双曲线标准方程的推导及发现

左向阳

摘要：本文介绍了五种推导双曲线标准方程的方法（移项平方法、直接平方法、分子有理化法、“余弦定理”法、“平方差”法），这些方法的由来是受教材思考题和例题的启发，也为双曲线方程的灵活运用打下了坚实基础。

关键词：双曲线 方程 推导 启示 发现

近期看文[1]，[2]，是关于椭圆标准方程的推导及其发现、领悟，于是想到，笔者在上双曲线的标准方程时也可采用其它的方法来化简。在推导双曲线的标准方程时，大多数教师都会采用教材中的推导过程，有时教师提一下直接平方会更复杂一点，并顺便否定其他的推导过程。事实果真如此吗？本文笔者采用五种方法来推导双曲线的标准方程，并试着沿教材编写者的意图来分析这样处理教材的原因。

二、启示与发现

仅从运算角度看，教材采用方法1的优势并不是很明显，那么教材这样处理的意义何在？

通过笔者的教学，有以下发现。

1、（教材选修2-1）第55页探究：点A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是-4/9，求点M的轨迹方程。

分析：设点M的坐标（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以表示成x，y的式子，由于它们斜率之积是-4/9，因此可以建立x，y之间的关系式，得出M的轨迹方程。

3、方法4在数学史上采用得并不多，现在大多数人根本不熟悉，尽管在推导过程中还得到了焦半径公式：⑧式。方法5巧妙的利用了平方，从而避免了出现根式，再利用作差，就很简单得出了双曲线的标准方程。对学生来说也会觉得自然，在课堂上可以介绍给学生。

不同结构的数学式子具有不同的数学内涵，代表着不同的几何意义，但它们表示同一图形——双曲线。采用方法1不仅让学生得到了双曲线的标准方程，还理解了双曲线的不同描述，教学生完整的了解双曲线标准方程的含义，对双曲线各种表述留下较为深刻的印象，这样也对双曲线的领悟更深刻。反过来，这也使得单调、繁琐的运算过程变得生动而有活力，为双曲线方程的灵活运用打下了坚实基础。更重要的是让学生明白，变的是形式，不變的是本质这一科学道理。

参考文献

[1]沈金兴，数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J]，数学通讯，2015.4下半月（教师）：1-3

[2]祝要辉，比较发现

领悟[J]，中学数学参考，2014年第12期（上旬）：2021