动力学“特征值”运用研究

杨泰金

[摘   要]在物理现象或物体运动状态发生变化的过程中，从“量变”到“质变”的瞬间必符合某些特定条件，或是某些物理量具有特定的值，这些条件或特定值会成为解决相关动力学问题的重要判别依据。

[关键词]动力学;特征值;加速度;角;力

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0031-04

自然界中许多物理现象或物体运动状态在发生变化的过程中，如果发生了从“量”到“质”的变化，而在恰好发生“质变”的瞬时，必定满足某些特定条件，或某些物理量具有特定的值，我们把它们称为“特征值”。用好这些特征值，有助于我们解决一些较复杂的动力学问题。

一、特征加速度

特征加速度通常是指被研究对象在特定情况下的加速度值，高中物理常见的特征加速度有以下三种。

1.当只受重力作用时，物体的加速度a=g。

[例 1]  密封的盒子内有一质量为m的金属球，如图1所示，球的边缘正好与盒子的壁相切，现将盒子竖直向上抛出，在盒子上升、下降的过程中不计空气阻力，则下列说法正确是（ ）。

A.上升时，球对盒子底部有压力;下降时，球对盒顶部有压力

B.上升时，球对盒子顶部有压力;下降时，球对盒底部有压力

C.上升、下降时，球均对盒子底部有压力

D.上升、下降时，球对盒子均没有压力

分析与解：由于盒子与金属球整体只受重力作用，所以整体的加速度就是特征加速度a=g，因此在上升或下降的过程中，金属球与盒子之间不会存在相互挤压，故选项D正确。

点评：根据整体加速度值来判定局部间是否有相互作用力是解决动力学问题常用的一种方法。

2.当质量为m的物体在倾角为θ的光滑固定斜面上独立滑行时，物体受到的合外力为mgsinθ，物体的加速度为a = gsinθ。

[例 2]密封足够长直杆倾角θ=60°固定在地面上。质量为m=0.2 kg的小环套在杆上，通过轻绳与质量为M=0.5 kg的小球相连，如图2所示。静止释放小环和小球，当环和球稳定滑下时，求在以下两种情况下，它们之间的拉力T （g=10 m/s2）。

（1）杆光滑;

（2）環与杆之间的摩擦因数[μ=33 ]。

分析与解：（1）杆光滑时，小环带着小球沿杆滑下，经一段时间，小球与小环无相对运动，即达到稳定滑下的状态，这时整体加速度正好就是特征加速度a=gsinθ，加速度是由整体的重力沿斜面方向的分力产生的，故绳子必跟斜面垂直，如图3所示。

对小球，在沿绳方向，有

[T=Mgcos60°=0.5×10×12=2.5（N）]

（2）杆粗糙时，整体的加速度必小于特征加速度，故轻绳沿垂直于杆的方向偏离小球，且偏向上，受力如图4所示。

对m

[mgsin60°-Tsinα=μ（mgcos60°+Tcosα）=ma]

对M

[x：Mgsin60°-Tsinα=Ma]

[y： Mgcos60°-Tcosα=0]

联立方程解得 α=30°

[T=533 N]

点评：解答本题的关键在于确定环和小球稳定下滑时的相对位置关系。

3.当轻绳牵着质量为m的物体或倾角为θ的光滑斜面托着物体在水平面上运动时，若绳与竖直方向的夹角为θ或物体相对斜面静止时，物体受到的合外力为mgtanθ，则物体的加速度a=gtanθ，如图5所示。

[例 3]如图6所示，质量为m=0.5 kg的物体静止在倾角为θ=30°的粗糙斜面上。现随斜面一起向左以加速度g 做匀加速直线运动，物体与斜面的动摩擦因数为μ=0.8，求物体与斜面之间的摩擦力f和弹力N。

分析与解：与该斜面相对应的托物的特征加速度a0 = gtan30° = [33g]，现在物体的加速度g>gtan30°，说明物体随斜面运动的加速度太大，因此物体具有向上运动的趋势，因而受到的静摩擦力沿斜面向下，如图7所示，分析可得

[x： mgsin30°+f=macos30°]

[y： N-mgcos30°=masin30°]

解得  f =5 N， N=[53 N]

