分数阶大气混沌系统的比例积分滑模同步

2019-10-15 07:57王东晓
关键词:滑模大气定理

王东晓

(郑州航空工业管理学院数学学院,郑州450046)

近年来,分数阶混沌系统的同步问题引起了广大科研工作者的兴趣,并取得了许多成果[1-6].文献[6]研究了具有新型趋近律的分数阶Duffing 系统的同步问题,其同步方案能够使系统在有限时间内快速趋于同步.滑模方法是研究控制和同步问题的一种有效工具.文献[7]基于滑模方法研究了分数阶Genesio-Tesi混沌系统的同步控制问题,设计了控制器和滑模函数,使主从系统达到滑模同步.文献[8]基于滑模同步方法研究了具有死区输入的混沌系统的同步问题.文献[9]基于非线性滑模方法研究了一类系统的控制问题.比例积分控制方法在控制论领域有广泛的应用.文献[10]基于比例积分控制,研究了一种精确的追踪制导方法.滑模控制方法在控制方面也有广泛的应用.文献[11]研究了一类混沌系统的滑模控制问题.本研究利用比例积分滑模方法研究大气混沌系统的同步问题,通过设计分数阶滑模函数和控制律,使系统在短时间内实现比例积分滑模同步.

1 主要结果

Stenflo 大气热对流的混沌模型[12]为

其中:α、β、γ、c 为正参数;x、y、z、ω为状态变量;ω 表示气流的旋转,γ 为与 ω 对应的旋转数;α、β、c 分别为 Prandtl 数、几何参数和 Rayleigh 数.当 α = 1、 β =0.7、γ=1.5、c=26 时,系统(1)的吸引子见图1,在yoz平面上的吸引子见图2.

图1 系统(1)在三维空间中轨线的吸引子Fig.1 Chaotic attractor of system(1)in three-dimensional space

图2 系统(1)在yoz 平面上轨线的吸引子Fig.2 Chaotic attractor of system(1)in yoz plane

以系统(1)为主系统,设计从系统如下

其中:u 为控制输入;x1、y1、z1、ω1为从系统的状态变量.

定义系统误差 e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,由主系统(1)和从系统(2)可得误差系统

本研究做如下假设:(H1)存在λ >α,使得‖αe1+γe4‖<‖λe1‖.(H2)由于混沌系统的轨迹有界,假设x、z1均为非零有界变量.

引理1[13](Barbalat 引理)若函数f(t)在[0,+∞)上一致连续,并且广义积分存在,则有

定理1在条件(H1)和(H2)下,若滑模函数为

设计控制输入

u(t) =-(λ - α)e1- ηsgn s(t)

其中η >0.则整数阶大气混沌系统的主从系统(1)与(2)是滑模同步的.

证明当发生滑模运动时,必有s(t)=0,(t)=0,对滑模函数 s(t)求导得

所以ueq(t)=-(λ-α)e1,其中λ >α.设计滑模趋近律为等速趋近律,即

则有usw(t)=-η sgn s(t),实际控制器为

u(t)=ueq+usw=-(λ-α)e1(t)-η sgn s(t)

由于滑模面 s=0,将 u(t)代入系统(3)的第 1 个方程可得构造 Lyapunov 函数 V(t) =根据条件(H1),对其求导可得

从而 e1→0.由于 e1→0,则系统(3)的第 4 个方程变为从而 e4→0.根据条件(H1),由 e4→0 和 e1→0 可得 e2→0.而 e2→0 必有从而由系统(3)的第2 个方程可得xz-x1z1→0.另一方面,因为

xz-x1z1=(xz-xz1) +(xz1-x1z1) =-xe3-z1e1

而x、z1均为有界变量,所以e3→0.

上式两边积分并整理可得

所以 s(t)是可积且有界的,由引理 1 可知 s(t)→0.证毕.

定义[14]函数x(t)的Caputo 分数阶导数为

考虑分数阶大气混沌系统

其对应从系统为

由系统(4)和(5)可得误差系统为

引理2[15]若x(t)为连续可微函数,则存在t0,使得∀t≥t0,有

定理2在条件(H1)和(H2)下,若滑模函数为

设计控制输入 u(t)=-(λ - α)e1- η sgn s(t),η > 0,则分数阶大气混沌系统的主从系统(4)与(5)是滑模同步的.

证明当发生滑模运动时,s(t)=(t)=0,对滑模函数求导得

所以ueq(t)=-(λ-α)e1,其中λ >α,设计等速趋近律则usw(t)=-η sgn s(t),实际控制器u(t)= ueq+usw=-(λ-α)e1(t)-η sgn s(t).将u(t)代入系统(6)的第 1 个方程,得到γe4.构造 Lyapunov 函数由条件(H1)及引理2,可得

由文献[15]可得e1→0.由于e1→0,所以系统(6)的第4个方程变为从而 e4→0.由 e4→0,e1→0可得 e2→0,因此再根据系统(6)的第 2 个方程可得

基于此由条件(H2)易得e3→0.

2 数值仿真

以Matlab 为工具,采用预估校正算法,对设计的同步方案进行数值仿真.系统参数分别取值为α=1,β=0.7,γ=1.5,c=26,控制器中取参数 η =2,分数阶阶数 q=0.947,系统初始值设为(x(0),y(0),z(0),ω(0)) =(1,1,20,1),(x1(0),y1(0),z1(0),ω1(0)) =(2,2,2,2).定理 1 和定理 2 中系统的误差曲线分别如图3 和图4 所示,由图3 和图4 可以看出,在初始时刻,2 个系统的误差均较大,而随着时间的延长,误差渐趋于0.定理1 中当时间t >0.15 s 时整数阶大气混沌系统的主从系统取得滑模同步;定理2 中当时间t >0.20 s 时分数阶大气混沌系统取得滑模同步.

图3 定理1 中的系统误差曲线Fig.3 Error curves of system in Theorem 1

图4 定理2 中的系统误差曲线Fig.4 Error curves of system in Theorem 2

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