双曲线及其标准方程的研究的教学设计

张学斌

摘 要：在椭圆的学习中，学生已经熟练的掌握了椭圆的定义及椭圆标准方程的推导，在学习双曲线时，把重点转移到了如何发现双曲线定义，如何对双曲线标准方程进行深入探究，从而培养学生使用类比法，归纳猜想证明等方法研究问题的能力。

关键词：双曲线 椭圆 标准方程 发现 定义

随着课改的深入进行，我们越来越关注课堂上教师如何教，学生如何学的研究和实践。下面我们以高中数学“双曲线及其标准方程的研究”为例，谈谈我是如何在课堂上努力突教师的主导性和学生主体性的。

一、指导思想与理论依据

1.新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式。

2.新课程注重提高学生的数学思维能力。

3.数学课程强调本质，注意适度形式化。

二、数学背景分析

1.教材分析——双曲线及其方程是在直线方程、圆的方程、椭圆学习之后的又一个圆锥曲线，这是中学解析几何的重要内容之一。

2.学情分析——在椭圆的学习中，学生已经熟练掌握了椭圆的定义以及椭圆标准方程的推导。所以在学习双曲线时，可以把重点转移到如何发现双曲线定义、如何对双曲线标准方程进行深入探究，从而培养学生使用类比法、归纳猜想证明等方法研究问题的能力。

三、教学目标分析

1.知识与技能——让学生从发展和发现的角度来理解双曲线及其标准方程，在研究问题过程中培养学生使用类比法、观察归纳猜想证明、转化等具体数学方法，通过双曲线及其标准方程的研究使学生进一步掌握研究解析几何问题的技能方法。

2.过程及方法——通过直线、圆、椭圆的定义归纳及双曲线标准方程的推导培养学生发现规律、认识规律并验证规律的能力，使学生经历知识产生和形成的过程，不仅注意这一研究结果的掌握和应用，更重视研究方法的思想渗透和分析问题解决问题的能力培养。

3.情感态度与价值观——通过学生动手动脑，体验知识的形成过程，使学生获得成功的体验，增强学生的信心，培养学生探索创造的意识和方法能力。

四、教学过程的设计

1.创设问题情境，激活原有的认知结构

①回顾已经学习过的曲线，可以看成是由满足什么条件的点所形成的轨迹。

直线可以看成是到两个定点的距离相等的点的轨迹，圆可以看成是到一个定点的距离等于一个常数的点的轨迹，椭圆可以看成是到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。通过回顾，可以发现上面这三种曲线都使用了“点到点的距离”这个概念（为了说明问题简单，我们把“点到点的距离”简称为“点点距”）。点点距等于常数这个条件对应的曲线是圆，点点距减点点距等于零对应的曲线是直线，点点距加点点距等于常数所对应的曲线是椭圆。

②引导学生思考如何改变上述条件，从而得到新的曲线。

我们鼓励学生分析猜想：前面这些都涉及到点点距的运算，点点距的运算除了加、减还有什么呢？还有乘、除。自然而然，学生们联想到：点点距减点点距等于常数，点点距乘以点点距等于常数，点点距除以点点距等于常数，当然还有其他的一些条件。

那么这些条件都有它所对应的曲线，我们选择哪一个条件来进行研究呢？由加法和减法是同级运算，因而首先选择“点点距减点点距等于常数”这个条件下手。从而明确课题：研究满足“点点距减点点距等于常数”所对应的动点的轨迹。

这一部分的设计意图是启发学生通过类比、猜想、框图、运算符号等多种方式创设恰当的问题情境，使学生的思维受到启发。

2.引导学生探究双曲线的定义及其标准方程。

由于前面我们已经归纳了加法和减法属于同级运算，所以这个地方类比椭圆来研究就显得顺其自然。

①我们先回顾椭圆定义。

②引导学生类比椭圆的定义，对满足“点点距减点点距等于常数”这个条件所对应的动点的轨迹下定义，到哪一个定点的距离作为被减数有两种选择，这样一来我们就可以得到两个几何关系式，如何把这两个几何关系式统一起来，学生自然联想到绝对值，这样一来我们就可以得到新曲线的完整定义。然后通过画图让学生感受新曲线的形状，通过图形再给出新曲线的名称——双曲线。这个设计意图是整个过程体现观察、类比、猜想、联系四个方法，有意识地训练学生根据已知的知识给新曲线下定义的能力。它有利于培养学生的抽象、概括、分析、归纳的逻辑思维能力。

③引导学生利用椭圆标准方程的推导过程探究双曲线的标准方程。在课前我们先让学生复习一下椭圆标准方程的推导过程，在课上我们就直接使用PPT呈现椭圆标准方程推导过程的五步——第一步建系、第二步设点、第三步呈现几何条件、第四步代入坐标。第五步化简。这五步我们可以把它简称：“建，设、现、代、化”，学生在椭圆标准化方程推导的过程中只作相应的改动，从而得到双曲线标准方程的推导过程。这个设计意图是通过椭圆与双曲线标准方程推导过程的比较，初步感受椭圆方程和双曲线方程的联系和差异，体会类比的作用。

