基于多元回归分析的地质力学模型试验中相似材料的快速配比研究

夏雨 聂宏涛 张泽俊

摘    要：在地质力学模型试验中，为获得相似材料的快速配比，通过正交设计试验配制了相似材料，对相似材料进行称重和单轴压缩变形试验，分别得到密度、弹性模量和抗压强度.对试验所得数据进行为了极差分析和方差分析，得到各因素的敏感性和显著性.为了快速获得各因素的配比方案，通过运用Matlab软件对试验所得数据进行多元线性回归分析构建数学模型，设因素A、B、C为X1、X2、X3，密度、弹性模量和抗压强度为Y1、Y2、Y3，得到3个关于X和Y的经验方程，能够根据给定密度、弹性模量和抗压强度算出所需各种原材料的含量.通对试验数据对所得经验方程进行了精度检验，所得结果误差较小，说明所得数学模型符合要求.

关键词：地质力学模型试验;正交设计;极差分析;方差分析;多元回归分析

中图分类号：P554              DOI：10.16375/j.cnki.cn45‐1395/t.2019.01.016

0    引言

20世纪60年代，为了能够对某些岩体的受力特性进行模拟，以Fumagalli[1]为首的专家在意大利结构模型试验所（ISMES）开创了地质力学模型试验技术.在国内，从20世纪70年代开始，清华大学[2]、华北水利水电学院[3]、河海大学[4]、武汉大学[5]、山东大学岩土与结构工程研究中心[6]等一批国内高等院校和研究所，在结合实际工程的基础上，对相似材料的选取做了大量的工作，基本确定了符合我国低抗压强度、高容重、低弹性模量的地质特性的相似原材料，能够对我国绝大多数的土质基于相似理论进行模型换算.总的来说，我国所用的原材料主要有石膏水泥混合材料、纯石膏材料、以机油或石蜡为粘结剂的相似材料和以松香酒精为粘结剂的相似材料[7-9].本次研究材料主要以石灰石膏为粘结剂，重晶石粉为骨料，以及甘油水溶液為原材料进行研究.

近年来，为了更快获得合适的相似材料配比，摆脱以往一系列繁杂琐碎的试配程序，华北水利水电学院的董金玉[3]和南京工业大学地质工程研究所的袁宗盼等[10]，运用极差分析的方法，对各原材料进行敏感性分析，得到原材料对不同物理力学参数的控制规律，能够大幅度减少试配次数.随后有北京交通大学的肖杰[11]和成都理工大学的黄星星[12]分别基于MATLAB[13]和SPSS软件，得到弹性模量、密度和抗压强度的线性回归数学模型，能够快速较准确的确定相似原材料间的配比，但都没有考虑极差分析只是对各因素影响参数的大小进行了排序，并没有将影响因素的显著性进行量化.本研究将同时采用极差法和方差法对试验所得的数据进行分析，得到相似材料影响因素的影响规律和显著性大小，进而可以得出对相似材料的力学参数有显著性影响的因素，最后进行多元线性回归分析[14]得到经验方程，能快速确定相似材料的配比.

1    试验阶段

1.1 试验设计方案

原材料中以重晶石粉作为骨料，胶结材料取石膏为主，石灰粉为辅，其中，重晶石粉为320目（46 μm）比重4.2，模型石膏粉取湖北应城白兰牌，160目（96 μm）比重2.8，轻质碳酸钙取南宁市武鸣县杰峰碳酸钙厂生产的，800目（18 μm）比重2.7，甘油浓度为95%.本次正交试验中设置了A、B、C 三个因素，分别为石灰石膏比（石灰石粉/石膏+石灰石粉）、砂胶比（重晶石粉/石膏+石灰石粉）、胶结剂浓度（甘油/甘油+水）.每个因素均设置5个水平，见表1.由试验目的确定了试验指标，选定了因素及水平之后，选择正交表L25（53），一共需要25组试验，见表2.

