圆锥曲线中的一类定值问题再探究

覃业集

摘 要：本文从一道试题出发，引出了过圆锥曲线的一条性质，过曲线上一点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交曲线于B，C两点，则直线BC斜率为定值。并用极限思想说明如何快速确定定值，分别用点差法和韦达定理给出了证明。

关键词：圆锥曲线;定值;点差法

解析几何中的定值问题一直是命题的热点，本期高二入学考试出现了如下这道题：

已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆的左、右焦点，过右焦点F2的直线与椭圆交于M、N两点，且的周长为.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若点A是第一象限内椭圆上一点，且在x轴上的正投影为右焦点F2，过点A作直线AG，AH分别交椭圆于G，H两点，当直线AG，AH的倾斜角互补时，试探求直线GH的斜率是否为定值，否则，请说明理由.

解：（1）椭圆的方程为.

（2）证明：依题意知，点，设

直线AG的方程为：，

聯立

，得，

则，

即，

又，

即

而直线AG，AH的倾斜角互补，

即

因此，直线GH的斜率为为定值。

探究一：此题第二问的结论能否推广到椭圆上的任意点？

我们可以用极限的思想来思考，设点A关于x轴的对称点为A1，当B，C无限向A1靠拢时，割线BC无限接近曲线在点A1处的切线，因此BC的斜率等于A1处的切线斜率。

因为椭圆在A1处的切线方程为其斜率为，所以

我们可以得到如下结论

定理1：过椭圆（a>0，b>0）上任一点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两点，则直线BC有定向且（常数）.

证明：设AB：即

同理

此种证明方法与前题解答类似，求出B，C两点的坐标再求斜率。过曲线上一点作直线与曲线相交于另一点，经常可以设直线方程，与曲线方程联立由韦达定理求另一点的坐标。

探究二：上述证法有点复杂，有没有其它证法？

考虑到曲线上两点的斜率经常用点差法来处理，得到了如下证法

证法（二）设，由点差法得：

，

因为，所以

所以

探究三：其它圆锥曲线是否有类似的结论？

同样的方法我们可以得到

定理2：过双曲线（a>0，b>0）上任一点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B，C两点，则直线BC有定向且（常数）.

定理3：过抛物线（p>0）上一任点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交抛物线于B，C两点，则直线BC有定向且（常数）.

定理4：过圆上一任点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交抛物线于B，C两点，则直线BC有定向且（常数）

探究四：定理成立的条件是否有其它等价的说法？

定理中直线AB，AC的倾斜角互补有以下等价的说法

（1）直线AB，AC的斜率互为相反数;

（2）直线AB，AC关于x=x0对称;

（3）直线AB，AC关于y=y0对称;

（4）E，F是x轴（或y轴）上的两点，AE=AF，直线AE，AF曲线于另外两点B，C

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