从分析分式方程增根例谈学生数学思维能力培养

李健

【摘要】在初中分式方程的教学中，我们会碰到分式方程增根与无解的情况，教材中内容简单，要求也不高，教师在处理教材时，一般不会深入挖掘教材。如果我们去深入挖掘，那么这个内容是培养学生数学思维能力的好素材。笔者在课堂教学和练习中不断强化数学思辨，注重培养学生的数学思维能力。

【关键词】分式方程;增根;数学思维;能力培养

数学思维能力是数学能力的核心，它包括：分析能力、概括能力、抽象能力、判断能力、推理能力、探索创造能力，而其中分析、概括、抽象是思维能力的基础表现，判断、推理是思维能力的发展表现，探索创造是思维能力的高级表现。

学生数学思维能力的培养不是一朝一夕的事，它是一项长期的系列化的过程，需要数学教师在教学中有培养学生数学思维能力的意识，并长期坚持，针对教材内容发掘教学内容的内涵，进行有计划、循序渐进地培养。下面笔者以分析分式方程增根为例，谈谈学生数学思维能力的培养。

在讲初中数学分式方程增根的时候，如果我们只从应付中考的角度去思考的话，只要让学生明白两个问题即可：一是分式方程产生增根的原因;二是如何判断增根。教学内容非常简单，学生也很容易掌握，但是我们从培养学生思维能力的角度去分析、挖掘，效果就完全不同：

一、通过分析、概括、归纳，找到产生增根的原因和判断增根的方法，培养学生的基本思维能力

例：解分式方程：

生：解：方程两边同时乘以x-1得：x2-（2-x）=0

即 x2+x-2=0

（x-1）（x+2）=0

∴x=1或x=-2

师：将∴x=1或x=-2代入原方程试试，看有什么发现？

生A：x=-2时，方程成立，但x=1时，原方程分母为0。

生B：x=1时，原方程分式中有分母为零的现象，但分母是不可以为零的，x=1应该不是原方程的解。

师：同学们分析解方程的步骤，能否发现或找到使分母为零的原因？

生A：因为我们在将方程中的分式化为整式时是将方程两边同时乘以了（x-1）

生B：两边同时都乘以（x-1），应该没有问题呀。

师：同学们，我们分析一下下面的这个现象：①5=5，②4≠5

现在我们将它们的两边都乘以2：

5×2=10，5×2=10

4×2=8，5×2=10

5×2=5×2

4×2≠5×2

現在我们将它们两边都乘以0，再看一下结果：

5×0=0，5×0=0

4×0=0，5×0=0

5×0=5×0

4×0=5×0

师：这个现象说明什么问题？

生A：将两个不等的式子两边都乘以零，可使原来不等的式子变成相等。

师：能否举些例子？

生A：如与-2，≠-2，

但×0=0，-2×0=0

×0=-2×0

师：在上述解方程时，将所有项都乘以了（x-1），这个（x-1）的值有几种可能？

生A：3种，正数、零、负数。

生B：2种，①x-1=0，②x-1≠0

师：两位同学按不同范围来分都对。

师：请大家思考当x-1=0时，将方程两边都乘以（x-1），可能会出现什么问题？

生A：方程两边都为零。

生B：方程两边原来可能不等，但两边都乘以零后，就相等了。

师：很好。当x-1=0即 时，方程两边可能由不等变相等，也就是x=1本来不是原方程的根，但因x=1时就是x-1=0，所以两边同时乘以（x-1）（即乘以0）而使方程成立，变成了方程的根，也就是增加的根。

