基于改进CQPSO算法的压电陶瓷建模研究

刘 萍 王龙飞

(上海电力大学自动化工程学院 上海 200090)

0 引 言

随着微电子技术、通信技术和超精密加工等技术的飞速发展，研究领域对精密定位技术的要求越来越高。压电精密定位平台具有功耗小、响应快、驱动力大、位移分辨率高等优点，因此，该定位技术已经被应用于各领域。但由于压电陶瓷具有迟滞非线性特性，操作系统的精度与稳定性会受到不同程度的影响，国内外专家学者提出了相应的模型描述迟滞现象。德国物理学家Preisach提出通过并联多个独立的迟滞算子建立迟滞模型[1]，但是该模型多用于描述静态迟滞现象，其准确性多依赖于实验数据与算法。德国物理学家Prandtl和苏联物理学家Ishlinskii作出改进，提出PI模型[2]，但精度较差且上升与下降曲线必须对称。除了算子模型，微分方程模型亦可表征迟滞现象的内在规律，其中，Bouc-Wen模型[3]简洁高效，且由于该模型具有多样性和可跟踪性，其应用范围正在不断拓宽。近年来，众多学者相继提出了支持向量机模型、多项式和神经网络等现象迟滞模型。在智能结构精密控制领域，Hammerstein模型、模糊树模型也已被证明能够解决率相关迟滞现象。

Bouc-Wen模型是一种动态模型，能较好反映压电陶瓷的动态迟滞性。随着智能算法的兴起与发展，各类新兴算法尤其是群智能算法已经被广泛应用于Bouc-Wen模型的参数辨识。文献[4]将训练后的人工神经网络应用于Bouc-Wen模型辨识，并在钢丝绳隔振系统中得以验证。文献[5]采用基于多项式的Bouc-Wen模型建立不对称迟滞模型，并用改良的差分进化算法辨识模型，得到了比传统差分进化算法、粒子群算法更精确的拟合效果。甘杨俊杰[6]以Bouc-Wen模型为基础，使用遗传算法(GA)对阻尼器示功曲线进行参数辨识。文献[7]改进了萤火虫算法(MFA)，该算法相比于普通算法更适用于Bouc-Wen模型参数辨识。文献[8]将混沌算子引入传统PSO算法以改善局部收敛的问题，在压电陶瓷执行器Bouc-Wen建模与辨识中达到较好的效果。文献[9]采用一种GSO群智能搜索算法对改进Bouc-Wen模型参数优化识别，得到良好的吻合结果。但是，随着对群智能算法研究的深入，上述算法的缺点逐渐暴露出来，如算法结构复杂、初值依赖度高、早熟收敛等。

传统PSO算法具有易陷入局部最优的缺点，量子粒子群算法大大改善了这一缺点，但其在高维问题优化中收敛速度和收敛效果方面不佳，因此，混沌量子群算法(CQPSO)逐渐发展起来。其中，Logistic映射是一种最为常用的混沌映射。文献[10]采用全同粒子系更新粒子位置，并将空间混沌思想运用于新算法以优化三维姿态参数，取得了较好效果。文献[11]以混沌序列初始化粒子位置并引入适应度多样性反应种群多样性判断早熟，同样地，文献[12]运用正弦混沌序列提高初始化粒子位置的遍历性及种群多样性。文献[13]则在量子更新参数基础上引入混沌优化算法，提出了基于混沌量子粒子群算法的FHN神经元UWB-IR信号检测方法。文献[14]从混沌思想初始化种群、自适应激活机制和精英粒子混沌局部搜索策略3个方面进行优化，并引入多核并行计算技术以降低计算时间，提出了并行混沌量子粒子群算法。文献[15]提出一种基于量子粒子群和Logistic混沌映射相结合的优化算法CQPSO，以计算精英个体适应值方差的方式提高了搜索效率。上述文献在提高种群多样性方面均做出一定贡献，但尚不具备完善的早熟判断机制，且在提高算法效率和精度上的改进都较少。

