圆孔蜂窝梁挠度计算孔型等效模式探讨

曾欢艳，张娟文，刘文祥，陈婉若

（1.湖南工学院 建筑工程与艺术设计学院，湖南 衡阳421002；2.湖南工学院 机械工程学院，湖南 衡阳421002）

1 引言

圆孔蜂窝梁是一种腹板成排开圆孔的新型钢梁，其截面形式通常为工字型或槽型。圆孔蜂窝梁孔型光滑，受力合理，在工程中得到了广泛应用。

蜂窝梁的挠度是工程设计的一个控制指标。现阶段蜂窝梁的挠度计算方法大致可分为三类，即实用估算法、比拟法和有限元法[3-4]。

廖曙波等凭借自己扎实的数学功底，利用比拟法中费氏空腹桁架法原理，推导了圆孔蜂窝梁的挠度计算公式。由于没有考虑孔型等效，该公式为积分表达式，需要借助数学计算工具如MATLAB 才能计算[1]。本文在此基础上，探讨圆孔蜂窝梁挠度计算时的孔型等效模式，尽量将计算公式简化，能用于工程计算。

基于廖曙波等的思路，本文共探讨三种等效模式：面积相等、惯性矩接近的正方形（简称等效法一）；面积相等、孔长不变的长方形（简称等效法二）；孔高孔长均不变的正方形（简称等效法三）。利用费氏空腹桁架法的原理，推导出考虑孔型等效后的挠度计算公式，再与廖曙波等的结果进行对比，分析出最接近实际孔型的等效模式。

2 等效法一挠度计算表达式推导

Altfillisch 将蜂窝梁的挠度分解成三部分：f=fm+fv+fvm。式中，fm是弯曲挠度，fv 是剪切挠度，fvm 是剪力次弯矩产生的梁桥及墩腰转动而引起的挠度[2]。

2.1 弯曲挠度

等效模式如图1所示，蜂窝梁圆形孔直径d，开孔间距s。按面积相等，惯性矩最接近的等效原则，将圆形孔等效为正方形孔，等效尺寸为d1和s1。

图1 等效法一示意图

定义蜂窝梁正方形开孔空腹部分的等效截面惯性矩为Ik1；实腹部分的截面惯性矩为IS；换算实腹梁（与蜂窝梁实腹部分尺寸相同的实腹梁）的惯性矩也为IS；蜂窝梁的一个孔长加一个间距长为一个单元，其长度l0=d+s。求得等效正方形的边长d1及s1：

蜂窝梁正方形开孔部分的等效惯性矩为：

现设有一简支圆形孔蜂窝梁，如图2所示，圆形孔直径为d，开孔间距s，端距为s/2。梁两端作用有纯弯矩M，设其总长为L。

图2 弯矩作用下等效法一尺寸及其假想的刚度分布

将圆形孔洞全等效为正方形孔如图所示，可知梁的抗弯刚度沿梁长是变化的。假设梁长共有n 个单元，第i 个开孔边缘距梁端的距离：

在全梁范围内，蜂窝梁的截面惯性矩I(x)为：

或η=0（xi-s1≤x≤xi）

根据图乘法，当有弯矩作用时，蜂窝梁跨中弯曲挠度计算公式为：

将式（4）代入式（5），根据蜂窝梁各段刚度不同的特点先分段积分再求和可得：

蜂窝梁开孔沿梁的全长均匀分布，故开孔部分长度占梁全长的比例为，因此，fm为：

式中：fm0——换算实腹梁在相同边界、相同荷载条件下的弯曲挠度。

2.2 剪切挠度

根据虚功原理，蜂窝梁跨中最大剪切挠度为：

同弯曲挠度计算原理，可得剪切挠度为：

式中：fv0——换算实腹梁在相同边界、相同荷载条件下的剪切挠度；

As——换算实腹梁的腹板截面面积；

Ak1——等效正方形孔腹板空腹截面面积，Ak1=As-d1tw。

2.3 剪力次弯矩产生挠度

如图3所示，截取圆形孔蜂窝梁的一个单元进行计算。此时圆形孔等效为正方形孔。该单元由剪力次弯矩产生的变形图如图3所示。设挠度为fivm，它由两部分组成：在剪力次弯矩作用下梁桥的弯曲挠度和梁墩转动引起的挠度，如图3b、3c 所示。

图3 剪力次弯矩产生的挠度示意图

均布荷载q 作用下：

跨中集中荷载P 作用下：

3 等效法二挠度计算表达式推导

考虑到开孔长度对蜂窝梁挠度的影响，可将圆形孔等效为面积相等、孔长不变的长方形。此时孔长为d，孔高开孔部分惯性矩腹板面积Ak2=As-atw，空腹部分占全长比例为。同等效法一推导过程，可知：

剪力次弯矩产生的挠度fvm同等效法一，参数相应的进行改变即可。

4 等效法三挠度计算表达式推导

考虑到孔高和孔长两者同时对蜂窝梁挠度的影响，可将圆形孔等效为孔高孔长均不变的正方形。此时孔长=孔高=d，开孔部分惯性矩，腹板面积，同理可知：

剪力次弯矩产生的挠度fvm仍同等效法一，参数相应的进行改变即可。

5 不同等效模式的比较分析

以某简支圆形孔蜂窝梁为例，梁截面尺寸H450 ×200 ×8 ×10，蜂窝梁跨度L=8100mm，材质Q235B。梁上翼缘作用均布荷载q=25kN/m。现以蜂窝梁的孔高比d/hw和距高比s/hw 为变量，分别用三种等效方法计算蜂窝梁挠度，并与廖曙波等的计算结果进行对比分析，结果如表1所示。

表1 均布荷载作用下挠度计算值

将上表数值用变化关系图表示如图4所示。

从表1及图4得出以下规律：

①圆孔蜂窝梁挠度随着孔高比d/hw的增大而增大，随着距高比s/hw的增大而减小。

②等效法三由于扩大了孔洞面积，削弱了截面，导致挠度比实际情况大，特别当孔高比d/hw=0.8，距高比s/hw=0.4 时，等效法三挠度达到了廖曙波等计算结果的1.3 倍以上，相差较大，等效模式不可取。

图4 均布荷载作用下挠度-距高比关系对比图

③等效法一和等效法二，计算结果与廖曙波等的计算结果接近，可见开孔面积对挠度的影响占主要作用[3]。其中，等效法一（即等效为面积相等、惯性矩接近的正方形）计算结果偏于安全，故本文推荐圆孔蜂窝梁的孔型等效模式为等效法一。

跨中集中荷载作用下图形变化规律与均布荷载作用情况类似，限于篇幅，本文不再赘述。

6 结论

①本文基于费氏空腹桁架法原理，推导了圆孔蜂窝梁孔型三种等效模式下的挠度计算公式，并将计算结果与廖曙波等的积分计算进行对比，得出等效法一（即等效为面积相等、惯性矩接近的正方形）是最接近实际状态的孔型等效模式[4]。

②根据等效法一的计算结果，本文推荐圆孔蜂窝梁挠度计算时可采用式（6）（7）（8）和（9）进行理论计算。与廖曙波等的积分计算相比，该计算公式大大简化了工作量，并能达到一定的计算精度要求。