“汉诺塔中的数学”教学设计

曾莲秀

【摘要】汉诺塔是源于印度一个古老传说的益智玩具。本课以汉诺塔器具为载体，以“探究-发现”为教学模式，通过引导探究操作最优策略的活动，培养学生观察能力、倒推思维能力，以及有条理地阐述自己想法的能力，并初步体会递归思想。实现让学生在实物操作中、在趣味游戏中开发思维潜能，提升思维水平的教学愿景。

【关键词】汉诺塔 倒推 递归 思维训练

益智器具：汉诺塔

教学目标：

（1）通过素材的搜集让学生了解汉诺塔的起源、构造、游戏规则，并在游戏操作中正确、熟练移动4环以内的汉诺塔。

（2）通过操作汉诺塔并引导探究操作最优策略，培养学生观察能力、倒推思维能力，初步体会递归思想，以及有条理地阐述自己想法的能力。

（3）通过游戏，培养学生积极向上的自信心和努力达到目的的意志力，并增强步步为营、深谋远虑的意识。

教学过程：

师：科学家认为，人脑可以像肌肉一样通过后天的训练进行强化。通过思维训练，能使我们的大脑变得越来越聪明。科学家还认为，益智游戏是培养儿童思维品质的重要途径，你们喜欢玩益智游戏吗？现在就让我们随着欢快的音乐，踏上智慧之旅吧。上课！

一、了解起源，明确规则

1.学生介绍游戏起源、构造

师：课前，老师布置你们去了解汉诺塔，说说看，关于汉诺塔你们都知道些什么？

生1：我知道汉诺塔源于印度一个古老传说。传说大梵天主创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆环。大梵天主命令婆罗门将圆环不改变大小顺序移到另一根柱子上。并且规定，在三根柱子之间一次只能移动一个圆环，大的圆环不能压在小圆环上。法国数学家爱德华·卢卡斯根据这个传说发明了现在的汉诺塔玩具。

生2：我知道汉诺塔由三部分组成：一个底座、三根柱子、一些圆环。

师：为了便于表述，咱们给这三根柱子取个名字，圆环所在的柱子叫起始柱，圆环要去的目的地柱子叫目标柱，另外一根起着过渡中转的作用，我们称它为过渡柱。

生：圆环按从上往下的顺序，称为第一环，第二环……

2.学生明确汉诺塔的游戏规则

教师演示错误的汉诺塔操作方法：一次性拿三个圆环，大的压小的，让学生辨析。

课件出示汉诺塔的游戏规则：一次只能移动一个圆环，大的不能压在小的上面。

师：汉诺塔问题在数学界有着很高的研究价值，今天我们也当一回小小数学家，一起来研究漢诺塔中的数学问题。

二、实战探索，引导探究

1.移动2个圆环

师：现在你们手中的汉诺塔有八层，试着移一移。（师巡视）

师：老师看到大家面有难色，我来采访一下，你们都遇到什么困难？

生1：我在移动的过程中总会出现大的压小的情况，就又撤回来了。

生2：移到后来，不知道怎么走了。

生3：移动这些圆环，感觉需要很多步数，感觉很难完成。

师：现在我们手中的汉诺塔有这么多层，如果没有摸出一点门道就乱移一通，要不就走进死胡同，无法移动，要不来来回回走了很多冤枉路。鉴于这种情况，数学家的方法是，从简单的问题入手，找到规律之后，再根据规律解决稍复杂的问题。好，咱们现在从两个圆环起开始研究。

教师指名学生贴教具演示移动两个圆环的过程，引发全班交流讨论。

师：都是移动2个圆环，怎么这两个同学移动的步数不一样呢？

生：因为他们第一环移的位置不一样，所以总步数就不一样。

师：你观察得真仔细！移动两个圆环，有两种移法：把第一环移到过渡柱，共需3步;把第一环移到目标柱，可能需要6步。3步与6步相比，显然3步移法是最佳方案。看来，第一环的位置很重要啊，它能使我们的移动过程少走弯路。

教师组织学生填写汉诺塔移动情况记录单。

师：刚才我们经过尝试、调整、优化，知道了移动两个圆环最少需要3步。若不操作，你能推理说出用这3步的理由吗？

生：下面的大圆环应该先到达目标柱，再把小圆环移到目标柱，这样就不会出现大的压在小的身上的情况。大圆环要先去目标柱，上面的小圆环就不能移到目标柱，所以第一环只能放在过渡柱上，等大圆环顺利到达目标柱，再请小圆环回到大圆环上面，所以需要3步。