1.2 试验结果与分析

严格按照配比方案对原材料进行称重，称量好后先将固体颗粒倒进自动搅拌器中慢速拌制2 min左右，待固体颗粒已充分拌匀后缓慢加入甘油水溶液，加入速度不可过快，防止出现固体颗粒凝结，最终使得原材料混合不均匀.甘油水溶液加完后将搅拌器调至快速档，继续拌制2 min左右，待混合物颜色一致，湿度均匀，再将混合物倒入模具中，分层夯实，为了使拆模过程不破坏试块，将混合物倒入模具之前在模具内壁贴上一层保鲜膜;之后将灌有混合物的模具放到压力机上逐渐加载，由于模具中的混合物在加载过程中高度会随着压力的增加逐渐缩小，所以为了控制每个试块大小，会加载到规定位置，然后静置3 min;最后进行脱模，记上标签，室温环境下通风干燥养护48 h左右，便可进行室内试验.本次试验使用的模具规格为[?]50×100 mm，如图1所示，每组配比方案制作3个试块，进行单轴压缩变形试验，如图2所示，最终得到试验数据见表3.

密度分布在2.31 ～2.57 g/cm3;上述配比条件下所制得的相似材料具有较高的容重，在相似理论指导下，能够以相似比为1的情况下较好的满足模拟围岩的要求，简化了模型与原型之间的相似换算，同时也能够很好地体现实际工程中自重引力场的影响;弹性模量分布在72.64～106.07 MPa;抗压强度分布在0.38～0.52 MPa，模型材料的抗压抗拉强度和弹模较小，能够在室内试验时减轻所加荷载，减少对加载设备的要求.

2    各因素敏感度及显著性分析

极差分析法的主要原理为：某一因素同一水平条件下的数值求和平均，由平均水平中的最大值减去最小值求得极差，通过极差值进行分析[15]，得出各因素对相似材料力学参数的影响大小.而方差分析的目的是找出对力学参数有显著性影响的因素.在方差分析中，置信水平[α=0.1]时，查表得显著性临界值F0.90（4，20）=2.25，通过表4中当置信水平[α=0.1]时，F0.90（4，20）=2.25的值来判断各因子影响的显著性水平.

通过极差分析法和单因素方差分析法，对各因素影响相似材料力学参数进行了敏感性分析和影响因子的显著性分析，并得出各因素对相似材料力学参数贡献率即各因素水平均值和与总平方和之比，计算结果如表5、表6所示，图3为各因素敏感性分析的直观分析图.

2.1 密度

由表5可知，因素B极差值最大，其次是因素A，最后是因素C，故各因素对密度的敏感度的顺序依次为B>A>C，说明重晶石粉含量对密度指标的影响最大.从图3中可以明显看出，随着重晶石粉与石灰和石膏的比值的降低，密度一直在下降.在石灰占胶结剂含量75%时密度达到最低，随后随着石灰含量的增加密度也有小范围的增长，甘油水溶液的浓度对密度影响基本看不出.由表6可知，对于材料密度指标有：因素B显著，其他因素均不显著，此结果与极差分析得到的结果一致;并且通过贡献率的计算，因素B的贡献率达到77.3%，因素A和因素C的贡献率分别只有13.11%和9.59%，与极差分析中的敏感性顺序一致，因此，因素B对相似材料的密度指标起到显著控制作用.

2.2 弹性模量

由表5可知，通过极差分析，因素A极差值最大，其次是因素C，最后是因素B，故各因素对密度的敏感度的顺序依次为A>C>B，说明石灰石膏含量对弹性模量指标的影响最大.从图3中可以明显看出，随着石灰与石灰和石膏的比值的增大，即石膏含量的降低，弹性模量一直在增大.弹性模量在甘油水溶液浓度为36%达到最低，重晶石粉含量对弹性模量的影响基本看不出.由表6可知，对于材料弹性模量指标有：因素A显著，其他因素均不显著，此结果与极差分析得到的结果一致;通过贡献率的计算，因素A的贡献率达到51.59%，因素B和因素C的贡献率分别只有21.32%和27.09%，与极差分析中的敏感性顺序一致，因此，因素A对相似材料的密度指标起到显著控制作用.

