变式例题 引导学生探究

季新兵

摘 要：新课程改革的不断深化，对学生的评价也随之发生了巨变。从注重评价学生知识的掌握到注重培评价学生能力的发展。《新课程标准》指出：教学中应当有意识有计划的设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。

变式例题，是一个非常好的切入点。教师在平时的课堂教学中要让学生多体验数学的探究过程。教师可根据例题的特点，对例题由特殊到一般，或将例题的条件与结论交换，或者改变例题条件，弱化条件等，引导学生作深入的探究，提高分析问题，解决问题的能力。

课堂实践与体会

例题1：设sn是等比数列的{an}的前n项和，若s3，s9，s9成等差数列，证明a2，a8，a5成等差数列。

此题的证明比较简单，学生大都可以独立完成证明。将此题由特殊到一般进行变化，引导学生探究。

探究1 设sn是等比数列的{an}的前n项和，若sk，s3k，s2k（k∈N*，k≥2）成等差数列，证明ak-1，a3k-1，a2k-1成等差数列。

交换该例题的题设与结论，引导学生进一步探究

探究2 设sn是等比数列的{an}的前项和，其公比q≠1，若ak-1，a3k-1，a2k-1（k∈N*，k≥2）成等差数列，证明sk，s3k，s2k也成等差数列。

由上述两题的证明，可引导学生进一步得出结论：

设sn是等比数列的{an}的前n项和，其公比q≠1，sk，s3k，s2k（k∈N*，k≥2）成等差数列的充要条件是ak-1，a3k-1，a2k-1成等差数列。

这一组例题的设计，先易后难，逐级而上。第一组题起点低，按课堂最低要求设计，适宜整体学生的学习水平的提升。随着问题的一步步深入，内容上由易变难，方法上由死变活。不断激发学生的学习欲望，使得一部分高层次学生的知识和能力得到潜移默化的提高。

例题2、过椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的中心O作互相垂直的两条弦，与椭圆交于点A、B。求证：1/|OA|2+1/|OB|2为定值。

变式1：双曲线C1：2x2-y2=1与椭圆C2：4x2+y2=1，点M、N分别为C1，C2上的动点，且OM⊥ON（O为原点）。求证：点O到直线MN的距离为定值。

变式2、双曲线2x2-y2=1，设斜率为k的直线l交双曲线于P、Q两点，若直线l与圆x2+y2=1相切，求证：∠POQ为定值。

通过例（2），学生掌握解题规律、方法，并把它运用到变式1变式2同一类题目的解决过程，使解题方法得到迁移，形成技能技巧。

例题3：已知抛物线y2=2px（p>0），O为坐标原点，过点（2p，0）作直线与抛物线交与A，B两点，求证：OA⊥OB。

该题学生只要正确设直线方程，证明OA⊥OB即可。属于基础题。

探究1：已知抛物线y2=2px（p>0）过其顶点O做两条弦OA，OB，交抛物线于A，B两点，使得kOA·kOB=-1，试证明直线AB过定点。

探究2：若将点O改为过抛物线上任一点P（x0，y0），作两条互相垂直的弦PA，PB，则直线AB是否过定点？

探究3：如果将条件改为过抛物线顶点，作两条弦OA，OB，使得kOA·kOB=m，m为非零常数，则直线AB是否过定点？

探究4：更一般化，将条件改为过抛物线上任一点P（，）作两条弦PA，PB，使得kPA·kPB=m，m为非零常数，则直线AB是否过定点。

探究1：过定点（2p，0）          探究2：过定点（2p+x0，-y0）

探究3：过定点（-2p/m，0）    探究4：过定点（-2p/m+x0，-y0）

这一组例题，既有联系，又有区别。学生做完这一组习题后，引导学生反思一下，到底解题关键是什么，自己的障碍和困难在哪里。有哪些收获。进一步引导学生观察，比较揭示隐藏在这一组习题中的一般方法，推广为同一类对象的普遍性质，揭示解题规律，提高分析、探索能力和创新能力。

变式例题，加大了课堂容量，提高了课堂效率，使各个层次的学生都有所提高。通过对例题进行多角度、多方面的变式探索研究，有意识的引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，不仅能加深学生对概念的理解，形成完整的知识结构，培养学生举一反三，触类旁通的变通能力，促进知识的迁移。还能提高学生学习数学的兴趣，激活个人的智慧，锻炼学生的思维能力和创造能力。

参考文献：

[1]《一道例题的变式探究》 作者 黃传峰   新课程研究教师教育2013年第4期.