3.反思知识的形成过程，进而再创造。

①比较椭圆与双曲线方程的推导过程可发现，椭圆和双曲线是两个不同的曲线，但我们通过从两者标准方程的推导过程中来看在什么地方没有发生改变。这样一来我们就得到第一个发现——既是椭圆又是双曲线的方程，我们把它称为椭圆与双曲线的方程。这时注意一定要学生归纳一下，椭圆中a大于c，双曲线中a小于c。这就是我们得到的第一个发现。其设计意图是使得学生认识这两个曲线之间的本质与联系，为后面的发现打下基础。

②我们要根据发现一作大胆的猜想，椭圆和双曲线的方程是可以统一的。那么问学生我们可以作出什么样的大胆猜想呢？学生有可能猜想到椭圆与双曲线有相同的定义，但是椭圆的定义与双曲线的定义是不同的。那么这是为什么呢，好，又可以进一步地去猜想雙曲线是有第二定义的，还可以猜想两者的第二定义也是一样的。接下来验证猜想，得到发现二。如果学生思维出现障碍，就可以提示学生椭圆的第二定义是什么样子，然后从双曲线的第二条方程的推导过程，我们可以作变形，就可以得到双曲线的第二定义，这就是我们的第二个发现。

③类比的反作用，作出新猜想并验证新猜想，从而得到发现三。我们可以看到双曲线的第二定义是从双曲线的标准方程推导过程中推导来的，而椭圆的第二定义是我们课本上给出的一道例题，那我们可以作出新的猜想，椭圆的第二定义也可以从椭圆的标准方程的推导过程中推导出来。我们可以对椭圆标准方程的推导过程作变形，从而得到椭圆的第二定义。这样我们可以得到第三个发现——椭圆的第二定义。

④归纳双曲线和椭圆的第二定义的共性，验证猜想二，得到发现四——椭圆和双曲线都可以看成是到定点的距离与到定直线的距离之比为c/a的动点的轨迹。这样一来我们就可以得到第四个发现——椭圆与双曲线统一定义。当然要让学生清楚椭圆中01。我们可以看到椭圆和双曲线的第二定义都可以从两者的标准方程的推导过程中得到。我们还可以对这两者的标准方程的推导过程进行深人的研究，以得到更多的新发现。

4.小结，可以提高认识问题的高度，促进对知识结构的完整了解。

第一个知识的小结，双曲线及其标准方程;第二个，双曲线与椭圆的统一方程和统一定义;第三个，研究问题的基本方法。

下面我们来看这节课研究问题的整个过程，首先从直线，圆、椭圆的定义归纳概括其共性，发观都是通过“点点距”来形成定义的。然后对所列条件进行纵向拓展，得到一系列条件，从这些条件中选择一种条件进行研究，即选择“点点距减点点距等于常数”这个条件来进行研究。我们通过类比椭圆，得到双曲线及其标准方程，然后反思知识形成过程，使用观察、猜想、证明等方法得到若干发现，这些发现都可以加深对双曲线和椭圆的认识，这就是我们这节课的一个流程。

另外我们还可以反过来看看，我们只是选择了“点点距减点点距”来研究，那么“点点距乘以点点距”，“点点距除以点点距”呢，我们还有研究的空间。另外我们还可以对这一系列条件进行横向拓展，在解析几何中除了“点点距”之外还有“点线距”，可以把这一系列的“点点距”都换成”点线距”，这样 一来我们就可以形成新的课题。

我们前面已经研究过直线，圆、椭圆、双曲线，接着还可以研兖课题二，类比课题的研究过程和方法来探究到两条定直线距离满足某条件的点的轨迹，接着可以类比课题一、二来研究课题三，就是探究到一个定点与到一条定直线距離满足某条件的点的轨迹。这样一来我们可以带着问题走出课堂。

五、学习效果检测

我们不能像平时的课堂小测验一样出几道题来测验，刚才我们已经带着问题走出课堂，我们就拿课题二中的部分成果来看看学生的研究。

学生很聪明，研究问题的时候，先从最初的情况来研究，也就是说如果两个直线垂直的话，我们就可以把这两个直线设为x轴和y轴，这样一来设点、列方程，化简我们可以得到新的曲线是xy=a这个样子。然后研究新的曲线所具有的一些性质，它的图象为两个双曲线，可以理解为两个反比例函数，渐进线是X轴和y轴，曲线关于原点中心对称。这是两条定直线相互垂直的时候所得到的性质，对于两直线不重直的情况，学生也进行了研究，我们在这儿就不进行讨论了。

学生探讨完了以后，又进行了新的创造，在反思双曲线标准方程的过程中有如下发现：首先对方程进行变形，变成（bx+ay） （bx-ay）- a2 b2，然后再构造“点线距”，这样一来我们就可以得到这个式子表示双曲线上的点到直线bx +ay =0与到直线bx-ay=0的距离之积为a2 b2。双曲线上的点在（bx +ay）（bx- ay）>0这个区域内。最后归纳提高，得到：“点点距减点点距的绝对值等于常数”;“点点距除以点线距等于常数”;“点线距乘以点线距等于常数”。这三个条件都可以得到双曲线。

可以看到通过这节课的教与学，学生对数学本质的认识更加深刻，学生研究问题的能力得到了提高，我想这应该是新课程理念下课堂教学所应追求的东西。