2.3 抗压强度

由表5可知，对于抗压强度的极差值，因素A最大，其次是因素B，最后是因素C，故各因素对密度的敏感度的顺序依次为A>B>C，说明石灰石膏含量对抗压强度指标的影响最大.从图3中可以明显看出，随着石灰含量的增大即石膏含量的减小，抗压强度一直呈上升趋势，故抗压强度与石灰含量呈正相关关系，与石膏含量呈负相关关系.抗压强度在重晶石粉含量降低的过程中，也呈现出上涨趋势，说明重晶石粉对抗压强度有降低的作用.甘油水溶液的浓度对抗压强度的影响基本看不出.由表6可知，对于材料抗压强度指标有：因素A不显著;其他因素均极不显著;通过贡献率的计算，因素A的贡献率达到85.60%，因素B和因素C的贡献率分别只有8.75%和5.65%，与极差分析中的敏感性順序一致，因此，因素A对相似材料的密度指标起到控制作用.

3    影响因素的多元线性回归分析

基于MATLAB软件编制多元回归分析的程序，取前20组试验值作为训练数据，后5组作为测试数据，分别对密度、弹性模量、抗压强度进行了线性回归拟合.设因素A、B、C为[X1]、[X2]、[X3]，密度、弹性模量和抗压强度为[Y1]、[Y2]和[Y3]，得到[Y]与[X]之间的经验方程，并对所得回归模型进行检测分析，验证预测模型的合理性.

取试验值的前20组作为训练数据，通过编制好的MATLAB程序，进行回归拟合，可得到表7所示数据.R2表示拟合优度，R2越接近1表示拟合程度越好;P的值小于5%，表示[X]对[Y]影响显著.根据表内参数可得到经验方程（1）.对模型进行残差分析，可得到所有的残差值都在置信区间的上、下限之间，如图4所示，表示回归模型正常.

取试验值的后5组作为测试数据，对所得的经验方程（1）进行检测，具体数值可见表8.由表8可知，密度的测试数据的相对误差不超过3%，弹性模量测试数据的最大相对误差达到12%，抗压强度测试数据的最大相对误差达到8.38%，但其余都较低.依据《建筑砂浆基本性能试验方法》[16]中将回归值与试验值偏差不超过20%视为合理，可以说明经验方程合理.

4    结论

本次研究采用正交设计法，原材料为石灰、石膏、重晶石粉、甘油和水，基于地质力学模型试验，测得不同水平下相似材料的密度、弹性模量和抗压强度.对所得试验数据进行了极差分析和方差分析，得到各影响因子对相似材料物理力学参数的影响程度及其显著性.为了快速准确得到材料的配比方案，采用多元回归分析方法，对试验数据进行训练得到预测模型，运用测试数据对预测模型进行检验，最终得到适合工程实际的预测模型.

1）运用极差法求出各因素各水平均值极差，得到各影响因素对相似材料力学参数的敏感度，并通过极差分析图，得到结论：随着因素A的增大，弹性模量和抗压强度也随着增大，重晶石粉主要控制相似材料的密度大小.

2）通过方差分析对试验结果进行显著性分析可知，因素A对弹性模量和抗压强度影响贡献率最大，分别为51.59%和85.60%，表明相似材料中的石灰石膏含量对试件的弹性模量和抗压强度起到主要控制作用，而密度主要受因素B的影响，贡献率达到77.30%.并且方差分析贡献率顺序与极差分析得到的敏感度顺序，能够全部吻合，相互验证了两种分析方法的准确性.

3）通过多元线性回归分析，设因素A、B、C为[X1]、[X2]、[X3]，密度、弹性模量和抗压强度为[Y1]、[Y2]、[Y3]，得到[Y]与[X]之间的经验方程，并对所得回归模型进行检测分析，验证预测模型的合理性，对今后相似材料的配比的确定具有重要意义.

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