中学生数学逻辑思维发展的心理学研究及其对教学的启示

严卿 喻平

摘要：对心理学关于演绎与归纳这两种数学逻辑思维发展的研究做简单梳理，揭示数学逻辑思维发展的年龄特征：中学是数学逻辑思维发展的关键阶段。在此基础上，针对学生数学逻辑思维发展中存在的问题、困难，提出教学策略：结合逻辑知识对演绎思维进行专门训练，进行填补推理依据训练，采用新定义问题情境训练;参考基本模型并设计“陷阱”问题对归纳思维进行专门训练，强调概念形成训练，突出解题概括训练。

关键词：逻辑思维心理学研究演绎归纳

数学被称为“思维的体操”，数学教育的一个基本价值在于培养学生的思维，如分析与综合、直观与抽象、归纳与演绎、猜测与搜索等。当下，数学教育的重心在于发展学生的数学核心素养，数学核心素养与数学思维之间存在一些显而易见的重合部分，如抽象思维、逻辑思维、模型思想等。正如郑毓信教授所指出的：“数学核心素养”的真正核心在于“帮助学生通过数学学会思维，并逐步学会想得更清晰、更全面、更深入、更合理”。

思维的发展存在一定的规律，在发展的关键阶段施以适当的教学干预，才能取得事半功倍的效果。本文聚焦演绎与归纳这两种数学逻辑思维，对心理学关于数学逻辑思维发展的研究做简单梳理，揭示数学逻辑思维发展的年龄特征。在此基础上，针对学生数学逻辑思维发展中存在的问题、困难，提出教学策略。

一、心理学对数學逻辑思维发展的研究

（一）演绎思维发展的研究

演绎，是获得确定性知识、验证知识正确性的可靠方式。借助演绎的链条，能将一个个数学概念、命题联系起来，帮助学生形成知识网络。

多项研究表明，初、高中是学生演绎思维快速发展的阶段。林崇德将中学生论证推理能力划分为四个水平：直接推理水平、间接推理水平、迂回推理水平、按照一定数理逻辑格式进行综合性推理的水平。调查发现，初一和初二、高一和高二年级之间的差异达到了显著的水平，初二和高二是中学生数学推理能力发展的转折点。孙敦甲研究发现，中学数学逻辑思维的发展是从形象抽象思维到形式抽象思维，最后向着辩证抽象逻辑思维发展;初二与初三、初三与高一、高一与高二年级之间的差异均达到了非常显著的水平，可见这段时间发展十分迅速。武锡环等人使用“定义规则型问题”对初中生演绎推理能力的研究显示，三个年级的结果呈直线上升趋势，年级之间的差异都是显著的。Knuth等人对6至8年级学生的演绎思维进行了研究。他们设置了一类“定义型问题”，例如将四边形定义为“使用四条直线将A、B、C、D四个点相连”——这是一个在一定程度上违反习惯但从专业角度来说正确的定义。6年级的样本中，有三分之二的学生依据习惯做出了错误的判断，而8年级的样本中，这一比例下降至三分之一。这表明随着年龄的增长，更多学生能够依据给定规则（而非固有观念）进行演绎。此外，研究还发现，学生判断假言命题的能力取决于能否想象出反例，8年级的学生在这一点上优于6年级的学生是因为他们对问题中的反例更熟悉。Porteous设计了三个问题，包括“连续三个自然数之和是3的倍数”等，考查11至16岁的学生在判断命题时对于演绎证明与个例验证方法的认识。研究发现，虽然能够给出演绎证明的学生人数随着年龄的增长有显著增加，但是这些学生在总样本中的比例仅为10%;而超过40%的学生认为通过多组个例可以确保命题的正确性。

在有的研究中，中学生演绎思维的发展则并不明显。Hoyles等人追踪研究了8年级学生前后一年间演绎思维的发展情况。他们围绕两个假言命题——“如果两个整数的和是偶数，它们的积是奇数”“如果两个整数的积是奇数，它们的和是偶数”，要求被试回答如下问题：（1）两个命题是否表达相同的意思？（2）假设后一个命题正确，现已知两个整数的积是1271，能否直接得出它们的和是偶数？（3）分别证明这两个命题。这些问题分别考查了学生对逆命题的认识、依据规则的演绎以及对假言命题的证明（证伪）。对于前两问，学生的正确率分别为13%、47%;对于第三问，能够一般性证明的学生仅占9%左右，能够正确呈现反例的也仅有28%。一年后再次施测，结果显示，虽然总体有所进步，但是十分有限;虽然取得进步的学生更多，但是也有一些学生反而退步了。