师：分式方程产生增根的原因是什么？

生：方程两边乘以一个为零的式子。

师：而这个可能为零的式子是怎么确定的？

生：是分式方程中各分式的公分母。

师：请大家归纳一下分式方程的解题步骤。

生：解分式方程步骤：①找分式方程各分式的公分母;②方程两边都乘以公分母，将分式方程化为整式方程;③解整式方程;④检验。

师：在检验时，用什么来判定求出的根是否为增根？

生：使公分母不为零就行。

通过这种分析、概括、归纳的思维过程，学生深刻理解了数学知识的内涵，形成了一种良好的思维习惯和能力。

二、通过判断，掌握分式方程的解法和各种形态，培养学生的判断、推理思维能力

1.通过解分式方程，让学生掌握分式方程的步骤，培养学生应用思维能力

例：解分式方程：

生：解：方程两边同时乘以x+1，得：4x+3x+x2=0

（x+1）（x+3）=0

∴x=-1或x=-3

经检验：当x=-1时，分母x+1=0， ∴x=-1是增根

当x=-3时，分母x+1≠0，∴x=-3是原方程的根

2.通过判断，掌握分式方程解的情况的各种类型，培养学生深度应用思维能力

师：以上三题最后结果都是“无解”，能否发现它们的不同之处？

生A：①③都是无解，②是无实数解。

生B：①可以求到一个增根，无解，②是无实数根，③根本不成立。

师：①③实际上是同一类问题，都不可能成立，②在实数范围内无解，言外之意，在实数范围外有解。但从表现形式上分类：一类除增根外，无其它解，一类是根本无解。

三、改变提问方式，通过推理得到解决新问题的方法，培养学生逆向思维能力

在分式方程学习中，教师注重分析、概括、归纳，而往往忽视逆向思维的培养，造成学生思维受约束，思维不灵活，导致学生能力不强。若我们在教学中善于转变提问方式，可能让学生“举一反三”，灵活运用。

例：已知无解，求a的值。

师：此题就是的变形提问，将原来“已知a”分式方程无解，转换为“已知分式方程无解”求a。

师：你们能否找到这个题的解题思路？

生A：刚才讲了分式方程无解有两种情况：一类只有增根，无其它根，一类是根本无解。

生B：本题可否可分两种情况讨论，一是只有增根，也就是找分母为0的未知数值，二是分式方程化为整式方程后，等式不成立。

师：同学们分析得非常好，对前面的内容理解到位，大家一起完成解答。

师生解：方程两边同乘以3（x-3）得：2x+9=12x+3a+6x-18

16x=27-3a

师：16x=27-3a可能是一个恒不成立的式子吗？

生：不会，因为任意给一个a的值，都有一个x的值。

师：既然如此，就只剩下另外一种情况，什么情况？

生：取增根x=3，而无其它根。

此时，水到渠成：∴a=-7

再变换，例：已知无解，求a

师：此题如何？

生：方法一样！（哈哈）

解：方程两边同时乘以3（x-3）得：2x+9=3（ax-7）+2（3x-9）

（4+3a）x=48

师：是否两边同时除以（4+3a）？

生A：是。

生B：不行，因为不知4+3a是否为0。

师：非常好，分两种情况：

师生共同：①当4+3a=0时，即a=时，方程不成立，所以原方程无解。

②当4+3a≠0时，取增根x=3，即

∴a=4

這样的逆向提问让学生深度学习，深度理解，培养了学生深度思维。

四、扩展问题外延，通过探索创造拓展知识应用，培养学生的发散思

维和创新思维能力

学生在学习中要善于发现问题，教师在教学中要着手创建问题，扩展问题的外延，这样才能让学生视野开阔，创新发展。

例：已知的解为正数，求a的取值范围。

师：这题与前面讲的有何相同和不同？

生：式子相同，问题不同。

师：能找到解题思路吗？

生：能。

解：方程两边同时乘以3x-9得：2x+9=3x+3a+6x-18

a）师：是否就考虑a<9？

生A：是。

生B：不对，应该还要满足x≠3

师：真棒。

例：的根为负数，求 的取值范围。

师：此题解题思路难找吗？

生：不难，同上题。

师：有区别吗？

生A：有，方程不同。

生B：上一题x≠3，这一题x≠-1且x≠2

师：非常棒。

师生共同：解：方程两边同时乘以（x-2）（x+1）得：

∵方程根为负数。