微分中值命题一般证法的改进

张萸 李德新

【摘要】本文给出证明微分中值命题时构造辅助多项式的一般公式，构造“等值多项式”并加以应用.

【关键词】等值多项式法;微分中值问题

【基金项目】福建农林大学本科教学改革研究项目（111418150），福建农林大学公共数学教学团队建设（111416037），福建农林大学高等数学教学团队建设（111416007）.武汉纺织大学研究生教育教学项目（编号201901004、201901008）.

一、引言

古典的微分中值定理通常包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理、柯西中值定理和泰勒定理等.它们在理论上和实际应用中都极为重要，而相关命题的证明技巧性极强，因此，成了一个热门的课题[1].在证明过程中，如何巧妙地构造辅助函数，应用哪个中值定理，常常困扰我们.文[2]中提出构造辅助多项式方法，可以将所有问题归结于Rolle中值定理证明，并给出了低阶的多项式系数.文[3]中，虽然提出了一般通式，但是局限在区间端点处.本文中提出一个更加简单的形式，利用构造的“等值多项式”，来解决f（n）（ξ）=k（常数）这一类复杂的证明.

二、等值多项式的构造

定义1任给定义在[a，b]的函数f（x），存在n阶多项式.

Pn（x）=cnxn+…+c1x+c0.

若Pn（x）与f（x）的n+1个数值相等，其中，该数值可以是函数值或任意非n阶的导数值，我们称其为等值多项式.

引理1若存在等值多项式

P（x）=∑mi=0f（i）（x0）i！（x-x0）i+∑n-1i=m+1cii！（x-x0）i+kn！（x-x0）n，则P（n）（ξ）=k.

证明P（n）（x）=kn！·n！=k，故P（n）（ξ）=k.

引理2若多项式P（x）与f（x）存在n+1个函数等值点，则至少存在n+1-k个k阶导数的等值点（其中，k=0，…，n-1）.

证明设F（x）=P（x）-f（x），不妨设n+1个函数等值点为x0i（i=0，1，…，n）.

在（x00，x01）上，F（x）满足罗尔中值定理，故x10∈（x00，x01），使得F′（x10）=0….

同理，在（x0，n-1，x0，n）上，x1，n-1∈（x0，n-1，x0，n），使得F′（x1，n-1）=0.

于是，得到n个一阶导数的等值点x1i（i=0，1，…，n-1）.

在（x1i，x1，i+1）上，利用罗尔中值定理，可以得到类似的n-1个2阶导数的等值点x2i（其中，i=0，1，…，n-2）.

依次类推，反复利用罗尔中值定理，可以得到n+1-k个k阶导数的等值点xk，i（其中，i=0，1，…，n-k）.

引理3若多项式P（x）与f（x）至少存在n+1-k个k阶导数的等值点，且F（x）=P（x）-f（x），则至少存在一个点ξ，使得F（n）（ξ）=0.

证明由引理2，当k=n-1时，则至少存在2个n-1阶导数的等值点xn-1，i（其中，i=0，1），即F（n-1）（xn-1，0）=F（n-1）（xn-1，1）.

在（xn-1，0，xn-1，1）上，F（n-1）（x）满足罗尔中值定理，故ξ∈（xn-1，0，xn-1，1），使得F（n）（ξ）=0.

定理1任给定义在[a，b]的函数f（x），存在等值多项式P（x）.

P（x）=∑mi=0f（i）（x0）i！（x-x0）i+∑n-1i=m+1cii！（x-x0）i+kn！（x-x0）n，

则至少存在一个点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）=k.

证明1）由引理1，得P（n）（ξ）=k.

2）设辅助函数为F（x）=P（x）-f（x）.

分别考虑两种等值点的情况：

ⅰ）存在n+1个函数的等值点，由引理3，得至少存在一个点ξ，使得F（n）（ξ）=0，即f（n）（ξ）=P（n）（ξ）=k.

ⅱ）存在s个函数的等值点和t个k阶导数的等值点.其中，s+t=n+1，s≥2，t≥2，k≥1.

根据引理3，只要存在n+1-k个k阶导数的等值点，则F（n）（ξ）=0.

若s≤k，n+1-s≥n+1-k，条件中已经存在有t个（即n+1-s个）k阶导数的等值点.证明显然成立.

若s>k，由s个函数的等值点，根据引理2，至少得到s-k个k阶导数的等值点.

而s-k+t=n+1-k，所以至少存在n+1-k个k阶导数的等值点，由引理3得证.

三、等值多项式的应用

证明f（n）（ξ）=k的命题，只需要构造等值多项式.设P（x）=cnxn+…+c1x+c0，利用n+1个等值条件，求出n+1个待定系数即可.

但是，由于k=P（n）（ξ）=n！·cn只与P（x）最高次项系数有关，与P（x）的表达形式无关.因此，实际应用中，可以根据题目特点设定P（x）的特殊形式，以便尽快求出n+1个待定系数ci（i=0，1，2，…，n）.

给出以下较快找出P（x）的方法.

（一）题中只出现若干已知的函数值f（xi），无任何已知的导数值

选出一个简单点、中間点为x0，结合cn=kn！，可设（幂级数形式）

P（x）=f（x0）+∑n-1i=1cii！（x-x0）i+kn！（x-x0）n.