点评：若物体随斜面运动的加速度较小，小于特征加速度值，则说明物体具有向下的运动趋势，这时物体受沿斜面向上的摩擦力;若物体随斜面运动的加速度恰好为特征值，即使物体与斜面之间接触面是粗糙的，它们之间也不会有摩擦力。

[例 4]如图8所示，光滑的圆球恰好放在木块的圆弧槽内，它们的左边接触点为A，槽半径为R，且OA与水平面成[α]角，球的质量为m，木块的质量为M，所放置的水平面是光滑的，各种摩擦及绳、滑轮的质量都不计，释放悬挂物P后，要使球和木块保持相对静止，则物体P的质量最大值是多少？

分析与解：球和木块保持相对静止，圆球、圆弧槽和悬挂物P就有相等的加速度，对整体，有

[mPg=（m+M+mp）a]

对圆球，恰好要滚出时，对应所挂的物体P质量最大， A点为圆弧槽对圆球弹力N的作用点，如图9所示，相对应的托物特征加速度为

[a=gtanπ2-α=gtanα]

联立以上两式解得[mp=M+mtanα-1]

当α>45°时，tanα-1>0，P的质量最大值为[mpmax=M+mtanα-1];

当α=45°时，tanα-1=0，P的质量最大值为[mpmax→∞]，表示球始终不会从槽中翻滚出去 ;

当α<45°时，tanα-1< 0，P的质量最大值为[mpmax<0]，表示球始终不会从槽中翻滚出去。

点评：解答本题时，可针对半圆面巧妙地借助托物斜面求出在临界状态下的物体加速度。

二、特征角

如图10所示，在一个倾角为θ的固定斜面上，有一个质量为m的物体，物体与该斜面间的动摩擦因数为μ。

1.当物体在斜面上加速滑下时，有mgsinθ > μmgcosθ，即tanθ > μ，这时倾角较大。

2.当mgsinθ<μmgcosθ，即tanθ<μ时，这时倾角较小，静止释放物体时，物体将保持静止不动。

3.当mgsinθ=μmgcosθ，即tanθ=μ时，给物体初速度，物体恰好能沿斜面匀速滑下，这时θ就是这种特定状态下的角度，我们称之为特征角。

[例5]如图11所示，质量m=5 kg的物体在F =100 N的水平推力作用下，从粗糙斜面的底端由静止开始沿斜面运动，斜面固定不动，与水平地面的夹角θ=37°，力F作用时间t1= 2.3 s时撤去，此时物体速度大小为v1=4.6 m/s（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2）。求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ;

（2）撤去拉力后1 s末物体的速度。

分析与解：（1）物体在推力作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，有

[a1=v1t1=4.62.3=2（m/s2）]

受力情况如图12所示，有

x： [Fcosθ-mgsinθ-μN0=ma1]

y： [N0=Fsinθ+mgcosθ]

联立以上两式，代入数据解得μ = 0.4

（2）撤去F后，物体将做匀减速直线运动，直到速度为零，受力情况如图13所示，有

x：[mgsinθ+μN=ma2]

y： [N=mgcosθ]

联立以上两式，解得

[a2=gsinθ+μgcosθ=9.2（m/s2）]

而[v1=a2t2]

得  [t2=v1a2=4.69.2=0.5（s）]

也就是说，0.5 s时，速度变为零，此后的运动就有兩种可能，即停在斜面上或滑下返回，是哪一种可能呢？

此时可利用特征角判断，即tan37°=0.75>0.4，说明倾角太大，物体将沿斜面滑回，向下做匀加速直线运动。受力如图14所示，由牛顿第二定律，有 [mgsinθ-μmgcosθ=ma3]，代入数据，解得a3=2.8 m/s2。

由静止沿斜面向下滑行0.5 s时，由运动学方程，有   [v=a3t]，代入数据，解得v=1.4 m/s。

点评：斜面特征角的正弦值是斜面上物体速度变为零时是否发生相对滑动的临界条件和隐含条件，用好这个值是突破斜面上物体多过程运动问题的关键。

三、特征力

1.物体相对接触面静止的情况下，当静摩擦力达最大值fmax= μN时，物体将要相对接触面发生滑动，此时fmax=μN就是特征力。

[例 6]一长木板在水平地面上运动，在t = 0时刻将一相对地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度-时间图像如图15所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，而且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10 m/s2，求：