本文选取Bouc-Wen模型对压电陶瓷精密定位平台进行建模，提出“早熟系数”的概念判断QPSO算法收敛情况，并引入Logistic混沌算子结合变尺度法空间搜索(Mutative Scale Space Search， MSSS)促进算法全局收敛，同时可以提高算法高维问题寻优效率。

1 Bouc-Wen模型

1967年，Bouc[3]首次提出Bouc模型，后又针对此模型进行改进，将其应用于更一般的迟滞系统，而后Wen[16]于1976年又对模型进行了扩充。Bouc-Wen模型作为一种半物理微分方程模型，最早用于描述迟滞现象，此模型经验证可以应用于更一般的情况。此后，更多学者相继提出多种扩展Bouc-Wen模型。Low等学者证明，Bouc-Wen模型具有表征压电陶瓷迟滞现象的良好特性，其数学表达式如下：

(1)

式中:h(t)为迟滞变量，kv为静态增益，v(t)、(t)表示迟滞系统的输入电压及其导数，y(t)表示系统的输出位移，系数α、β、γ影响迟滞环的大小和形状，系数n决定从弹性到塑性过渡过程中的光滑程度。

2 量子粒子群算法与混沌映射

2.1 量子粒子群算法

PSO算法最早由美国学者Kennedy和Eberhart提出[17]，该算法模拟鸟类觅食在解空间搜索最优解。随后，诸多专家学者将PSO算法广泛应用于优化领域，相继发现其早熟收敛的缺点，文献[18-19]很快证明了其早熟特性。因此，由于量子巨大的计算能力及随机状态，QPSO算法很快被提出，该算法优化能力显著，具有较高的研究价值。

QPSO算法在迭代过程中引入了平均最好位置C作为评价，而用C点作为参考点时，粒子不能独立地向当前全局最优位置gbest聚拢，粒子间必须相互等待，这也相应地提高了算法的寻优能力[20]，其作用原理如图1所示。

图1 QPSO的等待效应

2.2 Logistic映射

1838年，Verhulst首次提出了生物种群的繁衍模型[21]，即Logistic映射，该模型实际是一个差分方程，具有复杂的动力学行为，其数学表达式如下：

xn+1=μxn(1-xn)
μ∈[0,4]x∈(0,1)

(2)

式中:μ是Logistic参数。该式也被称为虫口模型，从物理意义上来看，线性项μxn表示种群的平均增长率，而非线性项-μxn2表示环境资源对种群的制约。

当系统参数μ在[0, 3)、[3, 3.571 448)、[3.571 448,4]取值时，混沌系统分别表现出稳定状态、周期循环、混沌及逃逸四种态性。当μ∈[3.571 448,4]时，系统表现出极大的随机性，进入完全的混沌状态。

在众多随机搜索算法中，虽然随机数产生器(RNGs)已被各领域广泛应用，然而其收敛速度慢，且具有产生固定序列的特性。为了解决这个问题，Caponetto等提出以混沌序列产生器替代RNGs[22]。混沌优化算法(COA)是一种直接搜索算法，采用混沌变量在解空间内进行搜索。混沌变量在寻优过程中具有遍历性、随机性、规律性的特性，因此，混沌优化算法能够实现全局渐近收敛。

3 改进混沌量子粒子群算法

尽管QPSO算法优点显著，但是在处理高维复杂问题时收敛速度慢、易陷入局部最优。为了进一步提高QPSO算法的寻优能力，本文将一种混沌算子融入QPSO算法以提高全局收敛能力。Logistic映射作为一种常见的映射，被用以产生混沌变量对算法进行补偿。在大空间、多变量的优化问题中，大多数搜索策略耗时长、局部优化效果不够理想，针对该问题，本文提出一种改进混沌量子粒子群算法。

