神奇的e

高桂英

摘  要：众所周知是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459……，这是一个超越数。在科学技术中用得非常多，常见的是以为底的指数函数x和以为底的对数函数。而科学技术中一般不使用以10为底数的对数，而选择以为底数，这样做是因为许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。该文简明扼要地阐述了在生活中的应用及在自然界的体现，并用不等式法通俗易懂地证明了重要极限。

关键词：螺线  自然律  极限

中图分类号：B516.46   文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）06（b）-0169-02

1  生活中有趣的

在历史上，自然对数的底与一个商人借钱的利息有关。它描述的是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。通俗地讲，就是现在讲的复利计息的问题。也就是将利息并进本金再生利息。但是本金与利息和的多少取决于你选择的计息周期而定。假设有多种计息周期可供选择：你可以选择一年里只计一次利息;也可以选择每半年计一次利息，一年里计两次;同样也可以选择一个月计一次利息，这样一年可以计12次;甚至还可以选择1d、1h、1min计一次利息。很显然计息周期越短，一年下来本金和获得的利息总和就越多。现举例说明：如果某人将10000元存入银行，为了计算方便，利息按10%计算，那么一年下来，所得利息为1000元，这样一年后本金和利息的总和为11000元。但是如果假设不管存款时间的长短，利息始终保持不变，均按10%计利息。某人将存款存入银行半年后取出，则所得的本金和利息总和为10500，然后此人将这10500作为本金再次存入银行半年，这样全年下来，此人共得本金10500+10500×10%×1/2=11025，显然比按一年取一次的方式多获利25元。可见计息周期越短，本金与利息总和就会越高，因此可以设想，如果计息周期无限制地缩短，比如每分钟计一次，甚至每秒，或者更短每一瞬间（理论上来说），会出现什么状况呢？本金与利息和会无限制地加大吗？答案是不会，而且它的数值会稳定下来，如果将这10000元记作一个单位，本金与利息将趋近于一极限值，就是我们提到的。

如今是互联网、大数据时代，人们可以随时随地使用智能手机操作自己银行卡上存取款业务。特别是年轻人，有了零用钱不会让它白白躺在静无声息的银行卡上，而是借助手机银行让它动起来，进而给自己带来利益。如果随着时间的缩短，本金和利息总和可以无限地增大，那将会出现一个什么样的景象？所有人都会是低头族，人们只要时时刻刻地操控自己的手机，就会带来想要的收益。而现实是，无论选择怎样的计息周期，带来的利益是有上限的。

当然的最初出现应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。因为当时还没有极限的概念。第一次提到该常数是约翰·纳皮尔在1618年在公布的，直到1727年或1728年欧拉在未发表的爆炸力论文中开始使用作为常数，一直到今天。

2  自然界的美也与息息相关

如果你是一个热爱生活的人，你就会发现生活中处处都有美丽的曲线。比如，平静的湖面上轻轻荡开的涟漪、安静的小村庄里傍晚时分升上蓝天的一缕袅袅的炊烟、夏天小雨过后数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛留下的足迹，这些自然界美妙的曲线都是以涡形或螺线形的形式存在的。而这些螺线都是可以用或由经过一定的变换得到的指数形式来表达。我们把或由经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是，是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。比如对数螺线、阿基米德螺线等。自然界中螺线相当普遍，就像上面提到的生活中的美景，英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感叹：涡旋形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。而涡旋形或螺线形是无所不在，一抬头、一伸手都能触摸得到，比如人的内耳结构是蜗旋状的，我们的指纹、发旋也是蜗旋状的。这是看得见的，还有看不见的。蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，核酸结构也是螺旋状的。谁能说清……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。是“自然律”的精髓，在数学上它是：当n趋近无穷时，函数的极限。

3  重要极限

上面提到的复利计息，实际上就是这个重要极限的结果。当n趋于正无穷或负无穷时，函数的极限就等于。这也是高等数学中的一个重要极限，符合型的幂指函數都可以使用这个重要极限计算。

证明这个极限的方法很多，一般高等数学教材中通过二项式展开放大来证明数列单调上升，并估计出上界为3，尽管这种方法很直接，但是很麻烦。

数学讲求规律和美学，可是圆周率和自然对数一样基本的常量却是混乱，就如同两个“数学幽灵”。但通过欧拉公式二者又相遇了。对任何实数x，有，这就是欧拉公式。将代入，有 ，即，这就是著名的欧拉恒等式。理查德·费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”。它也是数学里最令人着迷的公式之一，它将5个最基本的常数联系到了一起——两个超越数——自然对数的底，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。因此，数学家们评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它”。

这就是神奇的数字，既熟悉又陌生，默默地参与到生活中，又有着自己特定的数值，还参与创造了无数个美的境界，这也正是的魅力之所在。

参考文献

[1] 工科数学（供大学生参考）专辑（上）[M].合肥：合肥工业大学学报杂志社，1993：27-29.

[2] 冯春.工科数学创新教学的实践与研究[M].成都：电子科技大学出版社，2005.

[3] 樊映川.高等数学讲义[M].北京：人民教育出版社，1964.