（二）归纳思维发展的研究

借助归纳思维，可以从具体的现象得到一般性结论。这是一条从经验到理论的路径，是获得新的知识、形成创新思维的途径。

多项研究表明，中学也是学生归纳思维快速发展的时期。武锡环等人将信息表征、归纳识别、形成猜想、假设检验确定为归纳推理的四个重要影响因素，并据此编制测试题。在初中三个年级施测的结果显示，总体而言，初一、初二的学生差别不大，而初二、初三的学生则差异显著。这说明初二年级是归纳推理能力发展的关键时期。具体到各个因素的发展情况，在初中阶段，信息表征能力稳步上升，归纳与猜想能力缓慢增长，而假设检验能力增长不大。学生在归纳推理中，缺乏对得到的结论进行检验的习惯，反映出自我监控、自我反思能力低下。其原因包括，大量的训练使学生的自我监控能力降低，成功的体验干扰了学生的检验意识等。黄煜烽等人对初一、初三、高二三个年级学生归纳推理能力的研究也显示，初二年级是归纳推理能力迅速发展的时期，而初一学生的归纳推理还依赖于具体经验的支持，往往体现为枚举而非得到新的含义。Csapó对3、5、7、9、11五个年级2400多名学生归纳推理能力的研究表明，3年级学生已经具备了一定的归纳推理能力;低年级得分的标准差较大，原因是少数学生在早期就具备较强的归纳推理能力;5～7年级是归纳推理能力发展最迅速的时期，9年级后发展速度明显放缓。

总体而言，中学是数学逻辑思维发展的关键阶段。虽然一些研究的结果表现出了一定的差异，但是这种差异是可以理解的：除去研究样本、工具等的不同，数学逻辑思维的发展是外部环境（教学）与生理成熟两个方面共同作用的结果，快速发展期并不代表必然发展。这也更加凸显教学干预的重要意义：促进学生数学逻辑思维顺利、快速地发展。

二、对中学数学教学的启示

张绪扬做了一项实验研究，其方法是利用课外时间对学生进行专题训练，其材料为：要看到事物的下面与反面，不要简单地接受或拒绝;要全面地考虑一个情境中的所有因素;要有一些为人们广泛理解并共同遵守的规则;要注意行动的近期后果和长远后果;要弄清行动的目的;在行动之前，要有明确的计划;要按照问题的重要性排列顺序，优先解决比较重要的问题;要想出解决问题的新的可能性，不拘泥于老一套的办法;在任何时候，都必须做决定;要放弃自己的观点，考虑别人的观点。结果发现，这样的训练可以提高学生思维的灵活性、深刻性、流畅性，促进创造性思维的发展。这项研究表明，对学生进行专门的思维训练是有重要意义的，在学生思维能力发展的关键期显得更有必要。

（一）演绎思维训练策略

1.对演绎思维进行专门训练。

在初中阶段，特别是在初二年级，要对学生进行判断、演绎推理的训练。

判断的训练要使学生能够理解判断的分类和相互关系。按照质与量分类，判断可以分为全称肯定（A判断：所有的S都是P）、全称否定（E判断：所有的S都不是P）、特称肯定（I判断：有些S是P）、特称否定（O判断：有些S不是P）。四种判断之间组成图1所示的关系。其中，反对关系的两个判断不能同时为真;下反对关系的两个判断不能同时为假;从属关系的两个判断“上真亦下真、下假亦上假、上假下不定、下真上不定”;矛盾关系的两个判断不能同时为真，也不能同时为假。