3.1 早熟判断机制

尽管粒子暂时找到局部最优解时，其他粒子通过局部吸引子迅速向其靠拢，导致整个算法陷入局部最优，该现象即“早熟”收敛现象。在群智能算法中，通常需要相应的早熟判断机制以避免算法陷入局部收敛[11，23]。目前常用的方式是通过计算适应度方差判断算法是否陷入局部收敛，该方法可判断出适应度值的离散分布情况，但不能简单将适应度值聚集等价于算法早熟。现采用一种数学方法判断优化对象的当前值是否陷入局部收敛，定义早熟系数pm为：

(3)

式中:fgbest是全局最优适应度值，mfit是粒子平均位置的适应度值。

当早熟系数连续多次大于某个常值，算法搜索设置早熟计数器counter进行计数，当counter达到设定上限，判断算法进入局部收敛。一旦激活早熟判断机制，采用Logistic映射产生混沌序列，启用混沌搜索策略，跳出局部收敛。

3.2 变尺度法空间搜索

变尺度法作为一种多元函数无约束优化的拟Newton法，是无约束最优化方法中最有效的方法之一，该法克服了收敛速度慢、计算量和储存量大的缺点[24]，被广泛应用于实际优化中，因此，本文将该搜索应用于改进算法中。

变尺度法利用迭代过程中的已知信息构造一个与Hesse矩阵近似的新矩阵，降低了计算复杂度，同时保持了牛顿法较快的收敛速度。这种方法以一次搜索的最优解为中心，通过不断缩小优化变量的搜索范围，实现局部精细搜索，同时改变二次搜索的调节系数，加快和提高收敛速度和收敛精度，其数学表达式为：

(4)

式中:i=1,2,…,n，n为优化变量的维数;r为精细搜索次数;xi*为当前最优解;ti(r)、bi(r)和ti(r+1)、bi(r+1)分别为第r次、第r+1次搜索的上下限；λ为尺度变换系数，其中，λ∈(0, 0.5)，在迭代过程中需动态设置λ的值，初始λ不宜太大以免错过全局最优解的邻域，在后期搜索过程中，逐步增大其值以加快收敛速度。

设粒子个数为M个，优化空间为D维，迭代次数为N次，则ICQPSO算法的迭代步骤如下：

(1) 初始化解空间内每个粒子i(1≤i≤M)的当前位置Xi(0)，并置个体最优位置Pi(0)为初始位置。

(2) 根据下式计算粒子平均个体最好位置：

(5)

式中:j(1≤j≤D)表示当前维数，t(1≤t≤N)表示当前迭代次数，Cj(t)是粒子平均个体最好位置。

(3) 对每个粒子i执行步骤4-步骤7。

(4) 计算粒子i当前位置Xi(t)的适应度值，比较Xi(t)与个体最优位置Pi(t-1)适应度值并更新Pi(t)。

(5) 比较Pi(t)与全局最优位置G(t-1)适应度值，并更新G(t)。

(6) 对于粒子i的每一维，根据下式得到一个随机点位置：

pi,j(t)=φj(t)·Pi,j(t)+[1-φj(t)]·Gj(t)
φj(t)～U(0,1)

(6)

式中:pi,j(t)为粒子i第j维的吸引子。

(7) 根据下式更新粒子位置：

Xi,j(t+1)=pi,j(t)±α|Cj(t)-Xi,j(t)|·ln[1/ui,j(t)]

ui,j(t)～U(0,1)

(7)

式中:α是收缩-扩张系数，ui,j(t)在区间(0, 1)均匀分布。

(8) 根据式(3)，在每次迭代中计算早熟系数pm，若pm>constant，counter+1，若pm≤constant，counter=0。

(9) 若counter>5，算法进入早熟收敛，根据式(4)变换尺度，得到新的搜索范围并实行混沌搜索，本文选择μ=4进行映射，直到找到新的全局最优位置G(t)。

(10) 若达到迭代中止条件，算法结束；否则，置t=t+1，并跳转步骤2。

4 实 验

本文采用哈尔滨溶智纳芯科技实验设备，具体如图2(a)、(b)所示，包括：分体三维纳米平台，最大输出电压150 V，理论最大输出位移20 μm；HAV系列模拟闭环控制器，输出直流电压-20～150 V。

