数学深度学习不应滑向难度纠缠

唐荣喜 浦叙德

摘要：深度学习是触及知识本质，伴随应用、分析、评价和创造等高阶思维活动的学习。深度学习不应等同于难度提升，也不能滑向难度纠缠。通过《字母表示数》《绝对值与相反数》《去括号》三课的设计中反、正对比的案例，剖析难度纠缠误区，给出深度教学建议：盲目提升教学难度，是揠苗助长，不可取;努力挖掘教学深度，能发展素养，有可为;难度提升与深度挖掘不可混。

关键词：深度学习难度纠缠教学诊断学生实际教学目标

核心素养是当前基础教育理论与实践研究的重点。在寻求数学核心素养落地路径的过程中，深度学习理论受到广大数学教育工作者的关注和青睐。但在具体的教学实践中，有一种认识和现象值得我们反思和纠正。在追求深度学习的过程中，有些教师不顾学生实际，设置复杂情境或思维障碍，甚至偏离教学目标，超前教学，仅为增加问题解决的困难程度。这是对深度学习极大的误解。深度学习是触及知识本质，伴随应用、分析、评价和创造等高阶思维活动的学习。深度学习不应等同于难度提升，也不能滑向难度纠缠。下面，通过三个反、正对比的案例，剖析难度纠缠误区，给出深度教学建议。

一、教学案例

【案例1】苏科版初中数学七年级上册《3.1 字母表示数》一课“拓展与提升”环节教学设计

设计1填空：

（1）一件工作，甲独做需要9小时完成，乙独做需要6小时完成，甲、乙合做x小时（0<x<3.6）后，剩下的工作由乙单独完成，乙还需______小时才能完成此项工作。

（2）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间做往返运动，若甲的速度是a km/h，乙的速度是b km/h，A、B两地间的路程是s km，则经过______小时后，两人第二次相遇。

（3）一件商品按标价打8折，再降价10元后的售价为a元，则这件商品原来的标价为______元。如果按标价出售该商品获得的利润为b元，则按降价后的价格出售该商品获得的利润为______元。

设计2请你思考下列问题：

（1）一张桌子4条腿，两张桌子______条腿，3张桌子______条腿，n张桌子呢？这里的n有何意义？

（2）电影院里第一排有12个座位，后一排总比前一排多1个座位，则第二排有______个座位，第三排有______个座位，如何表示每一排座位数的情况呢？

（3）心中任意想一个数，将它乘以3，加上6，再除以3，接着减去原来想的数，最后减去5，把你的答案与小组成员交流一下，你有什么发现？试着加以说明。

在数学发展史上，从丢番图用缩写字母表示数到韦达用字母表示一般意义上的数经过了1200年，可见，对“字母表示数”一般性的认识经历了艰难的过程。而学习过程是一种“再创造”的过程，因此，引导学生对“字母表示数”一般性的感悟才是本节课真正的教育价值，即应有的教学目标所在。

设计1在题目的难度上进行拓展。第1题属于工程问题，需要将总工程量看作单位“1”，技巧性强;第2题属于路程问题，数量关系隐蔽，需要理解第二次相遇时两人走的路程之和为3skm，思维要求较高;第3题属于商品销售问题，涉及销售相关的名词，需要足够的社会生活经验才能理解。3道习题中的数量关系均较为复杂，使理顺数量关系成为教学难点，弱化了本节课的教学主题，不利于本节课教学目标的达成。可以说，设计者理解的深度学习滑向了难度纠缠。

设计2在学习的深度上进行挖掘。第1题引导学生由特殊到一般，初步感悟字母n的意义，认识字母n表示物体数量时的普遍性和抽象性;第2题引导学生由特殊到一般，进一步认识字母表示数的抽象性和简明性;第3题引导学生自觉用字母表示数，从而发现规律，解决问题，培养学生用字母表示数的抽象思维和应用意识。3个问题由浅入深，由特殊到一般，逐步引领学生了解用字母表示數的发展，培养了学生的抽象思维，深化了本节课的教学主题，促进了本节课教学目标的达成。可以说，这样的教学设计是深度学习的理想与追求。

【案例2】苏科版初中数学七年级上册《2.4 绝对值与相反数》第1课时“拓展与提升”环节教学设计

设计1填空：

（1）如果|a-2|+|b-3|=0，则a+b=______。

（2）若|2x-1|=3，则x=______。

（3）对于任意数x，|x-1|+|x-4|的最小值为______。

设计2思考以下问题：

（1）如果a为任意数，那么a的绝对值表示什么数？请用符号表示，并借助数轴说明理由。

（2）观察图1中的数轴，比较大小：|a|______|b|，并说明理由。

（3）如果|a|>|b|，那么a>b吗？请借助数轴加以说明。

（4）如果|x|=2，那么x的值为多少？

根据苏科版教材的编写意图，本节课的教学要求是：能借助数轴，说出绝对值的意义;知道|a|的含义，经历将实际问题数学化的过程，感受数学与生活的联系。而刚步入初一年级的学生仍然以直观形象思维为主，抽象逻辑思维仍有不足，因此，本节课应该更多地依赖直观，借助数轴，让学生理解绝对值的概念、性质。

设计1第1题需要综合运用绝对值的非负性分别求出a与b的值，再求出a+b的值;第2题需要根据绝对值的意义，逆向思考，得出2x+1=±3，分别解方程求出未知数的值;第3题首先需要弄清|x-1|和|x-4|的几何意义，然后需要考虑表示x的点在不同位置时|x-1|+|x-4|的值的比较，再求出当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|的值最小，为3。这些题目明显难度过大，对学生抽象思维、综合分析及运算能力的要求过高，超出了本节课的教学目标和要求。特别是，过早地涉及了代数式、代数式的值、代数式的绝对值等知识，超出了学生的“最近发展区”。

