“数形结合”释“悬疑”

王宝姿 黄甲锋

在抛物线中探究平行四边形存在性问题，题目非常灵活，不仅能考察学生的基础知识掌握情况，也能很好的考察学生的综合能力和思维能力，蕴含了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想，是中考考察的热点，同时也是学生的失分点。笔者在教学中探究过抛物线中的平行四边形存在性问题，运用“数形结合”的数学思想方法把解题的方法进行了归纳和总结，让学生形成了解题模型，取得了较好的效果，现在分享如下。

在抛物线中平行四边形存在性问题，一般分为两种常见类型：一种是已知平面上的三个定点，求平行四边形的第四个点是否存在，为了表述法方便，将这一种类型题目称为“定三求一”型;还有一种是已知两个定点，另外两个点分别在抛物线上或者某条直线上，探究这样的平行四边形是否存在，这一种类型简洁称为“定二求二”型。下面，笔者分别对这两种类型的题目的解题方法做个简单的探究。

其实，在这四个点中，从任何一个点的角度看，跟另外的三个点都可能成为平行四边形的对角线，所以总能分成三种情况讨论。

方法总结： “知二求二”型问题的解题步骤为：（1）先设出两个未知点的坐标;（2）按对角线的不同分三种情况讨论;（3）由“对点法”规律列出方程组;（4）求出方程组的解，算出符合条件的点的坐标。

其實，对于抛物线中的平行四边形的存在性问题，例题1和例题2解决问题的方法并不是分开割裂的，既可以用“平移法”解决“定二求二”型问题，也可以用“对点法”解决“知三求一”型问题。

用“平移法”解决“定三求一”问题，解决问题的思路体现的是由“形”到“数”的过程。先画出图形，再求解，能够使问题直观呈现，这种从“几何”的角度解决问题的方法，问题较简单时，优越性较突出，当求的点不止一个时，有时不容易画出来，常常会漏掉某些情况。

“定二求二”型问题，甚至是“求多”型问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，它解决问题的思路体现的是由“数”到“形”的过程。这种从“代数”的角度来解决问题的方法，动点越多，优越性越突出。

抛物线中的平行四边形存在性问题中，不管是用“平移法”还是“对点法”，都体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法。通过这样的题型教学，对学生数学综合能力的提升，以及数学思想方法的渗透，都是大有裨益的。