演绎推理的训练要使学生能够基本判断三段论的格式，并且掌握三段论四个格中的前面两个格。第一格：中项M是大前提的主项，是小前提的谓项。满足：大前提必须是全称的，小前提必须是肯定的。例：矩形是平行四边形，四边形ABCD是矩形，所以，四边形ABCD是平行四边形。第二格：中项M在大、小前提中都是谓项。满足：大前提必须是全称的，有一个前提必须是否定的。例：无理数是无限不循环小数，3.1416不是无限不循环小数，所以，3.1416不是无理数。

高中数学课程涉及一些专门的形式逻辑内容：充分条件与必要条件，四种命题的关系等。实际上，这两部分内容归根结底可以统整于假言推理的四种形式。给定一个假言命题“若p则q”，有四种推理形式：①当p成立时，q成立;②当q成立时，p不一定成立;③當p不成立时，q不一定成立;④当q不成立时，p不成立。①和②分别是肯定前件与肯定后件的推理，也是充分、必要条件最核心的内容;③和④分别是否定前件和否定后件的推理。另外，②是对逆命题的判断，③是对否命题的判断，④是对逆否命题的判断。在教学中，可以从这四种推理形式出发来介绍这部分内容，从而减少新概念对工作记忆的占用;还要注意设计一些非数学问题，帮助学生加深对这些知识的理解，从而提升逻辑思维水平。

2.进行填补推理依据训练。

在例题讲解中，教师可以设计一些缺少推理依据的样例，让学生补全缺少的依据。这是训练学生严谨逻辑思维的有效方式，特别是在几何证明的入门阶段，采用这种方法更为有效。样例的设计可以由易到难：先设计只需要补充一个依据的问题，再过渡到需要补充两个、三个……依据的样例。本质上，这是在训练学生掌握三段论规则，提升演绎推理能力。

3.采用新定义问题情境训练。

所谓新定义问题情境，是指利用学生学习过的概念定义一个学生不熟悉的新概念，并利用这个新的概念解决问题的情境。显然，要解决这类问题，学生必须具备较高的演绎推理能力。

例1大家都知道菱形、矩形与正方形的形状有差异。我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。

（1）已知菱形相邻两个内角的度数，我们定义菱形的“接近度”为这两个内角度数差的绝对值，于是，这个绝对值越小，菱形越接近正方形。请回答下列问题：

①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于;

②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形。

（2）已知矩形相邻两条边的长，将矩形的“接近度”定义为相邻两条边长差的绝对值，于是，这个绝对值越小，矩形越接近于正方形。请回答下列问题：

①你认为这种说法是否合理？为什么？

②如果你认为不合理，请你给出矩形“接近度”的一个合理定义。

例1中，“接近度”是学生完全没有接触过的概念。他们要理解这个概念，必须对菱形、矩形与正方形概念有深入的理解，这个理解过程需要逻辑思维;然后利用这个概念解决新的问题，即利用一般规则解决具体问题，这是典型的逻辑思维训练。

（二）归纳思维训练策略

1.对归纳思维进行专门训练。

归纳推理属于合情推理，即推出的结论不一定正确。因此，不像演绎推理有明确的推理规则，归纳推理并没有严格的推理规则。

在对学生进行归纳推理的专门训练时，可以参考G.波利亚提出的一个基本模型，利用实例给予说明。就数学中的归纳推理而言，如果仅限于对结论的检验，就可以利用如下模式表述：A蕴含B，B真，所以，A较可靠。也就是说，一个猜想的命题假如在新的特例中得到证实，就会变得更加可信。波利亚把这一模式称为基本归纳模式。作为基本模式的对偶模式，有：B蕴含A，B假，所以，A较不可靠。也就是说，在作为猜想的可能依据被推翻时，我们对猜想的信任程度减小。

需要特别强调的是，不能给学生造成一种认识，即归纳出来的一般性结论似乎都是正确的。因此，在教学中，要提供一些反面的例子。

例2观察下列式子，你得出了什么结论？（1+1）2+1=21+3×1，（1+2）2+1=22+3×2，（1+3）2+1=23+3×3，…。

例3判断下列命题的正确性：当n为正整数时，函数f（n）=n2+n+41的值恒为质数。

例4圆上有n个点，两两连线后，最多能将圆分为几个区域？

上述例题有一个共同的特点：初始的若干项满足某种共同的规律，但是这种规律只是一种偶然，从某一项开始便不再适用。教学中，对于这些问题，可以先让学生尝试解答，观察学生在猜想后是否有主动验证的意识;再让学生进行证明，当学生在证明中遇到困难时，提醒学生对结论进行质疑;最后对归纳的或然性、验证的必要性进行总结。