设计2第1题要求结合绝对值的几何意义，进一步认识绝对值的非负性，且能培养符号意识;第2题要求运用数形结合思想，观察数轴、综合分析做出判定;第3题要求借助数轴的直观性，分情况说明a与b的大小;第4题要求根据一个数的绝对值，合理想象数轴上点的位置，再求出原数。这样的设计紧扣本节课的教学目标，有意识地引导学生数形结合，借助数轴加深对绝对值的认识，着力培养学生的几何直观、符号意识、推理能力与创新意识等素养。

【案例3】苏科版初中数学七年级上册《3.5 去括号》一课“反思与提升”环节教学设计

设计1完成以下问题：

（1）计算：2x-{3-2[x2-3（4x-1）]}+3x2。

（2）若a2+2b2=3，2a2-3b2=5，求-a2+12b2的值。

设计2对于下列式子中的括号，我们在学习今天的“去括号法则”之前是如何去的？说说你的依据，并认真体会它与“去括号法则”的一致性。

-（-a），

+（-a）;a-（-b），

a+（-b）;+（2a-b），

-（2a-b）。

设计1第1题人为地设置了烦琐的计算，思维价值不大。教材都在有意回避这样的计算。第2题技巧性强，要求学生逆向思考，通过添括号，将-a2+12b2用含a2+2b2和2a2-3b2的代数式来表示，得-a2+12b2=3（a2+2b2）-2（2a2-3b2），再整体代入求值。这样的训练略显仓促，有囫囵吞枣、急于求成之嫌，可以等到学生学习了整式的加减，对“式结构”有了充分的感知、理解后再进行。

设计2第1组式子可以根据相反数的意义，得-（-a）=a，根据“一个数前的‘+’可以省略”，得+（-a）=-a;第2组式子可以根据有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，得a-（-b）=a+b，同样，根据减法法则，得a-b=a+（-b），即a+（-b）=a-b;第3组式子可以根据乘法分配律，得+（2a-b）=2a·（+1）-b·（+1）=2a-b，-（2a-b）=2a·（-1）-b·（-1）=-2a+b。这样的设计旨在引导学生分别运用相反数与“+”的意义、有理数减法法则、乘法分配律去括号，感受不同方法下计算结果的一致性，理解去括号法则实质是以上各种方法的概括，建构前后贯通、相互联系、浑然一体的知识结构。

二、反思与感悟

（一）盲目提升教学难度——揠苗助长，不可取

课堂教学应该依据学生实际和教学目标，合理把控内容难度。为了满足学生个体的学习需求，让不同的人在数学上得到不同的发展，适时、适当地提升教学难度是应该的。但是，难度的提升不能脱离学生的“最近发展区”，要紧扣学生思维的生长点，创造合适的思维场，让学生的思维自然生长;难度的提升要有利于落实既定的教学目标，不能钻牛角尖，迷失方向;难度的提升还要遵循循序渐进的原则，把握时机、巧设阶梯、分散难点、有效突破，不能超前灌输和训练。

（二）努力挖掘教学深度——发展素养，有可为

数学深度学习不是对知识的简单记忆和模仿训练，而是基于知识内在结构、整体特性、教育价值，从知识学习走向意义系统和思维方式的理解和领悟。为了促进学生的数学深度学习，教师要善于将知识的学术形态转化为教育形态，挖掘知识背后内隐的结构关系、思想观念、教育价值等，触及知识的核心与本质、过程与方法，积极引导学生开展应用、分析、评价和创造等高阶思维活动，优化学生的思维品质，发展学生的核心素养。

教材在呈现数学知识的时候，由于文本及表达的局限性，往往会将相关知识的深层内涵“隐藏”起来。如案例1《字母表示数》这节课的教学目标就是一种隐形的目标（对学生内在观念与认识层面的要求），主要体现在对“字母表示数”一般性的感悟和理解上。对于本节课，教师在培养学生思维的抽象性和引导学生深度学习上大有可为。

（三）难度提升与深度挖掘——不可混

深度与难度是两个不同的概念：深度是触及知识核心与本质的程度，而难度则是完成学习内容的困难程度。优秀的课堂一定是有深度的，但不一定是难度大的。深度学习不是在枝节内容上加大难度，而是对主干内容的内涵与价值深度挖掘、加工，促成真实的经历、感受与探究，让知识、方法与观念自然生长。深度学习不是把简单问题复杂化，而是通过意义系统和思维方式的理解与领悟，实现知识内化和自我建构。其实，很多简单的问题背后也有深度思考的价值。在处理简单题时，教师如果能够引领学生深度思考，让学生经历思维的生長过程，理解内容结构，感悟思维方法，长此以往，学生深度学习的能力会得到极大的提高。为此，教师应深入研读教材，研究问题，获得深度的理解与领悟，才能做好学生深度学习的引路人。

参考文献：

[1] 浦叙德.数学课堂：基于教材解读，成于教学设计——以“平方根”为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（1）.

[2] 孙学东.深入浅出：深度学习的应有之义[J].中学数学教学参考（中旬），2017（1-2）.

[3] 孙学东，周建勋.数学“深度学习”是什么？常态课堂如何可为？[J].中学数学教学参考（中旬），2017（5）.

[4] 刘孝宗，徐铎厚.初中数学深度学习的基本策略[J].中学数学教学参考（中旬），2017（5）.

[5] 杨峰.不教也“会”，为何而教？——由“字母表示数”教学引发的思考[J].中学数学教学参考（中旬），2017（6）.