对一道函数压轴题的多解探究

张明诘

[摘  要] 函数综合题是初中数学重要的问题类型，一般切入点较多，可以采用不同的方法来求解. 考虑到其分析思路较为多样，所以在解题教学中需要重点引导. 文章以一道函数综合题为例，开展解题突破、多解探究，提出相应的教学建议，与读者交流.

[关键词] 函数;多解;平移;对称;整体

问题呈现及思路突破

问题  现有两个二次函数，其解析式分别为y1=x2+bx+c，y2=x2+m. 对于函数y1，当x=2时，该函数可以取得最小值.

（1）试求函数y1解析式中b的值;

（2）如果函数y1的图像与坐标轴只存在A，B两个公共点，试求公共点A，B之间的距离AB;

（3）如果函数y1和y2的图像均经过点（1，-2），在坐标系中取一点（0，a-3），过该点作x轴的平行线，已知所作平行线与函数y1和y2的图像一共存在4个交点，设4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且该4个横坐标值存在如下关系：x1

思路突破  （1）该问求函数y1解析式中的系数b，由系数a>0可知，抛物线y1的图像开口向上. 根据其单调性可知，该抛物线在顶点处取得最小值，于是有-=2，又a=1，所以b=-4.

（2）由（1）问可确定函数y1的解析式为y1=x2-4x+c. 条件指出，其对应图像只与坐标轴有A，B两个不同的公共点，考虑到没有限定公共点位于哪条具体的坐标轴上，所以需分类讨论，具体可以分为以下两种情形：①二次函数y1与x轴和y轴分别只有1个公共点;②二次函数y1与x轴有2个交点，由于图像必须与y轴有公共点，则其中的1个公共点为坐标原点.

①函数y1与x轴和y轴各有1个公共点时，图像与x轴只有一个公共点，则Δ=16-4c=0，解得c=4. 此时y1=x2-4x+4. 令x=0，可得y=4;令y=0，可得x=2. 利用两点之间的距离公式，可得AB=2.

②因为函数y1经过原点，且另一公共点也在x轴上，所以Δ=16-4c>0，解得c<4. 将原点O（0，0）代入解析式y1=x2-4x+c中，解得c=0，所以此时y1=x2-4x. 令y=0，可得x1=0，x2=4，所以两公共点之间的距离AB=4.

（3）已知函数y1，y2均经过点（1，-2），将该点的坐标分别代入函数y1和y2的解析式中，可得1-4+c=-2，

1+m=-2， 解得c=1，

m=-3，所以y1=x2-4x+1，y2=x2-3. 函数y1的解析式可变形为y1=（x-2）2-3，考虑到过点（0，a-3）所作的平行于x轴的直线与函数y1，y2的图像有4个交点，所以需要确保点（0，a-3）位于函数y1顶点的上方，即a-3>-3，解得a>0. 分别令y1=a-3，y2=a-3，将其代入对应的函数解析式中，结合x1

根据函数解析式绘制图像（如图1），将直线y=a-3由函数下方逐步向y轴正方向移动：当-3-2时，横坐标为x1，x3的点在函数y2的图像上，横坐标为x2，x4的点在函数y1的图像上. 现分别加以讨论.

①当-3

-，x2=，x3=2-，x4=2+，所以x4-x3+x2-x1=4. 由于0

②当a-3>-2，即a>1时，x1=-，x2=2-，x3=，x4=2+，所以x4-x3+x2-x1=4.

综上可知，0

[图1][O][x][y][x1][x2][x3][x4][x1][x2][x3][x4]

解法评析及多解探究

此题为一次函数与二次函数为背景的综合题，第（1）（2）小问相对简单，只需要分析函数的特征，适当结合分类讨论即可确定. 第（3）问属于交点分析的代数式最值问题，关键是确定函数交点的坐标. 上述思路采用了常规的平行线平移方法来确定分类的标准，进而确定了代数式的取值范围. 实际上，对于第（3）问，还存在一些其他的方法，下面进行深入探究.

1. 平移视角切入，数形结合分析

根据上述条件，可确定两函数的解析式分别为y1=x2-4x+1，y2=x2-3. 对y1进一步变形可得y1=（x-2）2-3，显然两函數的顶点分别为（2，-3）和（0，-3），且开口方向均向上，大致图像如图2所示. 于是可以将函数y1的图像视为是由y2的图像向右平移2个单位长度得到的.

