浅析导数在高中数学函数中的应用

王永涛

摘 要：导数内容不仅是高中数学的重点，其知识点也较为抽象。因此，教师需系统地探索导数方面的内容，结合导数的基本定义，导数与函数单调性的关系、导数与函数最大值或极值进行综合性讲述，从而提升学生对函数题型的解题效率。基于上述内容，本文重点讲述了导数在高中函数中的运用方法，结合具体例题，提出对应的教学建议，以此为鉴。

关键词：导数;函数;极值;单调性

引言：导数是高等函数内容中的一个基本概念，它能够有效解决函数内容、不等式内容以及数列方面的内容。从宏观的角度来说，导数为函数方面的内容提供了新型的解题思路，这对于提高学生的个人能力和个人素养有积极的作用。同时，教师需帮助学生构建宏观的思路模型，让学生全面认知导数的价值，从而更科学地将导数应用于实际操作当中。

一、基于函数的单调性的运用方法

在高中函数单调性的求解过程中，可使用图像法、公式法、导数法进行求解。而导数法能够高效的求解出这方面的问题。这方面题型需要注意以下几点[1]：首先，需注明f（x）和f'（x）两者之间的关系，即f'（x）>0时，f（x）在指定区间（a，b）单调递增;f'（x）<0时，f（x）在指定区间（a，b）单调递减;f'（x）=0时，f（x）在指定区间（a，b）为常数函数。基于此，教师需结合人教版《导数在研究函数中的应用》的教学中，首先教师需讲述导数的基本定义，分析导数的运算法则，帮助学生快速的掌握导数的内容。同时，教师需引出以下例题，让学生进行系统的分析：

例1：已知函数在区间[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围。

解析：利用一次求导法则判断函数图像与条件或定义的关系，结合均值不等式定义a+b≥，从而判断m的取值。

解析：由可得：，该函数是一个开口向上的函数。因为函数在在区间[1，2]单调递增，所以在区间[1，2]恒成立。化简得：，即在区间[1，2]恒成立。有均值不等式定义可得：，且当x=2式取等号，所以m≤4。

例2：已知函数（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，求实数a，b的值及函数f（x）的单调区间。

分析：該题涉及切线的定义，联合导数的理论可简化这方面题型的复杂程度，再利用导数与切线的关系，方可求解函数的单调区间。

解析：由已知得：f（x）的定义域为（0，+∞），所以函数的导数为。因为f（x）的图像在点（1，f（1））的切线方程为y=x-1。所以，解之得：a=1、b=0。

所以原函数为，故。

令f’（x）=0可得x=e。

所以当x在区间（0，e）时，f'（x）>0，故f（x）在区间（0，e）内单调递增;当x>e时，存在f'（x）<0，故f（x）在区间（e，+∞）单调递减。综上，函数f（x）的单调递增区间为（0，e）;单调递减区间为（e，+∞）。

通过上述的例题，需引导学生结合函数中的代数方法判断导数正负值的关系，运用因式分解法则、配方法对各类函数问题进行分类讨论，从而实现这方面问题的优化解决。此外，教师还应拓展初等函数中常见的例题模型，要求学生对其进行系统的记录，以提高学生的基础认知。

二、基于函数极（最）值的应用方法

在高阶函数中的最大值、最小值或极值的求解中，使用传统的方法（解方程组或利用二次函数的单调性）求解可能会面临诸多的问题。因此，可将导数的内容与函数最值的求解相结合，进而提高函数的解题效率。在此过程中，需依据以下步骤进行优化：①需对指定函数进行求导。②令f'（x）=0，并求解方程的根。③结合导数的定义判断f'（x）在方程左右两边的符号。④利用已知或已求解的结论，写出函数对应的极值或最值[4]。需要注意的是，所求得到的“极值点”在原函数f（x）是无意义的（假设极值点附近两侧导数数值同号，函数无极值）。因此，需将这个点理解成方程的根。由此，教师需结合实际函数的情况进行系统的分析，例如在人教版《导数在函数中的应用》的讲述中，首先教师需讲述导数极值的基本含义，结合对应理论讲述导数的基本含义。

三、结束语

综上所述，将导数的理论与函数相互结合，可以优化函数取值范围和函数最值方面的问题，从而提高学生的核心素养。同时，教师还应借助导数的实际应用方法进行综合性的拓展，让学生系统地了解导数的运算法则，这对于提高解题的效率有积极的意义。

参考文献

[1]李丁，李永亮.导数在高中数学题目解答中的典型性应用分析[J].数学学习与研究：教研版，2018（4）：124-124.

[2]高慧明.高考数学“函数与导数”备考指导[J].高校招生：高考指南，2018.