操作中体验，算理与算法间穿行-

王君

算理与算法是我们计算教学中常常提到的两个词，看上去似乎很像不易分清，但细细深究起来，算理：即计算的原理或道理，是解决问题的操作程序，解决“为什么这样算的问题”。算法：即计算的方法，是解决问题的操作程序，解决“怎么算”的问题。算理是算法赖以成立的数学原理。也就是说计算教学由计算原理教学和技能训练两部分组成。在教学时，教师应该指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，最后形成计算技能。

在计算教学活动中，很多教师非常注重算法的训练，而对算理的教学比较忽略。课堂上对于算理，教师只讲一遍，一带而过，学生的探究活动也是针对方法探究的活动多，接下来就是对计算方法的反复强化。老师说说计算时要注意的地方，再请学生说一说，然后就开始练习，一遍又一遍，一题又一题，达到熟能生巧， “一看见题就知道怎么写”的程度，而不去想为什么这样做。表面看来教学效果和学习效果都很不错，老师教过的都掌握了，并且做到了“算的又对又快”，但是对于老师没教过的、学生经过知识的迁移进行类比推理、转化就可以自己掌握的知识，让学生通过计算学习学会学习，感悟类比数学思想方法，教师却很少考虑，学生失去了自我探究、教师失去了培养学生学习能力的大好时机，这不能不说是计算教学的缺憾。在计算教学中怎样有效进行算理与算法的有效链接是值得我们每个数学教师深思的问题。

人教版教材三年级上册第六单元《多位数乘一位数》的《笔算乘法》一课，是学生在二年级已熟练掌握表内乘法、能正确口算100以内加、减法;在三年级，刚刚学会口算整十、整百、整千数乘一位数和两位数乘一位数（不进位）的基础上进行教学的。这节课既是乘法竖式的起始，又是本单元的重点。既是表内乘法的进一步发展，又是进一步学习两位数乘两位数乘法（多位数乘法）的重要基础。因此，切实掌握好两、三位数乘一位数的笔算方法，学生可以借助本课的学习经验，迁移、类推后续两位数乘两位数的内容，对学生日后计算内容中算理的理解、学习能力的发展具有十分重要的意义。

本课将教学两道例题：例1：12×3（不进位）。在第一小节中学生已经会口算，并且会摆小棒表示3个12相加的和，本课重在让学生会笔算12×3。例2：16×3（一次进位）的笔算。因教材中的例1是买水彩笔和买书的情景图，不能较好地激发学生的学习兴趣，因此我在教学中将情境图改为2015年9月3日，天安门大阅兵各种方队的介绍。目的是为计算教学提供丰富的现实背景，激发兴趣，对学生进行热爱祖国，爱好和平的教育。

因考虑到如果只教学例1（不进位），会让学生觉得过于简单，不利于激发学生的探究欲望，学生也有能力在一节课中接受两道例题的学习。所以我把例1和例2放在一课教学，想通过不进位和进位笔算乘法算理的对比学习，加深对多位数乘一位数算理的理解。

在笔算学习经验上，学生已经具备了笔算加、减法和除法的计算方法，积累了一定的学习经验。因笔算乘法与笔算加减法有很大差异，多位数乘一位数不是相同数位上的数相乘，学生第一次接触笔算乘法时在乘法竖式的写法和理解竖式计算中每一步的算理方面仍感到困难。

“教之道在于导，学之道在于悟”，本课教学，我将情境创设、迁移尝试、观察对比、交流讨论、动手操作、错例分析、沟通融合、自主练习、相互评价等有机地结合起来。让学生结合操作探索竖式的写法，将动作表征（操作），与符号表征（竖式）紧密结合起来，帮助学生理解竖式每一步的算理，突出重点、突破难点。过程中凸显学生的主体地位，教师只做适时的引导和点拨。

因教材中水彩笔和买书的情景图不能很好地激发学生的学习兴趣，因此将情境图改为2015年9月3日天安门大阅兵中各种方队的介绍。目的是增强情境与现实生活的联系，激发学生的兴趣，对学生进行热爱祖国，爱好和平的教育。

从3组空中方队和3组导弹方队图的观察，引出两个要解决的问题：3组空中方队一共有多少架飞机？3组导弹方队一共有多少辆车？

对于12×3展示学生口算想法后，你还能用其它的方法来计算12×3吗？在谈话中，帮助学生找到新课的生长点，明确要解决的新问题。顺应学生的思路，唤起学生对已有知识的回忆，“我们已经学习了加减法和除法竖式，还没有学过乘法竖式”，从而揭示今天的课题。在学生已有的知识经验上，搭建一个桥梁，让学生感受到新旧知识间密不可分。

