牵线反比例，搭桥相似形

冯安同

问题引入如图1所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点B坐标为（8，4）.点M是边BC上的一个动点（不与B，C重合），反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图像经过点M且与边AB交于点N，点M在运动的过程中，线段BM，BN，BC，BA四条线段有何比例关系？

探究1若M为BC的中点，点N是AB的中点吗？

分析由点B坐标（8，4）及点M为边BC的中点，易得点M坐标为（4，4），代入反比例函数关系式y=kx，求得 k=16.将N点横坐标x=8代入y=16x得y=2，则点N（8，2）是边AB的中点.

这时BMBC=BNBA=12.

探究2若BM=14BC，那么BN=14BA吗？

分析由点B坐标（8，4）及BM=14BC，易得点M坐标为（6，4），代入反比例函数关系式y=kx，求得k=24.将N点横坐标x=8代入y=24x得y=3，所以点N坐标是（8，3），所以BN=1，又因为AB=4，那么BN=14BA.

這时BMBC=BNBA=14.

由前面的探究我们知道：

① 当M是BC的中点时，点N是AB的中点，这时BMBC=BNBA，即BMBN=BCBA;

② 当BM=14BC，BN=14BA，同样有BMBC=BNBA，也能得到BMBN=BCBA.

那么点M在运动的过程中，BMBN=BCBA具有普遍性吗？

探究3在点M的运动过程中，试说明：BMBN=BCBA.

分析由y=kx及点M的纵坐标y=4，可得x=k4，所以BM=8-k4.同样由y=kx及点N的横坐标x=8，可得y=k8，所以BN=4-k8.

这样BMBN=8-k44-k8=14（32-k）18（32-k）=2.

由于BCBA=84=2，这样BMBN=BCBA.

结论通过探究3我们发现：点M在运动的过程中，存在BMBN=BCBA.

那么上述结论有什么作用呢？

例1如图2所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点B坐标为（8，4）.点M是边BC上的一个动点（不与B，C重合），反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图像经过点M且与边AB交于点N，连接MN，AC，试证明MN∥AC.

分析由探究3的结论知道，在运动的过程中有BMBN=BCBA，又因为∠MBN=∠CBA，所以△MBN∽△CBA，所以∠BMN=∠BCA，从而证得MN∥AC.

例2如图3所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点B坐标为（8，4）.点M是边BC上的一个动点（不与B，C重合），反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图像经过点M且与边AB交于点N，将△BMN沿MN折叠，点B恰好落在边OA上的点G处，求此时反比例函数的解析式.

分析由探究3知，BMBN=BCBA=84=2，

过点M作MD⊥OA于D，

∴MD=OC=4，∠MDG=∠GAN=90°，

∴∠MGD+∠DMG=90°.

由折叠知，MG=MB，NG=NB，∠MGN=∠B=90°，

∴∠MGD+∠AGN=90°，

∴∠DMG=∠AGN.

∵∠MDG=∠GAN=90°，

∴△MDG∽△GAN，∴MDAG=MGGN=BMBN.

又∵BMBN=BCBA=2，∴4AG=2，∴AG=2.

设AN=a，则GN=BN=4-a.

在Rt△NAG中，NG2-AN2=AG2，

∴（4-a）2-a2=22，∴a=32，

∴点N坐标为8，32，∴k=8×32=12，

∴反比例函数解析式为y=12x.