例谈高中学生数学应用题建模能力的培养

欧红波

摘 要：《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：数学建模是中学数学六大核心素养之一。然而，目前从教师的教到学生的学，都对数学建模的重视度不够。文章通过研读新课标要求和历年高考题目，简要分析了高中学生数学应用题建模能力存在的问题，并提出了相应的提高学生应用题建模能力的策略。

关键词：高中生;数学应用题;建模能力;培养策略

回顾历年高考全国卷的数学应用题，其选材丰富、背景多样、贴近生活。但很多学生不喜欢做数学应用题，对应用题的数学建模有恐惧心理。本文结合多年的高三备考教学的实践经验，例谈高中生数学建模能力薄弱的原因和教学对策。

一、高中生惧怕数学应用题的原因

（一）阅读及审题能力不足

阅读，就是为了弄清题意，这是解决数学应用题的第一步，也是基础性的一步。高中数学应用题题目长、信息量大、数据关系比较复杂和有效信息与迷惑性信息相混杂，个别题目还涉及一些专业术语难以理解等问题。学生由于阅读及审题能力不足，在有限的应试时间内难以准确理解题意，更难理顺复杂的数量关系。

（二）数学建模能力薄弱

数学应用题区别于其他数学题目是要把抽象化的数学知识与具体化的实际问题相对接。因此，在实际情景中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，建立数学模型，最终运用数学知识解决实际问题，这恰好是学生普遍缺乏的能力。

二、强化数学应用意识，突出数学建模思想

数学建模就是用数学的方法把实际问题用数学语言转化成数学问题的过程，数学建模是联系数学与实际问题的桥梁。应用数学知识和方法去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。

这就要求学生能读懂题目的条件和要求，将所学的知识和方法灵活应用于实际问题情境，舍弃问题中与数学无关的非本质因素，抽取出涉及问题本质的数学结构，建立适当的数学模型。从实际情景性问题的数学建模层次来看，高考数学应用问题的考查，主要分为两类：

一类是数学模型在问题情景中已经给出，利用所给的数学模型对问题进行定性、定量分析而求解。

例1：（2011·湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_______升。

题目中已知这个数列是等差数列，只需要考生把实际问题转化为等差数列（在等差数列{an}中，S4=3，a7+a8+a9=4，求a5 ）的一个数列上求基本量的计算问题，但以应用题形式出现，学生就出现了思维障碍。

例2：（2013年高考重庆卷）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）。设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米。假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）。

（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域;

（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大。

此题是课后习题，解答此题的关键在于找出等量关系200πrh+160πr2 =12000π，即h=（300-4r2），

进一步得到V关于r的函数关系V（r）=πr2h=（300r-4r3），再根据r>0，h>0得到函数的定义域为（0，5）。这则高考题背景材料学生并不陌生。数学知识是圆柱侧面积和体积问题，但学生欠缺的就是把两者结合起来，即把实际问题数学化的这种能力。

另一类是数学模型在问题情景中没有给出，完全需要解题者自己进行分析抽象提炼出数学模型，再对数学模型求解。

例3：某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史纪录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小時。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由。

由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车每小时的工作效率为，从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2…a25小时，依题意组成公差d=-（小时）的等差数列，且a1≤24，则有++……+≥1，≥480，化简可得2a1-8≥，解得a1≥23.2<24。可见a1的工作时间可以满足要求。此题的关键是能成功构建等差数列模型和不等式模型，进一步求解就非常顺利了。

例4：（2003年全国卷）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南θ（cosθ=）方向300km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km / h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

这是一个典型的实际问题情景化的数学应用问题，其情境来源于沿海城市的台风预报，考查学生的建模能力，能把实际问题转化成圆的方程和不等式问题。

三、提高学生应用题建模能力的策略

（一）提高学生的阅读能力，是培养学生抽象概括能力的前提

突破题意阅读关，消除学生对应用题的恐惧不是一蹴而就的事，它需要平时加强训练。平时上课，教师总是把阅读的时间放在最后，让学生大概了解公式、概念的含义。过后，学生也是走马观花，完成教师布置的任务而已，没有什么效果。教师应该根据自己讲授的教学内容选择好合适的阅读时间，让学生通过自己的阅读真正的理解本节课所讲授内容。培养学生在做应用题时，敢于去认真阅读题目，慢慢消除恐惧心理。当然，除了掌握书本知识外，学生还应留意生活，积累必要的生活常识。

（二）感悟数学的应用价值，是培养学生建模能力的基础

数学源于生活，用于生活，对書本知识系统、深刻、熟练的掌握正是解决数学应用题的知识基础和思路起点。因此，课堂教学要多以生活实际提出问题、分析问题。例如：在学习公理“不共线三点，确定一个平面”时，可以提出：“为什么教室门，当不拴门时，门可以随意开关，但当把门拴上时，门就不能开了？”“若给门安装三个合页，门还能自由开关。”通过这样的实例，能让学生掌握这个概念，培养学生用数学思维看待事物，产生“生活中处处有数学”的意识。同时，一道题目可能有较多的建模思路，应让学生选择自己最熟悉或运算过程少、技巧性不太强的数学模型为切入点，树立学生建模信心。

（三）主动探究，经历建模的过程是关键

数学建模是对现实问题进行数学抽象，建模的过程就是将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言的过程。显然，建模与纯粹的数学能力有密切关系，但是不等价，应用意识需要不断培养、锻炼。需要学生经历主动探究、主动发现，而不是教师直接告诉学生怎么解答，因此，在教学时我们要善于引导学生自主探究，对学习过程、学习材料主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。

（四）熟悉一些常见问题的数学模型

数学应用题背景虽然范围广泛，但考察的就是常见的几种数学模型，需要熟练掌握。

1. 函数模型：利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数的模型，解决现实生活中的最值问题。

例5：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

这是一个典型的函数模型，学生需要设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，列出函数解析式：y=（520-40x）x-200，0<x<13。易知，这是个二次函数最值问题。

2. 数列模型：利用等差数列、等比数列知识解决增长率、降低率、复利等与次序有关的问题（如例1及例3）。

遇到航海、距离、高度、角度等三角形问题，自然就要想到利用正（余）弦定理。还有不等式模型、线性规划都是常用到的数学模型，需要非常熟悉。

数学建模作为中学数学六大核心素养之一，在高考数学试题中必然会继续得到体现并得到重视，我们在数学教学中要注意培养学生的阅读理解能力以及利用数学知识解决实际问题的能力，让学生感悟数学的应用价值，培养学生数学建模思想、强化数学应用意识，熟练常考的数学建模方法，才能提高学生数学建模能力。