基于迎风差分格式的气动制动系统的共振频率研究

(内蒙古科技大学 机械工程学院, 内蒙古 包头 014010)

引言

气动制动系统已作为各大、中型卡车的制动系统被广泛应用于生产和生活当中，在蜿蜒复杂地形中工作的重型车辆，其制动能力的强弱是衡量卡车性能的重要标准之一[1]。随着全球环境污染日益加重，气体作为清洁能源开始逐步代替其他流体来到我们的身边[2]。气动制动系统是车辆制动的核心环节，因此需要研究如何提高制动系统的制动力。制动力不足产生的原因，往往是由于制动系统管路中气柱长期振动产生共振导致的管路接口处气体泄漏和疲劳破损。因此，对气动制动系统管路部分研究一直是国内外研究的热点问题。

在气动管路研究过程中，对于管路中气柱部分数学建模为制动气柱振动分析的前提。于是选择精度较高、稳定性较强的分析方法对气柱振动研究就显得非常重要。朱长建[3]通过对多轴重型车辆气动制动管路研究和实验分析得出，管路长度是引起时间滞后的主要原因，从而证明了对气动制动系统管路参数的研究是制动性能好坏的重要保障。在气体动力学中，动力学方程作为研究气体运动的基础，其均为双曲偏微分方程，刘付军等[4]通过传统一阶迎风格式差分方法对双曲偏微分方程进行了计算，通过几种不同的差分方法证明了双曲偏微分方程由迎风差分方法计算的有效性。谢亮等[5]研究如何从显隐方面提高双曲偏微分方程的计算精度。之后杨树林等[6]通过斜拉桥钢索模型进行了双曲偏微分方程分析计算和MATLAB数值仿真。对气动方程的分析需要考虑气体本身的可压缩性和摩擦因素来提高管路研究的计算精度。郭长虹等[7]推导了高速高压化导致液压泵口流量振动加剧。通过仿生管路进行双向流固耦合仿真，随着管路长度和硅胶层厚度的增加振动明显。ZHAO等[8-9]在分析流体运动时，利用差分方程的半拉格朗日方法解双曲偏微分方程，证明差分方法是作为流体研究的有效方法。王雪峰[10]进行最小二乘拟合后,得出了管路压强的三次多项式变化规律，从而明显的提高了计算效率。YANG等[11]利用差分方法应用于气动管路中，证明管路长度是影响制动时长的主要原因，并证明其方法更加接近于真实变化。余先锋等[12]在进行开洞结构风压实验过程中，利用气体动力学方程的分离变量方法得出不同开口产生共振频率。吴炳胜[13]通过进行振动故障的诊断,并分析了出现这些振动故障的原因,提出了减小振动故障的改进措施。

综合上述原因,在分析气动制动系统管路的过程中，不仅需要复杂的双曲偏微分方程的数学建模，而且还要利用一种相对精度高、稳定性强的方法作为管路研究前提，然后，再进行气柱振动的研究。更重要的是通过对气柱振动的研究，为后来的制动力不足问题提供分析依据。本研究首先通过管路模型建立，引出气体在管路中的流动原理，建立气体流动数学模型。其次通过复合函数微分法整理变换成气体振动方程。最后通过MATLAB软件仿真验证有限差分方法是作为气体振动研究的有效方法。

1 气动制动管路模型建立

在重型卡车的气动制动系统中，一般管路直径在4～12 mm范围之内，其管路长度远远大于直径。由于气体具有可压缩性，则视管内气体流动为一维非定常流。于是在设计气动制动系统的过程中，把管路部分作为独立元件分析是非常重要的，如图1所示为一个化简后简单的管路模型图。

图1 气动制动管路模型

气体由空气压缩机进入气囊，再由气囊经过管路通过减压阀进入制动气室。随着减压阀口的开合，不断进入制动气室从而完成车辆制动。

管路内气体流动的动力学方程主要是双曲偏微分方程，具体方程如下：

1) 状态方程式

p=ρRθ

(1)

式中，p—— 管路内气体压力，MPa

ρ—— 气体密度，kg/m3

θ—— 热力学温度，K

其描述了管路内3种变量之间的状态关系。

2) 运动方程式

如图2所示管路中的气体微团，描述了气体微团和加速度与微团所受外力总和的关系。由牛顿第二定律可知：

(2)

式中，u—— 管路内气体流动速度，m/s

D—— 管路直径，mm

λ—— 管路内壁摩擦因素

x,t—— 分别表示空间和时间步长

图2 运动方程

3) 连续方程式

如图3所示基于质量守恒定律，其描述了密度的变化与单位时间内进出管路气体微团质量变化的关系可知：

(3)

