分数阶大气混沌系统的比例积分滑模同步

王东晓

（郑州航空工业管理学院数学学院，郑州450046）

近年来，分数阶混沌系统的同步问题引起了广大科研工作者的兴趣，并取得了许多成果[1-6].文献[6]研究了具有新型趋近律的分数阶Duffing 系统的同步问题，其同步方案能够使系统在有限时间内快速趋于同步.滑模方法是研究控制和同步问题的一种有效工具.文献[7]基于滑模方法研究了分数阶Genesio-Tesi混沌系统的同步控制问题，设计了控制器和滑模函数，使主从系统达到滑模同步.文献[8]基于滑模同步方法研究了具有死区输入的混沌系统的同步问题.文献[9]基于非线性滑模方法研究了一类系统的控制问题.比例积分控制方法在控制论领域有广泛的应用.文献[10]基于比例积分控制，研究了一种精确的追踪制导方法.滑模控制方法在控制方面也有广泛的应用.文献[11]研究了一类混沌系统的滑模控制问题.本研究利用比例积分滑模方法研究大气混沌系统的同步问题，通过设计分数阶滑模函数和控制律，使系统在短时间内实现比例积分滑模同步.

1 主要结果

Stenflo 大气热对流的混沌模型[12]为

其中：α、β、γ、c 为正参数；x、y、z、ω为状态变量；ω 表示气流的旋转，γ 为与 ω 对应的旋转数；α、β、c 分别为 Prandtl 数、几何参数和 Rayleigh 数.当 α = 1、 β =0.7、γ=1.5、c=26 时，系统（1）的吸引子见图1，在yoz平面上的吸引子见图2.

图1 系统（1）在三维空间中轨线的吸引子Fig.1 Chaotic attractor of system（1）in three-dimensional space

图2 系统（1）在yoz 平面上轨线的吸引子Fig.2 Chaotic attractor of system（1）in yoz plane

以系统（1）为主系统，设计从系统如下

其中：u 为控制输入；x1、y1、z1、ω1为从系统的状态变量.

定义系统误差 e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，e4=ω1-ω，由主系统（1）和从系统（2）可得误差系统

本研究做如下假设：（H1）存在λ ＞α，使得‖αe1+γe4‖＜‖λe1‖.（H2）由于混沌系统的轨迹有界，假设x、z1均为非零有界变量.

引理1[13]（Barbalat 引理）若函数f（t）在[0，+∞）上一致连续，并且广义积分存在，则有

定理1在条件（H1）和（H2）下，若滑模函数为

设计控制输入

u（t） =-（λ - α）e1- ηsgn s（t）

其中η ＞0.则整数阶大气混沌系统的主从系统（1）与（2）是滑模同步的.

证明当发生滑模运动时，必有s（t）=0，（t）=0，对滑模函数 s（t）求导得

所以ueq（t）=-（λ-α）e1，其中λ ＞α.设计滑模趋近律为等速趋近律，即

则有usw（t）=-η sgn s（t），实际控制器为

u（t）=ueq+usw=-（λ-α）e1（t）-η sgn s（t）

由于滑模面 s=0，将 u（t）代入系统（3）的第 1 个方程可得构造 Lyapunov 函数 V（t） =根据条件（H1），对其求导可得

从而 e1→0.由于 e1→0，则系统（3）的第 4 个方程变为从而 e4→0.根据条件（H1），由 e4→0 和 e1→0 可得 e2→0.而 e2→0 必有从而由系统（3）的第2 个方程可得xz-x1z1→0.另一方面，因为

xz-x1z1=（xz-xz1） +（xz1-x1z1） =-xe3-z1e1

而x、z1均为有界变量，所以e3→0.

上式两边积分并整理可得

所以 s（t）是可积且有界的，由引理 1 可知 s（t）→0.证毕.

定义[14]函数x（t）的Caputo 分数阶导数为

考虑分数阶大气混沌系统

其对应从系统为

由系统（4）和（5）可得误差系统为

引理2[15]若x（t）为连续可微函数，则存在t0，使得∀t≥t0，有

定理2在条件（H1）和（H2）下，若滑模函数为

设计控制输入 u（t）=-（λ - α）e1- η sgn s（t），η ＞ 0，则分数阶大气混沌系统的主从系统（4）与（5）是滑模同步的.

证明当发生滑模运动时，s（t）=（t）=0，对滑模函数求导得

所以ueq（t）=-（λ-α）e1，其中λ ＞α，设计等速趋近律则usw（t）=-η sgn s（t），实际控制器u（t）= ueq+usw=-（λ-α）e1（t）-η sgn s（t）.将u（t）代入系统（6）的第 1 个方程，得到γe4.构造 Lyapunov 函数由条件（H1）及引理2，可得

由文献[15]可得e1→0.由于e1→0，所以系统（6）的第4个方程变为从而 e4→0.由 e4→0，e1→0可得 e2→0，因此再根据系统（6）的第 2 个方程可得

基于此由条件（H2）易得e3→0.

2 数值仿真

以Matlab 为工具，采用预估校正算法，对设计的同步方案进行数值仿真.系统参数分别取值为α=1，β=0.7，γ=1.5，c=26，控制器中取参数 η =2，分数阶阶数 q=0.947，系统初始值设为（x（0），y（0），z（0），ω（0）） =（1，1，20，1），（x1（0），y1（0），z1（0），ω1（0）） =（2，2，2，2）.定理 1 和定理 2 中系统的误差曲线分别如图3 和图4 所示，由图3 和图4 可以看出，在初始时刻，2 个系统的误差均较大，而随着时间的延长，误差渐趋于0.定理1 中当时间t ＞0.15 s 时整数阶大气混沌系统的主从系统取得滑模同步；定理2 中当时间t ＞0.20 s 时分数阶大气混沌系统取得滑模同步.

图3 定理1 中的系统误差曲线Fig.3 Error curves of system in Theorem 1

图4 定理2 中的系统误差曲线Fig.4 Error curves of system in Theorem 2