共轭曲面原理在齿轮设计中的应用研究

史淑芬，薛家国

(安徽工业大学工商学院 安徽马鞍山 243100)

在渐开线齿轮轮齿齿根弯曲疲劳强度计算中，齿形系数和应力修正系数的准确计算极为关键。而传统的计算方法均为经验公式和图解法，目前关于齿轮齿根弯曲应力的计算方法有多种[1]，但这些计算方法均需要确定齿根危险截面的位置。Höfer采用光弹实验证明了齿轮轮齿齿根危险截面的存在，即著名的Höfer切线法[2]。迭代可用来求解方程、线性和非线性方程组的解，且可重复执行一个计算过程，直至找到答案。函数g(x)的一个不动点是指一个实数P满足P=g(P)，而从图形上分析，函数y=g(x)的不动点是y=g(x)和y=x的交点。鉴于此，笔者综合运用迭代与不动点两种方法，提出基于共轭曲面原理，采用不动点迭代法计算渐开线轮齿形系数和应力修正系数，以期提高齿轮设计中齿根弯曲应力计算的精确度。

1 齿形系数的计算

1.1 齿条刀具参数

图1中：A为圆角中心；ρ为刀齿圆角半径；I圆角中心A1与节线的距离；E刀尖圆心至刀齿对称轴线的距离。

求解E(刀尖圆心至刀齿对称轴线的距离)计算公式为[2]：

(1)

其中，ρ=≈0.38mn

图1 齿条型刀具与齿轮的啮合

1.2 危险截面齿厚的计算

Höfer用光弹实验方法证明了齿轮轮齿危险截面齿厚SFn的存在和方位。薛家国[3]采用包络法计算SFn，刘平娟等[4]采用齿廓法线法计算弯曲力臂hF，采用上述两种方法计算都需求解非线性方程，涉及到的非线性方程如下。如图1所示，取被切轮齿的对称中线为y轴，设B为刀具圆角中心A到y轴的距离，则

(2)

令齿轮逆时针转过角度为φ，且使切削点S位于图1所示的切线与过渡曲线的切点处。PS为公法线，设SAP与y轴的夹角为，影响载荷作用角因素的示意图如图2a、图2b。

(3)

(4)

图2a影响载荷作用角的因素

图2b 影响载荷作用角的其他因素

(5)

(6)

(7)

对此非线性方程用不动点迭代法求解，当θ很小时，tan=θ，故可将初始值θ0取为

(8)

由此建立迭代序列，其序列模式为：

θ0(初始值)

θ1=g(θ0)

θ2=g(θ1)

┊

θk=g(θk-1)

θk+1=g(θk)

┊

若迭代序列{θk}趋向一极限，则该极限为求解的目标值。不动点迭代法序列求解的Matlab程序流程图3。

图3 Matlab程序流程图

求解出θ的同时输出迭代次数k，根据图2，就可求出危险截面齿厚与模数之比，结果为

(9)

1.3 载荷作用角的计算

由图2a可知，载荷作用角αF为

αF=αe-γ

(10)

(11)

由图2a可知

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1.4 弯曲力臂的计算

由图2a知，弯曲力臂hF

(13)

其中：

1.5 齿形系数的计算

齿形系数YF的计算公式如下

(14)

2 应力修正系数的计算

根据前面分析可知，对于应力修正系数的计算，其所需参数无需另行推导。

3 齿形系数和应力修正系数的计算实例

[例1][5]某给水泵高速齿轮增速器，其为电机驱动、单向运转，电机功率为6 000 kW，转速为1 485 r/min，设计过程中要求传动比为3.75，且按持久寿命、高可靠性设计。主要参数为：a=550 mm，b=170 mm，mn=6 mm，αn=20°，β=9°9′3″，z1=38，z2=143，x1=x2=0。

采用如图3所示的不动点迭代法序列Matlab程序计算大小齿轮(下标1代表小齿轮，下标2代表大齿轮)的齿形系数YF和应力修正系数YS及相应的迭代次数k，分别为：

k1=5；k2=4；

YF1=0.971 3；YF2=0.921 6；

YS1=2.2408；YS2=2.5087。

[例2][6]某球磨机单级齿轮减速器，小齿轮传递的额定功率250 kW，转速750 r/min，要求传动比3.15，单向运转，满载工作时间5 000 h。主要参数为a=550 mm，b=180 mm，mn=7 mm，αn=20°，β=9°14′55″，z1=34，z2=107，xn1=0.38,xn2=-0.38。

同样采用如图3所示的不动点迭代法序列Matlab程序计算大小齿轮的齿形系数YF和应力修正系数YS及相应的迭代次数分别k，分别为：

k1=4；k2=4；

YF1=0.8627；YF2=1.1493；

YS1=2.5844；YS2=2.1034。

计算实例结果与实际应用中的检测结果相符，由此表明采用不动点迭代法可精确计算齿形系数和应力修正系数。

4 结论

基于共轭曲面原理，提出采用不动点迭代法计算齿形系数和应力修正系数，实例结果表明，采用不动点迭代法可精确完成渐开线轮齿形系数和应力修正系数的计算。