模拟闭环控制器通过RS232串口与PC机连接建立通信，输入信号采用多频正弦信号，采样1 000组数据以验证模型与算法的有效性，实验的硬件连接如图2(c)所示。下式是对压电陶瓷输入的拟合与泛化电压信号，得到两组迟滞数据。

v(t)=3sin(2π·5t)+3sin(2π·3t)

(8)

v(t)=3.1sin(2π·5.1t)+3.1sin(2π·2.9t)

(9)

文献[6-7]分别采用GA算法与MFA算法以Bouc-Wen数学模型对压电精密定位平台进行建模，取得了较为理想的辨识结果，其中MFA对算法参数α、β、λ作出动态调整，但其迟滞模型均采用单一频率的电压输入，实现了较为简单的单环辨识。为了说明本文提出的改进算法的优越性，现将ICQPSO算法与这两种算法对多频动态迟滞环进行辨识与泛化效果的比较，将早熟系数pm设置为0.7，尺度变换系数λ根据当前迭代次数成比例动态设置，各算法种群规模设置为200，迭代次数设置为150次。

算法选取的适应度函数，即均方根误差指标(RMSE)如下式所示，该误差的数值越小表示观测值与真值的偏差越小。

(10)

图3是3种算法迭代150次的收敛过程，由收敛过程可以看出，GA算法初期收敛快速，具有一定的全局收敛能力，但在后期局部搜索中性能不佳；MFA算法初期收敛速度较慢，但随着迭代次数增加，逐步有效收敛至精确值；ICQPSO算法具有最强的全局收敛能力，并不断跳出局部收敛，迭代后期实现快速局部收敛。表1是ICQPSO与GA、MFA的参数辨识结果，表2是3种算法辨识的均方根误差、平均绝对误差(MRMSE与GRMSE、MMAD与GMAD)，ICQPSO算法拟合与泛化的结果均优于其他算法，而各算法MRMSE与GRMSE指标均十分接近，因此，采用Bouc-Wen模型建模的方法有效。

图3 迭代过程比较

算法αβγnkvGA7.0490.4310.1711.0000.987MFA5.9210.3900.0011.0981.001ICQPSO6.0040.4880.0101.0021.012

表2 拟合与泛化RMSE与MAD

图4与图5是上述3种算法拟合与泛化的结果对比。GA算法对动态迟滞环实现了基本拟合，但拟合全程误差稍大；MFA算法的拟合精确度进一步提高，但在主次环极值附近的拟合度不高；ICQPSO算法在全辨识过程中均表现出显著的拟合度。由于频率与幅值发生了变化，这一结果在泛化效果对比中体现得更加明显。该实验结果与指标RMSE结果相符，证明适应度函数选择恰当。

图4 拟合效果对比

图5 泛化效果对比

图6与图7是拟合与泛化的时间-误差对比曲线，分别显示了3种算法的辨识精度。在拟合阶段，GA、MFA、ICQPSO算法的平均绝对误差分别为0.450 9 μm、0.348 0 μm、0.300 9 μm，在泛化阶段，平均绝对误差分别为0.454 2 μm、0.349 0 μm、0.303 7 μm。该结果与前述结论相符，ICQPSO算法的辨识效果优于其他算法。

图6 拟合误差对比

图7 泛化误差对比

5 结 语

由于Bouc-Wen微分方程模型参数较多，利用该模型辨识迟滞曲线属于高维优化问题。本文在传统QPSO算法的基础上引入混沌映射，提高了算法的收敛能力，并结合变尺度法进一步提高收敛速度。经实验验证，ICQPSO算法在Bouc-Wen模型迟滞参数的辨识中跟踪精度优于GA、MFA算法，利用ICQPSO算法与Bouc-Wen模型对压电定位系统进行建模是有效的。