除了上述“陷阱”类型的归纳问题，也可以设置结论不唯一的归纳问题。这同样是对确定性的否定。另外，更为重要的是，要充分发挥归纳思维探索、发现的价值，让学生建立起完整的由猜想到验证的思维程序。

2.强调概念形成训练。

归纳思维的关键在于，从若干特殊中看到一般。对于一组待归纳的元素，其具有的共性决定了归纳结果的属性，而其具有的差异则制约了一般化的程度。对共性的认识尤其体现了归纳思维创造性的特征，因为不同对象之间的共性往往并不外显，而表现为共享一种内在的数量规律。因此，可以从识别数学对象之间的共同特征入手，训练归纳思维。

概念形成与概念同化是概念获得的两种基本形式。概念形成是指对同类事物中若干不同的例子进行感知、分析、比较和抽象，以归纳的方式概括出这类事物的本质属性，从而获得概念的方式。概念同化是指利用已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念并揭示其本质属性，主动地与原有认知结构中的有关概念进行联系，从而掌握概念的方式。显然，概念形成是从特殊到一般的学习方式，概念同化是从一般到特殊的学习方式。因此，概念形成非常有利于培养学生的归纳思维。

例如，对于幂函数的概念，可以这样设计教学：

（1）给出一组实例：y=x，y=x2，y=x12， y=x3，y=1x，y=x-2，…，让学生观察它们的共同属性。

（2）让学生提出这一组例子的共同成分的假设，并依据这些假设检验每一个例子。

（3）由学生通过分析、比较和概括，得出一般模式y=xα，并检验每一个例子是否都属于这个模式。

（4）将这一表达式与学生学习过的正比例函数、反比例函数、二次函数等有关概念联系起来，不仅说明研究这一种新函数的意义，而且建立函数的知识结构，使学生形成新的认知结构。

（5）给出幂函数的定义，并详细解读。

（6）由学生举出正例、反例，对概念进行强化。

这样的教学设计是典型的概念形成方式。经常采用这种方式，可以提高学生观察问题、概括问题的能力，进而训练归纳思维。

3.突出解题概括训练。

上面的概念形成教学方式是在训练学生的概括能力。而在问题解决中，也可以训练学生的概括能力。其中的概括主要包括两个方面：（1）对知识的概括。面对一个问题，首先要确定问题的属性，然后要选用解决问题的工具，即选用某个样例或原理来解决问题。当前问题与样例或原理之间无论是强抽象、弱抽象还是广义抽象关系，都是一种概括过程，需要解题者概括出问题与样例或原理的共同要素，才能实现有效的迁移。（2）对方法的概括。解决问题除了要用到某些知識外，还必然要用到某些方法，方法往往具有一般性，不仅可以用来解决一个问题，还有可能用来解决一类问题。选择解决当前问题要使用的方法也是一个概括过程，更重要的是，解决了一个问题之后，要对这个问题进行归类，把这个问题置于某种数学方法的统领之下，形成一种以方法统摄知识的体系。

解决问题重在对问题进行表征，以深入理解题意，寻找解决当前问题的迁移源，而不是盲目地“试误”;重在对问题解决进行反思，以方法来对问题进行归类。因此，教师要引导学生从问题中概括出具体的数学模式和方法。例如，列方程或不等式解应用问题，用排列或组合解应用问题等，就是一种模式和方法的概括。

例5已知实数x、y 满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，求1Smax+1Smin的值。

解决该题时，可以迁移运用或归纳概括一个解决一类问题的二元代换：对于任意实数x、y，总有x=12（x+y）+12（x-y），y=12（x+y）-12（x-y）;若令a=12（x+y），b=12（x-y），则有x=a+b，y=a-b。

令x=a+b，y=a-b，代入已知等式并化简，得b2=513-313a2。由b2=513-313a2≥0，得0≤a2≤53。由S=x2+y2=（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）=2013a2+10130≤a≤53，容易求得Smax和Smin值……

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