（1）物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数;

（2）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小。

分析与解：（1）由速度-时间图像（图15）可知，放上物块后，木板立刻做匀减速直线运动的加速度为[a1=v0-vt1=5-10.5=8（m/s2）]

对物块和木板，在水平方向的运动与受力情况如图16所示。

对木板，由牛顿第二定律有[μ1mg+2μ2mg=ma1]

对物块，在木板上打滑，向右做匀加速直线运动，有[a2=v-0t1=1-00.5=2ms2]

对这个过程，根据牛顿第二定律，有[μ1mg=ma2]

联立以上方程，解得[μ1=0.2]， [μ2]=0.3

（2）物块和木板速度相同后，有两种可能：一起减速，或做与之前不同的相对滑动。

若一起减速，对整体，有[μ22mg=2ma3]，解得a3=3 m/s2

而在相对静止的特征力作用下，物块能减速的最大加速度为[a2=μ1g=2 m/s2<3 m/s2]

说明木板的速度减得太快了，所以物块相对木板向前滑动。物块的受力情况如图17所示，对物块，有

[a2=μ1g=2ms2]

所以物块以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，

对木板，有[μ22mg-μ1mg=ma4]

得[a4=2μ2g-μ1g=6-2=4（m/s]）

速度-时间图像如图18所示，由加速度大小关系和运动学方程，可得物块与木板减速到停下的时间分别为：t2 = 0.5 s       t3 = 0.25 s

在整个过程中，物块在木板上先向后滑动s1，再向前滑动s2。由速度-时间图像可知，

[s1=5×0.52=1.25（m）]

[s2=1×0.252=0.125（m）]

故相对木板的位移s=s1-s2=1.25-0.125=1.125（m），方向向后。

点评：这是一道高考物理压轴题，属于“板块”类型题，是一道考核与训练学生综合分析能力的好题。解决此类题的关键是利用静摩擦特征力来求最大加速度，最终确定“板与块”之间是否发生相对滑动。

2.原来相互挤压的两个物体，当相互挤压力恰好变为零时，物体间将要分离，此时的挤压力就是特征力。

[例7]一轻质弹簧劲度系数为k=800 N/m，其下端固定，上端拴着一块质量为m1=1.5 kg的木板P，一质量为m2=10.5 kg的物块Q叠放在P的上面，整个系统处于静止状态，如图19所示。现给Q施加一个竖直向上的力F，使Q从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2 s内F是变化的，在0.2 s后是恒定的，N为PQ间弹力。（1）请画出F-x、N-x图;（2）求a和F的最大值和最小值。（g= 10 m/s2）

分析与解：（1）对P和Q整体，受力分析如图20所示。

静止时，有[kx0=（m1+m2）g]

代入数据解得x0=1.5 m

向上做匀加速直线运动时，有[F+k（x0-x）-（m1+m2）g=（m1+m2）a]

得[F=（m1+m2）a+kx]

由于x从零增大，所以由上式可知F从最小值增大。

对木板P，受力如图21所示，向上做匀加速直线运动时，有[k（xo-x）-N-m2g=m1a]

得[N=m2g-kx-m1a]

由于x从零增大，所以由上式可知N从最大值减小到零。

当N=0时，有[m2g-kx1=m1a]

[x1=12at2]

联立以上两式，代入数据解得a=6 m/s2     x1=0.12 m

這时，N最小（为零），F最大。

代入a值得到N、F随x变化的表达式

[N=m2g-kx-m1a=105-800x-9=96-800x]

F=（m1+m2）a+kx=72+800x

由以上表达式，可知：

当x=0时，N的最大值为96 N，F的最小值为72 N;

当x=x1= 0.12 m时，N的最小值为0，F的最大值为168 N;

当x>0.12 m后，物块就离开木板，F就恒为168 N。

可画出N-x和F-x图像如图22和图23所示

[图22][图23]

