极坐标系下两曲线交点坐标的求解分析

潘敬贞 杜龙安

[摘  要] 两曲线相交是两曲线的重要位置关系之一，高考题中常考查两曲线的交点坐标或相交弦的长度等有关问题.已知两曲线的极坐标方程，求两曲线交点坐标是近年来高考的高频考点之一，解决此类问题的一般解法是先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程后再求解出交点坐标，但求过程相对较为繁杂. 当然，也可以直接在极坐标系下先求出两曲线交点的极坐标再化为直角坐标，但有时未能有效检验而出现失根现象. 文章针对已知两曲线的极坐标方程求两曲线交点坐标问题，结合两道高考题的解答过程阐述极坐标系下解方程组求交点坐标何时需要检验，怎样检验等问题.

[关键词] 极坐标系下;两曲线交点坐标;求解;分析

两曲线相交是两曲线的重要位置关系之一，高考题中常考查两曲线的交点坐标或相交弦的长度等有关问题，在求解过程中经常涉及不同曲线方程间的三个形态（极坐标方程、普通方程、参数方程）的互化，在不同坐标系下解方程组求交点坐标等. 已知两曲线的极坐标方程，求两曲线交点坐标是近年来高考的高频考点之一，解决此类问题的一般解法是先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程后再求解出交点坐标，但求过程相对较为繁杂. 也可以直接在极坐标系下先求出两曲线交点的极坐标再化为直角坐标，但有时未能有效检验而出现失根现象时有发生. 本文主要在极坐标系下，对两曲线的交点坐标求解问题结合2道高考题的解答过程进行分析.

极坐标系下，由于极点坐标（ρ，θ）具有特殊性，即ρ=0，θ具有不确定性（θ∈R），而联立方程组是寻求同时满足两个方程的未知数（ρ与θ）的值. 因此在极坐标系下根据两曲线的极坐标方程直接联立方程组，通过解方程组得到两曲線交点坐标的过程中极易出现失根情况发生，失根的情形主要为当极点是两曲线的一个交点时. 所以在极坐标系下，根据两曲线的极坐标方程直接联立方程组通过解方程组求出ρ与θ的值后，需要检验极点是否都在两曲线上，即分别对两个极坐标方程进行检验，当令ρ=0时看θ是否有解，若θ有解（θ不一定是0）则说明极点在该曲线上，否则说明极点不在该曲线上.

因此，当已知两曲线的极坐标方程，求两曲线交点坐标时，可直接联立两曲线的极坐标方程通过解方程组得到两曲线交点坐标，当方程只有一个解时，只需检验极点是否为两曲线的交点即可，此种解法方便、简洁、有效.