就有P（x0）=f（x0），P（n）（x0）=f（n）（x0），再结合其他等值条件求出n-1个待定系数ci（i=1，2，…，n-1）.

理论上，若还有n-1个不同点处的函数等值f（xi）（i=1，2，…，n-1），使得P（xi）=f（xi），则有n-1个线性方程

P（xi）=f（x0）+∑n-1i=1cii！（xi-x0）i+kn！（xi-x0）n，

根据范得蒙行列式，该方程组有解且有唯一解.

例1设f（x）∈C[a，b]，在（a，b）二阶可导，c∈（a，b），则ξ∈（a，b），使

f″（ξ）=2b-af（b）-f（c）b-c-f（c）-f（a）c-a.

法1（插值法）过三点（a，f（a）），（c，f（c）），（b，f（b））的二次拉格朗日插值多项式是

P（x）=（x-c）（x-b）（a-c）（a-b）f（a）+（x-a）（x-b）（c-a）（c-b）f（c）+（x-c）（x-a）（b-c）（b-a）f（b），

其中二次项系数为：

A=1（a-c）（a-b）f（a）+1（c-a）（c-b）f（c）+1（b-c）（b-a）f（b）.

该方法不论计算还是记忆，都是有难度的.

法2（幂级数形式）由P（c）=f（c），可设

P（x）=f（c）+c1（x-c）+c22（x-c）2.

再由P（a）=f（a），P（b）=f（b），

得f（c）+c1（a-c）+c22（a-c）2=f（a），f（c）+c1（b-c）+c22（b-c）2=f（b），

解得：c2=2b-af（b）-f（c）b-c-f（c）-f（a）c-a.

该方法需要求解2个待定系数，且求解相对较难.

法3选中间点x0=c，

结合k=2b-af（b）-f（c）b-c-f（c）-f（a）c-a，

可设P（x）=f（c）+c1（x-c）+k2（x-c）2.

再由P（a）=f（a），可知c1存在（无须具体求出）.

令F（x）=f（x）-P（x），则F（a）=F（c）=F（b）=0，由定理1得证.

（二）题中出现已知的最高阶导数值f（m）（x0）.

选高阶点为x0，结合k值，可设

P（x）=∑mi=0f（i）（x0）i！（x-x0）i+∑n-1i=m+1cii！（x-x0）i+kn！（x-x0）n，

就有P（i）（x0）=f（i）（x0）（i=0，1，…，m），再结合其他等值条件求出n-1-m个待定系数ci（i=m+1，m+2，…，n-1）.

特别地，若题目中出现最高阶导数f（n-1）（x0），则可直接构造（无未知的待定系数）

Pn（x）=∑n-1i=0f（i）（x0）i！（x-x0）i+kn！（x-x0）n，

就有P（i）（x0）=f（i）（x0）（i=0，1，…，n-1）.

例2设f（x）在[-1，1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0，求证：ξ∈（-1，1），使得f（ξ）=3.

证明选高阶点（也是简单点中间点）x0=0，结合k=3，可设

P（x）=f（0）+f′（0）x+c22x2+36x3=f（0）+c22x2+12x3.

再由P（-1）=f（-1）=0或P（1）=f（1）=1，

得c2=2-2f（0），于是

P（x）=f（0）+12-f（0）x2+12x3.

令F（x）=f（x）-P（x），则存在三个等值条件F（-1）=F（0）=F（1）=F′（0）=0，由定理1得证.

例3（泰勒公式）设f（x）在含a点的某开区间内有直到n+1阶的导数，求证：对区间内任何一点b，存在ξ（介于a和b之间）使得

f（b）=f（a）+∑ni=1f（i）（a）i！（b-a）i+f（n+1）（ξ）（n+1）！（b-a）n+1.

证明构造P（x）=f（a）+∑ni=1f（i）（a）i！（x-a）i+k（n+1）！（x-a）n+1，

其中

k=（n+1）！·f（b）-f（a）+∑ni=1f（i）（a）i！（b-a）i（b-a）n+1，

令F（x）=f（x）-P（x），则F（a）=F（b）=F′（a）=F″（a）=…=F（n）（a）=0.

再由定理1，存在ξ∈（a，b），使得

f（n+1）（ξ）=（n+1）！·f（b）-f（a）+∑ni=1f（i）（a）i！（b-a）i（b-a）n+1

泰勒定理得证.

该方法利用辅助函数F（x），将所有微分中值定理的命题统一利用罗尔定理证明，无须利用拉氏定理或泰勒公式.而该方法可以证明泰勒公式，使得中值定理的证明体系更加明晰，即罗尔定理证明一切.

若构造的多项式不能同时满足题中出现的n+1个等值条件，就意味着，不能利用这些数值点作为罗尔定理区间的端点.在这种情况下，要从题目中寻找其他的（未出现）的端点，如利用零点定理、介值定理、拉氏定理、积分中值定理的中值点，以及极值或最值点作为罗尔定理的区间端点.

【参考文献】

[1]匡继昌.高阶微分中值定理[J].北京教育学院學报，2014（3）：1-5.

[2]林鸿钊，李德新.证明微分中值命题的一般辅助多项式法[J].高等数学研究，2012（5）：13-15.

[3]林鸿钊，李德新.泰勒公式的一种新证法[J].高等数学研究，2013（5）：15-16.