师：掌声送给他，说得真好！这个同学先考虑底下的大圆环，再推想上面的圆环该去哪里合适，这种思考过程，在数学上称为“倒推”。（板书：倒推）

2.移动3个圆环

师：你能用这种“倒推”的想法，推想出3个圆环该怎么移动吗？

说明要求：汉诺塔的起始柱放3个圆环，同桌先互相说说你是怎么推想的，再操作验证，然后完成3个圆环操作记录表。

指名学生贴教具演示移动三个圆环的过程，引导学生观察交流。

师：观察以上操作过程，你有什么发现？

生1：第一环放在目标柱上，步数最少，只需要7步。第一环放在过渡柱，步数更多，可能需要11步、14步。

生2：我发现，上面小圆盘和中圆盘从起始柱移到过渡柱上，至少要移3次，与刚才移动两个圆环需要的步数是同样的，要把它们从过渡柱移到目标柱的大圆环上面，也要3次，只是换柱子了。

生3：我发现移动3个圆环需要7步是这样得来的：上面两个圆环移到过渡柱，需要3步，再将一个圆环移到目标柱，需要1步，最后用同样多的步数将两个圆环移到目标柱，3+1+3=7步。

……

师：你们的思路如此清晰，老师真为你们感到骄傲！电脑博士也抑制不住激动的心情，用这三段动画展示这三部分过程。

师：经过操作，同学们已经知道怎么移动3个圆环了，如果不操作，你能倒推说出这样移动的理由吗？

生：首先，要将最大环解放出来，移到目标柱，那么上面的两个圆环就要移到过渡柱，上面兩个圆环要到过渡柱，那么第一个圆环就不能去过渡柱，所以第一个圆环应移到目标柱。

教师组织学生继续填写汉诺塔移动情况记录单，并适时板书：最大■目标柱。

师：刚才同学们通过探究、交流，发现了3个圆环的最佳移动策略，还知道这么移的理由，真了不起！接下来是移3个圆环的练习时间，两分钟后，我们进行一次小竞赛，速度快的同学可以获得奖品。

3.移动4个圆环

师：现在我们一起回顾一下记录单，共1个圆环，第一环放目标柱，共2个圆环，第一环放过渡柱，共3个圆环，第一环放目标柱，共4个圆环，第一环放哪里，步数才会最少呢？请你猜猜，再动手试试。

学生根据记录单寻找移动规律，尝试操作，汇报步数。

师：移动4个圆环最少需要多少步？谁能到黑板上用教具分几段落讲解？

生：移4个圆环最少用15步，整个移动过程可分三部分：将上面的三个圆环移到过渡柱用7步，再把最大的圆环移出来，移到目标柱用1步，最后又将3个圆环移到目标柱用7步。

师：分析得太到位了！前面探究获得的结果以及研究方法可以帮助我们解决后面的问题，大家能举一反三，触类旁通，类推能力真强啊！

三、交流反馈，归纳规律

1.交流反馈，探究规律

师：刚才我们分别研究了1～4个圆环的移动方法和最少步数。你发现了什么？

生：……

师：移动圆环最少步数之间有没有什么规律呢？

教师引导学生观察由移动步数组成的数列：1，3，7，15……猜想和探究其中隐藏的规律。同桌讨论交流，指名汇报。

师：根据你们发现的规律，请算一算，移5个圆环，最少需要多少步？

生……

师：5个圆环，最大环上面有几个圆环？（4个）要想办法将最大环之上的其他圆环移动到过渡柱上，于是就要“看5想4，看4想3，看3想2”。

教师适时板书树状递归分析图。

师：像这样，将复杂的问题不断转化成与之相似的较小问题，这种思想，在数学上称为递归思想。（板书：递归）

2.运用思想，迁移延伸

师：请同学们应用递归思想计算出移动6个、7个、8个环最少需要的步数，并填写完汉诺塔移动情况记录单（如下表）。

四、评价激励，升华提高

师：同学们，课后再去练习5层、6层、7层、8层环的移动。今天这节课就要结束了，你有哪些收获和感受？快来说说吧。

生1：这节课，我认识了汉诺塔这款益智玩具，我会玩汉诺塔游戏了。

生2：我玩4层“汉诺塔”游戏遇到重重困难，终于挑战成功，很开心。

生3：我知道动手操作时，要善于观察和思考，不能盲目操作。

生4：我知道汉诺塔层数是单数时，第一环要移到目标柱，汉诺塔层数是双数时，第一环要移到过渡柱上，这样就不会走回头路、走弯路，移动的步数就会是最少的。

生5：我知道每增加一个圆环，最少步数是上一次的2倍还要多1。

生6：我知道汉诺塔游戏中要用到倒推、递归的思想方法。

师：同学们的收获真不少啊！一个小小的益智玩具里竟然蕴含着这么多的数学知识和数学思想。看来，只要大家用数学的眼光观察，用数学的思维思考，就能在周边的事物中发现更多的数学奥秘。下课！