态参与，即xn=φnrqr。对于单自由的结构，该假设显然成立;而对于多自由度系统，结构各位置的响应通常为多模态叠加，该假设不成立。因此，本节分析了多模态振动和模态耦合程度对识别结果的影响。

首先，分析了多模态振动对识别结果的影响。多模态状态通过调整结构初始位移实现。令TMD初始位移x00为0.01 m，结构1/4跨初始位移xQ0分别为0.000，0.005，0.010和0.020 m，TMD和结构初始速度均为0。不同初始条件下结构的功率谱如图 5所示。由图可知：随着1/4跨位置初始位移增大，主梁跨中位移响应高阶模态参与程度越来越高。不同的多模态参与下，各工况识别结果如表 5所示。由表可知，多模态振动对识别结果没有影响。

然后，通过改变TMD安装位置，分析了耦合程度对识别结果的影响。TMD布置于跨中时，TMD只与原结构奇数阶模态发生耦合，耦合程度最小。将TMD布置于其他位置时，TMD会与更多的原结构模态耦合。将TMD布置于跨中，识别了原结构的第1阶和第3阶模态，将TMD布置于1/4跨识别了原结构第2阶模态，将TMD布置于1/8跨识别了原结构第4阶模态。识别结果如表 6所示。表中，识别的原结构第2阶和第4阶模态的质量比误差明显大于第1和第3阶模态。

通过以上的分析可知：結构多模态振动不影响参数的识别结果，即耦合系统的振动形式不影响识别结果，但是，TMD与原结构的模态耦合程度会影响质量比的识别，对其他参数的识别影响很小。本文提出的方法使用耦合系统的模态参数重构状态矩阵，再由状态矩阵识别参数。系统的多模态振动不会改变耦合系统的模态参数特征，因此，多模态振动不影响参数识别。然而，不同的耦合程度，耦合系统的模态参数不同，导致评估的状态矩阵不同，因此，耦合程度影响识别结果。由仿真分析可知：TMD与结构耦合的模态越少，识别的质量比精度越高。

3 单层框架结构试验研究

在试验室进行了如图 6所示单层框架结构和TMD系统试验研究。单层框架结构可以视为一个单自由度的系统，通过在结构的平台上增减质量可以调整结构的模态质量。TMD采用悬臂梁结构，如图 7所示。悬臂梁一端固定一个集中质量块，另一端固结在底座上。TMD的频率通过改变悬臂长度调节。为了调节TMD的阻尼，安装了电涡流阻尼装置，因为阻尼装置与质量块之间无接触，阻尼装置不提供附加刚度，不会改变TMD的频率。

通过调整结构和TMD的质量改变质量比，通过调整铜板和永磁体的距离改变TMD的阻尼比，试验了2种质量比和3种TMD阻尼比共6种工况。结构的模态质量采用理论方法计算，1#结构和2#结构的模态质量分别约为17.90和27.90 kg。TMD的模态质量通过称重直接获得，约为0.19 kg。根据结构和TMD的质量，计算了质量比，分别为1.06%和0.68%。耦合振动试验前，将结构和TMD分离，通过自由振动测试，分别识别了结构和TMD的频率和阻尼比，如表7所示。图8为实测分离状态下结构和TMD的自由振动位移响应。

采用本文提出的方法，识别了6种工况下质量比、结构和TMD的频率和阻尼比，识别结果如表 8所示。图 9为工况1b结构-TMD耦合系统的自由振动时程曲线。本试验在室内实验室完成，试验时，周边环境十分安静，地面振动极小，所有测试仪器均接地线，动态数据采集仪器采用DH5920。另外，试验时，结构位移较大。从实测数据看，总噪声水平很小。通过表7和8比较表明：该方法在不同的质量比和TMD阻尼比条件下都能准确识别质量比、结构和TMD的频率和阻尼比。

本文提出了一种基于结构和TMD耦合系统自由振动试验的结构被控模态模态参数和TMD物理参数识别方法。通过数值仿真和试验研究分析了该方法的可行性和适用性。研究结果表明：1）该方法理论推导正确，能有效识别结构被控模态和TMD参数;2）TMD频率与结构被控模态频率越接近，识别质量比越可靠;3）TMD与结构的耦合程度影响质量比的识别，耦合程度越小，识别的质量比越可靠;4）单框架结构试验验证了该方法可行。

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Abstract： Accurate identification of the structural modal parameters and TMD physical parameters based on the vibration tests of the structure-TMD coupled system is necessary for in-situ TMD tuning. In this paper， a method is proposed to identify modal mass， frequency and damping ratio for the structural controlled mode and frequency and damping ratio of TMD from the free vibration tests of the structure-TMD coupled system. The flowchart of the proposed method is as follows： first， the discrete state matrix is estimated by stochastic subspace identification; then， a reduced two degrees-of freedom state space model of structural controlled mode and TMD coupled system is estimated; finally， the corresponding parameters are identified from the state space estimated. Numerical analysis was studied and it indicates that： 1） the proposed method is strong in robustness， 2） and the stronger of coupling in the structure and TMD， the worse of estimation of mass ratio， but the estimation of the other parameters is of high accuracy. Experimental tests were performed on a single-story frame structure to evaluate effectiveness of the method.

Key words： parameter identification; structure and TMD coupled system; modal analysis; state space; free vibration test

作者簡介： 温 青（1985-），男，博士，讲师。 E-mail： cewenq@hnust.edu.cn