在计算12×3时，预设学生会用连加、口算、竖式、摆小棒等多种方法来计算。在实际教学中，学生只出现了口算和笔算的方法，顺应学生的思路，在学生已有知识经验上复习口算方法，引出乘法竖式，揭示课题。让学生感受到新旧知识间密不可分。

充分利用学生在口算乘法中积累的数学活动经验，自主探索笔算竖式的写法。预设：完整的分步演算的乘法竖式;简写的乘法竖式。可实际授课中，学生只出现了简写的乘法竖式。

为了帮助学生更好地从口算向笔算方法转化，我补充了完整的分步演算的乘法竖式。（预设3）

“你能找一找口算中的2×3=6，10×3=30，分别在竖式计算的什么地方？在小棒图的什么地方吗？”利用数形结合的思想，请学生指、圈、说沟通建立小棒图与口笔算之间的关系，帮助学生理解算理，初步掌握算法。

为了帮助学生更好地从口算向笔算方法转化，教师一边讲算理，一边板书沿口算思路形成的竖式写法，由此请学生对比观察：“你认为两种竖式的写法，哪种好？为什么？”学生一致认为沿口算思路写成的竖式特别清楚，“10×3=30，这个30怎么不见了？ ” 我把重点放在引导学生体会哪种竖式更为简便。动态的课件演示：任何数和0相加还得原数。10×3=30的3可以直接写在十位上。口算思路转向乘法竖式的形成过程，形象地沟通了新旧知识间的联系，有利于学生完整知识体系的建立。

––

独立完成书60页做一做，其中包含两三位数乘一位数的不进位练习，思考：你是从哪一位算起的？按照什么顺序算的？在理解算理的基础上，明晰算法，进一步突出重点，突破难点，为后续的学习做好准备。

当学生初步理解了笔算（不进位）乘法的算理并掌握了一定的计算方法后，请学生借助刚才的学习经验，尝试笔算（进位）16×3。

合理利用课堂生成的资源，先让学生展示各自的答案（有错、有对），再引导学生通过摆小棒的方法加以验证，在突破 “十位上的4是怎么来的”这一教学难点时，先请同桌在小棒图上找一找，说一说，再全班交流。重点解释把10个一转向十位，换来1个十。进而说明原来的30，现在变成了40。教师适时板书乘法竖式的完整步骤，再将其简化，让学生结合小棒图说说积每一位上的数表示的含义，进一步理解进位法则。

学生通过操作，将动作表征转化为符号表征，加深对笔算进位乘法算理的理解，掌握算法，突破教学难点。让学生亲历计算方法的获得过程，把抽象的算法和难以理解的算理直观而具体地呈现在学生面前，用算理支撑起算法。

2.评价：讨论辨析多种答案，提升认识。

充分利用课堂生成的多种答案22、28、48、58、68等，到底哪个答案是正确的？在全班的交流、讨论、辨析中，再次加深学生对进位算理的理解，进一步巩固学生对进位算法的掌握。

引导学生思考：空中方队和导弹方队的问题在解决时有哪些地方是一样的，有哪些地方是不同的？增强学生对本课重难点的把握，加深了对多位数乘一位数的完整认识。

书61页做一做1的练习，让学生体会：进位时满几十就要向前一位进几。辨析之后再投入练习，有效地减少了错误，培养了学生认真检查的习惯，为发展学生的运算能力做出了有效的尝试。

“这节课你有什么收獲？”学生们畅所欲言，从自己学习的过程进行梳理。增强了学生对本节课的系统认识，教师小结再次把握全课重难点。

建构主义学习理论认为，学习是学生自主进行知识建构的过程。“算理”是学生走向“算法”的桥梁，是学生学习“算法”的基础。如果计算教学中单纯地谈算理的理解，远远达不到计算教学的要求。因为，计算能力的形成是建立在熟练计算之上的，而要达成熟练的计算必然离不开计算方法的支撑。因此，本文仅以三上《笔算乘法》的教学为例引导学生自主探索、合作交流，通过比较、分析、应用等活动过程，使学生理解算理，掌握多数乘一位数的顺序和积的书写位置，从而突破教学难点。以此来和大家一起明晰：计算教学不仅要引导学生理解算理，更要促进学生对算理与算法的有效融合。当学生积累了一定的计算方面的学习经验，就能够实现计算方法和学习能力上质的飞跃。