从运筹学的角度再看高中线性规划求最值问题

颜习位　许世雄

摘 要：线性规划是高中数学与大学数学相衔接的一个重要基础。从大学数学中运筹学的角度出发，得出求高中线性规划目标函数最值问题的一种新解法。希望能给一线教师和高中学生一些启发。

关键词：线性规划;最值;运筹学;解题

文章一开始给出运筹学课程中的一个基本定义和两个定理。这些定义和定理在普通运筹学书籍中都能查找到，并且定理有详细的证明过程，在此就不多赘述。

最优解：使某线性规划的目标函数达到最优值（最大值或最小值）的任一可行解，都称为该线性规划的一个最优解。

定理1：线性规划问题中的基可行解对应于可行域的顶点。

定理2：线性规划问题的最优解存在，则一定存在基可行解是最优解。

综上得出，从运筹学的观点来看，使得高中二维线性规划中，可行域的所有顶点中其中一定存在一个顶点使得目标函数取到最值。则通过逆向思维分析，要求解一道高中线性规划的最值问题，只需把可行域中的顶点坐标求出，带入目标函数中进行计算，所求出来的最大值即为目标函数的最大值，求出来的最小值即为目标函数的最小值。若可行域中只存在一个顶点，则该顶点坐标带入目标函数中所求出的值一定是目标函数的最大值或者最小值。

若采用上面的解题思路，则线性规划求目标函数的最值问题就转化为了求可行域顶点坐标后带入目标函数比较大小的问题。我们暂且把这种方法叫做“顶点带入比较法”在某些题目中，相比较传统的解题方法，此方法加快了不少做题速度。下面以高中线性规划求目标函数最值问题中常见的两种题型为例，用传统的解题方法和文中提出的解题方法对例题进行求解，比较两种解题方法的优劣。

题型1：与直线的斜率有关的最值问题

例1实数x、y满足条件，求的最小值。

解一：分析，k值就是可行域内的点与点（-1，1）所连接直线的斜率值。画出可行域与点（-1，1），可以看出当取直线2x-y-2=0与x轴的交点C时，直线斜率最小，即目标函数最小，此时，如图1所示。

解二：求出可行域内的两个顶点坐标（1，0）和（4，0），代入目标函数分别求出和，因此为目标函数最小值。

题型2：与直线的截距有关的最值问题

例2实数x、y满足条件，求z=x+2y的最大值和最小值。

解一：分析：目标函数其实就是斜率为2的直线的纵截距的一半。画出可行域，作斜率为，截距为的平行直线系，当直线在可行域内滑动时候，当直线过原点时，纵截距最小，则纵截距的一半值也是最小的，此时z=0。当直线过点C时，纵截距最大，则目标函数也最大，此时z=3，如图2所示。

解2：求出可行域内的四个顶点坐标（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）带入目标函数求出z的值为0，1，2，3，则z的最大值为3，最小值为0。

总结与反思

在线性规划求最值的题目中，若可行域的顶点数不多，则采用文中提出的“顶点带入比较法”求解可以提高解题速度，但是对培养学生的数形结合思想和应用规划能力没有好处。若可行域的顶点数过多，则采用传统方法解题较为恰当。当我们从高观点下看待初高中数学问题时，总能有意外的收获，对我们的教学或者解题有很大帮助。因此，初高中教师在教学过程中应能打破常规，从较高观点思考问题，从而加深对问题本质的认识，来辅助自己的教学。

作者简介

颜习位（1976.12-），男，汉族，高中數学教师，高级教师，云南省保山市施甸二中，研究方向：数学教学。

许世雄（1993.10-），男，汉族，在读教育硕士，研究方向：学科教学（数学）;单位：云南师范大学数学学院。