非线性二阶脉冲微分方程解的正性的缺失

汪婷婷， 范虹霞

(兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070)

脉冲微分方程描述的是系统状态在某一时刻突发改变的过程，对其基础理论进行研究的文章已有很多，期间脉冲微分方程边值问题的研究也受到越来越多的关注[1-6]。在现有文献中，大多数学者致力于讨论脉冲微分方程正解的存在性，如文献[1]中，Feng和Xie利用锥压缩与锥拉伸不动点定理讨论了二阶脉冲微分方程m点边值问题的多个正解的存在性。而对脉冲微分方程边值问题非零解存在性的研究，却很少有学者关注。

2009年，文献[7]研究了二阶常微分方程边值问题

非零解的存在性，其中α和β是正参数。

受文献[7]的启发，本文主要研究下列二阶脉冲微分方程边值问题

(1)

本文的主要工作是讨论当参数α或β增大时，相应积分方程的核函数的符号改变情况，并结合不动点定理给出问题(1)非零解的存在性，推广了文献[7]的结果。其他有关脉冲微分方程解的研究可参见文献[8-14]。

以下列出本文要用到的假设条件：

(H1) 1+βη>β；

(H2) 1-αξ>0；

(H3) 1+βη<β；

(H4) 1-αξ<0；

(A1) 1+βη≥β；

(A2) 1-αξ≥0。

1 预备知识

设J′=J{t1,t2,…,tn}。定义空间

本文主要结果的证明要用到以下的定理和相关引理。

(ⅰ) ‖Au‖≤‖u‖，∀u∈P∩∂Ω1，‖Au‖≥‖u‖，∀u∈P∩∂Ω2；

(ⅱ) ‖Au‖≤‖u‖，∀u∈P∩∂Ω2，‖Au‖≥‖u‖，∀u∈P∩∂Ω1；

引理1 设Δ=α(1+βη)+β(1-αξ)，f∈C([0，1]×(-∞，+∞)，[0，+∞))，Ik∈C((-∞，+∞)，[0，+∞))，则u∈PC1[0，1]∩C2(J′)是问题(1)的解当且仅当u是下列脉冲积分方程

(2)

的一个解，其中

(3)

证明必要性。

设u∈PC1[0，1]∩C2(J′)是问题(1)的解，对问题(1)中的方程两端积分可得：

(4)

对上式再次积分，可以得到：

(5)

在(4)式中，令t=1，并结合边值条件易得：

(6)

在(5)式中，分别令t=ξ，t=η，并结合(6)式有：

(7)

(8)

将(7)式和(8)式代入(6)式中化简可以得到：

(9)

从而

(10)

结合(5)、(9)和(10)式化简易得：

其中

充分性。

设u(t)是脉冲积分方程(2)的解，则当t≠tk时，直接对(2)式求导得

引理2[7]设条件(H1)和(H2)成立，则k(t，s)在[0，1]×[0，1]上为正，并且满足下列性质(P)：存在一个可测函数φ：[0，1]→[0，+∞)，子区间[a，b]⊂[0，1]和常数c，使得|k(t，s)|≤φ(s)，t、s∈[0，1]，并且

|k(t,s)|≥cφ(s)，t∈[a,b]，s∈[0,1]。

注1 由文献[7]引理2.2的证明知，这里

引理3[7]设条件(H3)和(H4)成立，则k(t，s)在[0，1]×[0，1]上改变符号，并且满足性质(P)。

注2 由文献[7]引理2.3的证明知，这里

引理4[7]如果条件(A1)和(A2)成立，那么k(t，s)在[0，1]×[0，1]上是非负的，并且满足性质(P)；如果条件(A1)或(A2)之一不成立，那么k(t，s)在[0，1]×[0，1]上改变符号，并且满足性质(P)。

引理5 设条件(H3)和(H4)成立，则存在可测函数Ψ(s)：[0，1]→[0，+∞)，使得

证明由(3)式，有

其中

情形1s≤η。若s≤ξ，s≤t，则

若s≤ξ，s>t，则

若s>ξ，s≤t，则

若s>ξ，s>t，则

情形2s>η。若s>ξ，s≤t，则

若s>ξ，s>t，则

2 主要结果及证明

定理1 设(H3)和(H4)成立，f∈C([0，1]×(-∞，+∞)，[0，+∞))，Ik∈C((-∞，+∞)，[0，+∞))，且在[0，1]的任意子区间上f(t，u)≢0。此外，设f和Ik满足下列条件：

则边值问题(1)至少存在一个解u(t)，满足u(t)>0，t∈[a，b]。

定义算子A：P→P

(11)

显然，问题(1)的解u(t)是算子A的不动点，可以验证A：P→P是全连续算子。

事实上，∀u∈PC1[0，1]，有Au∈PC1[0，1]。由引理3和(11)式容易得到

且

由引理3、引理5和(11)式可求得

因此，∀u∈P，Au∈P，A是P→P的保锥算子。下面说明A是全连续算子。

显然算子A连续，容易验证算子A映射P中的有界集为有界集且A在每个区间(tk，tk+1)(k=0,1,2,…,n)上等度连续，由广义的Arzela-Ascoli定理可知A是全连续算子。

令Ω1={u∈PC1[0,1]：‖u‖PC1

从而‖Au‖≤‖u‖PC1。

又

则有‖Au′‖≤‖u‖PC1。所以

‖Au‖PC1≤‖u‖PC1，u∈P∩∂Ω1。

(12)

因此‖Au‖≥‖u‖PC1。于是，

‖Au‖PC1≥‖u‖PC1，u∈P∩∂Ω2。

(13)

所以‖Au‖≥‖u‖PC1，从而‖Au‖PC1≥‖u‖PC1，u∈P∩∂Ω2。

定理2 设(H3)和(H4)成立，f∈C([0，1]×(-∞，+∞)，[0，+∞))，Ik∈C((-∞，+∞)，[0，+∞))，且在[0，1]的任意子区间上f(t，u)≢0。此外，设f和Ik满足下列条件：

则边值问题(1)至少存在一个解u(t)，满足u(t)>0，t∈[a，b]。

类似定理1和定理2的讨论，由引理2可知，问题(1)至少存在一个解u(t)，且满足u(t)>0，t∈[a，b]。同理，由引理4可以分别得到两个解的存在性定理，此处不再赘述。

3 应用

例考察下列二阶脉冲微分方程边值问题

(14)