图3 连续方程

上述气体管路方程我们可以通过传统一阶迎风差分方法计算出管路内气流在管路中任意点，任意时刻关于压力、流速及密度的状态值。由于考虑气体的可压缩性、管壁摩擦因素等影响，因此在分析上述方程的过程中需要摆脱传统管路分析方法。

2 波动方程与气柱共振频率分析

2.1 波动方程的建立

气动制动系统管路振动是由许多原因引起的：

(1) 进入管路气流不稳定引起气流脉动；

(2) 管路设计不当或运动机构的动力平衡性差；

(3) 管路中气流速度大，使得管路湍流边界产生局部涡流引起共振。然而引起气柱振动的最主要原因是由于气流脉动所引起的。间歇或周期性改变进入管路压力使得管道内的压力在平均值的上、下波动，于是使管流处于脉动状态。静止气体内的声速表达式为：

(4)

式中，T—— 绝热温度，K

R —— 气体常数

k—— 绝热指数

g—— 重力加速度,m/s2

由连续方程式(3)变化为关于a方程：

(5)

(6)

(7)

研究压力波需要消去其中的脉动速度u,转换为压力p关于时间t和空间x的偏导数。

于是由式(7)进行偏导并带入运动方程式(2)偏导方程整理得：

脉动压力的一般偏微分方程：

(8)

式中，uo—— 上流速度

由于上流进气速度远远小于常温下气流在介质中的传播速度为340 m/s，即u0可视为无穷小，因此原式变形为：

(9)

2.2 气柱共振频率的计算

双曲偏微分方程整理为一般波动方程：

(10)

利用分离变量法求解波的方程，波动方程特征方程为：

ω2+a2γ2=0

(11)

求出γ带入波动的和谐解中，根据波的叠加原理可得：

(12)

其中A和B均为复数常量，由复数虚部部分来表征脉动压力：

(13)

ejkx=coskx+jsinkx

(14)

可以得到pt和ut的表达式：

pt=p0coskx-jρau0sinkx

(15)

(16)

分析管路气柱固有频率时，就是一边固定，另一边受到脉动激发下呈现的自由振动状态，此时振动产生的频率为固有频率。

上流处速度为0，压力不为0，下流则正好相反速度不为0，压力为0，将其带入式(15)和(16)中得固有频率方程为：

(17)

其中n=0,1,2,…，l为管路气柱距离，即整个模型可视减压阀为一端固定，在开闭间产生气体流动的不稳定，从而导致产生气柱振动。由式分析可知，气柱固有频率只与管路长度有关。下面通过波动的差分方程仿真来验证波动固有频率的有效性。

3 波动模型有限差分仿真

由于重型车辆气动制动系统管路压力在6.5～8.5 MPa之间，选择管路压力p=8.5 MPa，时间t=2.5 s，空间距离选择x=20 m和x=50 m，其中时间和空间步长分别选择100和1000，波动方程式(10)中初始函数u(o,t)=f(x)和边界函数u(x,t)=g(x)。由上述分析可以把初始函数f(x)以脉动激励进入气动管路中，而g(x)则以0函数为压力的固定端。

如图4所示，可以看出当20 m管路中气柱波动方程由有限差分方法进行仿真时，在末端管路部分出现了共振波动，为了更清晰的描述有限差分格式，选择较大固有频率进行分析，利用傅里叶变换将时域图转化为频域图。下面通过具体50 m管路进一步证明有限差分方法进一步分析气柱共振情况。

图4 20 m管路中气柱波动图

如图5～图7所示，图6中1～5表示等距步长不同波动的情况，发现利用有限差分方法分析气动制动管路气柱波动在共振频率下，下流区域也产生振动的特性，对比上述数学计算方法在波动方程中所得到的固有频率，利用n=9时，固有频率为32.3 Hz，可以看到放大2.5倍后的图像(7)，在158.2，236.3 Hz及后续相应倍数出均出现了频率的增大，于是证明了确实在分析过程中出现了共振情况。然后通过有限差分方法分析结果可以与之充分的印证，最后证明有限差分方法可以作为气体振动研究的一种较为有效的方法。

图5 50 m管路中气柱波动

图6 时间与压力关系图

图7 50 m波动频率图

4 结论

结合气体动力学原理，建立气动管路中的数学模型，经过波动方程的复合整理微分变换和欧拉方程对波动方程的整理，分析了气柱共振波动的固有频率，然后采用有限差分方法验证此方法在波动方程分析过程中的有效性。得到了一端为气动脉冲另一端为固定端所产生共振的仿真情况，为由管路气柱共振所导致制动系统制动力不足的研究提供了分析依据。