点评：这个弹力的特征值是判断两个非弹簧接触的物体是否将要分离的判别依据。

3.对于原来绷直的绳子，当张力增大到最大值（Tmax）时，绳子将要断开;当绳子张力减小到零时，绳子将要松弛。这些力是物体在特定情况下的受力，就是特征力。

[例8]如图24所示，一个质量为m的小球，用两条等长的细线a、b连接在车厢的A、C两点，线能承受的最大拉力为[52mg]。已知两线拉直时，与车厢前壁的夹角均为45°。试求出确保细线拉直的车厢加速度范围。

分析与解：如果只有细线a，小球的加速度为特征加速度a=tanθ。当细线b刚好拉直时，只有线a受拉力，它与竖直的夹角为45°，这时的加速度a1是两线均拉直时的最小加速度，有[a1=gtan45°-g]

当线b也拉紧时，这时小球的加速度为a2，有

[Tasin45°+Tbsin45°=ma2]      ①

[Tacos45°=Tbcos45°+mg]   ②

由②式可以知道，细线a受到的拉力较细线b的大，所以细线a会先断。故细线a恰好断时，小球的加速度是两线拉直时最大的加速度a2max。

联立①②式，得[2Tasin45°-mg=ma2max]

[a2max=2Tam-g=9g]

故[g≤a≤9g]

点评：绳子中的张力特征值是判断绳子是松还是紧的依据。

四、特征面

对两个非弹簧接触的物体，由于两接触面间的形变很微小，接触总是很紧密的，所以在弹力方向上，两接触面在垂直方向上的加速度必相同，这时的接触面我们称之为特征面。

[例9]如图25所示，轻绳上端拴在天花板上，下端吊着质量为3m的硬木盒子A，轻质弹簧下、上两端分别连着质量为2m、 3m的物块B和物块C，并放在盒子内底面，整个系统处于静止状态。现在剪断轻绳，求剪断绳瞬间，盒子的加速度a和盒子A对物块B的支持力N。

分析与解：盒子A和物块B接触处属于非弹簧接触，具有特征面的特点，所以两者的加速度相同，大小为a。

对盒子A和物块B整体，有

NCB+2mg+3mg=5ma

对物块C，有 NBC=mg

解得[a=65g]

对盒子A，有N+3mg=3ma

解得[N=3m×65g-3mg=0.6mg]，方向竖直向下再根据牛顿第三定律，可知盒子A对物块B的支持力为0.6 mg，方向竖直向上。

点评：两个物体之间接触的特征面的重要特点就是在垂直面方向上加速度相同，这是一个重要的隐含条件，如果没有意识到这一点，解决这类问题将陷入困境。

五、特征速度

对在同一条直线上做同方向变速运动的两个物体，当后面的物体速度大于前面的物体时，两物体之间的距离将减少，速度相等时两物体间往往距离最小;当后面的物体速度小于前面的物体时，两物体之间的距离将增大，在速度相等时往往距离最大。因此速度相同时往往是两个物体之间的距离达到最大或最小的时候，这时的速度就是特征速度。

[例10]如图26所示，A、B两物体位于光滑的水平面上，沿同一直线运动，当它们之间的距离大于或等于某一定值d时，相互作用力为零，当它们之间的距离小于d时，存在大小恒为F的斥力。设A物体的质量m1=1.0 kg，开始时静止在直线上某点;B物体的质量m2=3.0 kg，以速度v0从远处沿直线向A运动。若d=0.10 m，F=0.60 N，v0=0.20 m/s，求：

（1）相互作用过程中A、B加速度的大小;

（2）A、B间的最小距离。

分析与解：（1）如图27所示，当B物体一进入到力的作用范围，便做匀减速直线运动，而A物体也立刻受力而由静止开始做匀加速直线运动。

对A，由牛顿第二定律，有[F=m1a1]

得a1=0.60 m/s2

对B，由牛顿第二定律，有[F=m2a2]

得a2=0.20 m/s2

（2）当两者速度相等，为特征速度v时，A、B间距最小为[Δ]x，在这个过程中，A做匀加速运动，有

[v=a1t]

[v2=2a1x1]

对B，B做匀减速运动，有

[v0-v=a2t]

[v20-v2=2a2x2]

而A、B间的最小距离 [Δ]x =d+x1-x2

解得：x1= 0.01875 m   x2= 0.04375 m   [Δ]x = 0.075 m

点评：特征速度是两个物体的空间距离是否达到极限值的重要判据。

（责任编辑 易志毅）