根据已知条件x11时，根据坐标的大小规律，有CD=x2-x1=2，EF=x4-x3=2，所以x4-x3+x2-x1=EF+CD=4，即代数式为定值4. ②当00，所以4-2DE<4. 所以此时x4-x3+x2-x1<4. 综上可知，x4-x3+x2-x1的最大值为4.

[图2][O][x][y][C][D][E][F][C][D][E][F]

2. 限定视角切入，緊抓对称特征

同样的，我们可以通过分析两函数的特征作为解题切入点. 要确保直线y=a-3与函数有4个切点，需要满足以下两个条件：①直线不经过两函数的交点，即y=a-3≠-2;②直线需位于两函数的顶点上方，而两函数的顶点分别为（2，-3）和（0，-3），所以y=a-3>-3. 因此在讨论时需要分为-3-2两种情形：

（1）当-3

（2）当a-3>-2，即a>1时，此时直线y=a-3位于两函数交点的上方，同样设交点依次为C，D，E，F，因为函数y1的对称轴为直线x=2，点F到该对称轴的距离为x4-2，所以点D的横坐标x2=2-（x4-2）=4-x4. 所以x4+x2=4. 同理，函数y1的对称轴为y轴，即直线x=0，点E到该对称轴的距离为x3，则点C的横坐标x1=0-x3=-x3. 所以x1+x3=0. 所以x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4.

综上可知，x4-x3+x2-x1的最大值为4.

3. 整体视角切入，等量代换计算

基于上述分析，我们还可以直接将点的分析问题转化为代数之间的运算，利用代数运算的精准性来突破. 具体讨论标准同上，即分为01两种情形.

（1）当0

（2）当a>1时，x4，x2在函数y1上;x3，x1在函数y2上. 根据函数解析式，分别令x2-4x+1=a-3，x2-3=a-3，可得x2+x4=4， x3+x1=0，所以x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4.

综上可知，x4-x3+x2-x1的最大值为4.

解法评析上述展示了第（3）问的三种不同切入视角，第一种解法以二次函数的平移作为切入点，采用数形结合的方式加以讨论;第二种解法从四点存在的限定条件视角加以讨论，辅以抛物线对称性来简化代数式;第三种解法则在上述两种解法的基础上，将代数式转化为不同的整体，结合韦达定理构建关系式. 虽切入视角不同，但这些解法均存在如下一些共有特点：①考虑到直线y=a-3的解析式中含有参数a，无法确定直线的具体位置，因此需要对其加以分类讨论，而分类讨论的具体内容均为四点位于函数图像上的情形;②由于此问为一次函数与二次函数的相交问题，因此必然涉及两函数解析式之间的关系分析，而求解两根之差或两根之和必然绕不开相关的定理，如求根公式、韦达定理等[1].

解题思考及教学建议

1. 关注基础知识，透视核心概念

本题属于初中数学的函数综合题，解题过程涉及求二次函数的顶点、对称轴，以及两类函数的交点;而分析问题时又涉及函数的单调性、最值，以及图像绘制，这些内容均是初中数学的基础知识和核心内容. 数学解题最为基本的要求是理解题意，能够运用最基本的方法对问题进行拆解，这就要求我们在学习的过程中要充分理解教材的每一个核心概念，掌握基本的公式、定理. 同样地，教师在教学时应侧重基础概念、定理的讲解，使学生充分理解概念背后的深层内涵，能够灵活运用公式来求解基本问题[2].

2. 问题多解探究，拓展解题思维

上述在求解第（3）问时，基于不同的切入视角，灵活采用不同的方法加以分析、运算，这些解题方法虽大同小异，但对于透视考题结构、剖析深层内涵，具有一定的作用. 如平移视角充分揭示了两函数解析式和图像之间的关系;限度条件视角剖析了讨论的标准，以及两函数图像之间的交点情形;而整体视角则进一步解读了代数式背后的整体关系，建立了交点坐标与函数解析式之间的关系[3]. 这些探究所得的内容对于完善学生的知识架构、拓宽学生的解题思维，有极大的帮助. 因此，在日常的教学中，教师要善于引导学生从不同的角度来分析问题，要帮助学生提炼、总结不同的解题思路，使之内化为学生的经验，逐步形成自己的思维意识，从而不断提升学生的思维水平.

参考文献：

[1]汤永明，王红. 对两道函数题的探究剖析与欣赏[J]. 数学教学通讯，2019（2）：81-83.

[2]冯英馨，李鸿运. 一道中考函数压轴题的一题多解赏析[J]. 中学数学，2018（4）：87-88.

[3]李功林. 整体视角下的函数概念教学实践与思考[J]. 中学数学教学参考，2018（14）：53-56.