数轴在初一数学中的重要应用

郑飞飞

摘 要：数学是研究数与形的一门学科。数形结合更是数学的一种重要思想方法，而数轴则是我们学生更好掌握数形结合思想的基础。初一课本给我们的数轴定义是：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。利用数轴可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨性和直观性两大优势，是优化解体的一种重要途径。鉴于数轴的在初一数学中的重要性现就数轴在初一数学解题中的应用做如下简要的探讨。

关键词：数轴；解题；应用；探讨

引言：数轴是数形结合思想于初中的初步体现，是“数”与“形”的初步结合。想要完全掌握数轴的各方面知识，我们通过“认识数轴”和“数轴上的点与实数的关系”来体会，另外在不等式中利用数轴讨论不等式的解集的问题中的应用来理解。本文就“认识数轴”“数轴上的点与数轴的关系”“运算中数轴的应用”“不等式中数轴的应用”三方面来探讨数轴在初一数学中的重要应用。

一：认识数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。它具有三要素：原点、正方向、单位长度。

例1：下列数轴的画法正确的是（）

这里主要考察对数轴的理解，数轴三要素缺一不可。

数轴的画法：（1）.画一条直线（一般画成水平的直线）；

（2）.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）；

（3）.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）；

（4）.选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…。

例2：数轴上表示数-3和2之间的所有整数（包括-3和2两个数）的和等于多少？

通过画出数轴，可以知道-3和2之间的所有整数有：-3，-2，-1， 0， 1， 2 它们的和：（-3）+ （-2 ）+（ -1）+ 0 + 1 + 2 =-3。这是建立在学生对数轴的理解的基础上的，通过有形的数轴数出具体的正数。这在后面的数学学习中还有更多的体现。

二：数轴上的点和有理数的关系

数轴上的点与有理数的关系可以从（1）任何一个有理数都可以用数轴上的点表示；（2）正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。

其实在我们将数域扩充到实数范围时，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系。

例3：已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧.点A，B表示的数分别是1，3，如图（1）所示.若BC=2AB，则点C表示的数是____.

本题是2017年福建中考题，考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.）先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数.

例4、若a，b为有理数，a>0，b<0，且|a|<|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（ ）

A.b<﹣a<﹣b

C.b<﹣a

这是《安徽省合肥市2017-2018学年七年级上学期第一次月考试题》的第7题根据a>0，b<0，且|a|<|b|，可用取特殊值的方法进行比较.但此题若是运用数轴，在数轴上找到a，b，-a，-b的位置，则他们的大小关系就一目了然了。

运用数轴比较实数大小是一种非常简单明了的办法，只要准确的画出数轴，找出数的位置，就可以很快地得出结果。在实数的大小比较中，运用数轴比大小是一种较为常见的方法。

例5、在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图（2）所示，设点A，B，C所对应数的和是p.

（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C為原点，p又是多少？

（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p.

本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.根据以B为原点，则C表示1，A表示-2，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示-3，B表示-1，进而得到p的值；根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示-28，B表示-29，A表示-31，据此可得p的值.

三：运算中数轴的应用

数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化.如加法就是在数轴上先找到一个加数，再继续向右数.数到几，和就是几。乘法就是在数轴上从0开始几个几个地向右数，数到几，积就是几。我们知道减法是加法的逆运算，加法是向右数，那么减法就是从被减数开始向左数，数到几，差就是几。对于除法的运算，仿照这种思想利用数轴也可以进行计算。当学生拥有在数轴上进行加法的“跳跃”经验后，在数轴上进行乘法计算时，这种连续的“等距离跳跃”（如下图），既可以帮助学生进一步理解相同加数连加的乘法本质，使学生清楚地认识乘法口诀中每个乘积的来源，理解相邻两个积之间等差的关系，又有助于学生初步感知数列的规律。

例6、利用数轴计算3*4

分析：

借助数轴帮助学生理解运算，学生需要将计数与图像联系起来.如“加一个”就是与数序中的后一个数相关联，在数轴上表现为向右数或向右移动；“减一个”则是与数序中的前一个数相关联，在数轴上表现为向左数或向左移动.这种在数轴上的移动表征，为以计数为基础的计算策略提供了心理意象.

四：不等式中数轴的应用

在不等式中讲对于数轴的应用可以从（1）用数轴表示不等式的解集；（2）用数轴表示不等式组的解集；（3）利用数轴解不等式中参数范围的应用三方面来加以探讨。

例7、解不等式5（x-1）≤3（x+1），并把解集在数轴上表示出来.

这是最一般的不等式，是七年级下学期的内容，考察在数轴上表示不等式的解集、以及解一元一次不等式。把解集在数轴上表示出来是对上学期有关数轴的复习，也是对数轴的再次深入应用。让学生对于不等式的解集从抽象的字眼转向了具体的实物，让学生易于理解何为不等式的解集。为学生更深入的学习打下了基础。

例8、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来.

由上述四例可发现不等式组的解集有四种情况（a>b）：

若：①当 时，则不等式的公共解集为x>a；

②当 时，不等式的公共解集为b

③当 时，不等式的公共解集为x

④当 时，不等式组无解.

也可以用语言简单表述为大大取小；小小取小，大小小大取中间；大大小小题无解.

本题考察了不等式组的解法，通过在数轴上表示不等式的解集，将不等式组的解集作出如上归纳。

例9、关于x的不等式a-2x<-1的解集如图所示.求a.

本题根据数轴给出的解集反过来求参数值的问题，考察了数轴、不等式待定系数的求法。这是在学生对于“数轴上的点与实数是一一对应”的准确理解下的正确应用，才可对此题做出正确的解题过程。

例10、不等式组 有解，则a必须满足什么条件？

这种题型在不等式的练习预测始终较常出现，但学生对于这类题也是有的害怕，因为它相对于简单的解不等式或不等式组的题有点区别，需要学生先理解，自己写出关于a的不等式，然后将之解出来。其中一个不等式已经给出-1≤x≤1，要使不等式组有解则另一不等式的解必含有已有的解的范围。通过这种思想加上数轴形象的表示出有关a的范围是a/2>-1，从而得出a>-2.对于a/2能否等于-1.很多学生会有困扰，其实只要画出数轴我们就能很清楚的看出来。

数轴不仅有上述探讨的应用，它还有很多其他的用处，例如：数轴是认识时间的辅助平台、数轴是平面结构化的组成元素等等。本文就不一一探讨说明了。

数周的学习与应用对于数形结合的思想的培养具有重要的作用，它是数与形的初步结合，是数形结合的开始。利用数轴可以使我们在解题过程中将很多复杂问题简单化，抽象問题形象化。在我们初一的数学学习过程中，利用好数轴，可以使我们的很多问题简单化。

参考文献：

[1]《义务教育课程标准实验教科书 数学 七年级上册》，上海科学技术出版社.

[2]《义务教育课程标准实验教科书 数学 七年级下册》，上海科学技术出版社.