一类具有时滞的微分方程稳定性分析

摘 要：本文考虑了一个具有时滞的微分差分方程，利用线性化方法来研究了系统平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分支的存在性.

关键词：时滞;线性化;Hopf分支

1 引言

人们最初利用常微分方程在各个学科研究领域中刻画实际生活的系统模型，但随着数学学术的深入研究，自从1771年Condorcet推导出了数学历史上的第一个时滞微分方程以来[1-3]. 例如带时滞的Logistic生物系统模型、种群动力学、传染病动力学. 时滞微分方程也叫泛函微分方程，Ruan和Wei在文献给出了超越方程根分布的特点.

时滞微分方程的分支理论在动力系统研究中具有很重要的意义，分支现象不仅在理论中研究，它也广泛地存在于自然界和人类的生产生活中，并且已经被各个领域的学者们广泛的研究及应用. 本文研究如下形式的时滞微分方程初值问题

本文将利用文献[4]中的方法研究具有初值条件的模型（1）的稳定性现象.

2 平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分岔

将方程（1）在处线性化，系统（1）可以写成下面线性自治齐次的时滞微分方程的初值问题

2.1  平衡点的绝对稳定

这一节主要分析系统（2）平衡点的绝对稳定. 令 时，则

即 是系统（2）的平衡点.

将代入（2）得

如果方程（3）的所有根都有负的实部，那么系统（2）的平衡点是渐近稳定的. 如果方程（3）有一个根具有正的实部，那么系统（2）的平衡点是不稳定的.

如果，那么方程（3）简化为

定理2.1 ，则系统（2）的平衡点是局部渐近稳定的.

下面分析时滞，系统（2）平衡点稳定性的影响，假设特征方程（3）有一对纯虚根，将其代入特征方程（3）得

方程（5）的实部和虚部分离，可得

把方程（6）两边的平方和相加，可得下面的方程

于是方程（7）有唯一的正根

2.2   单次稳定性切换

从方程（6）可得相应于的的值为

设是当附近变化时特征方程（4）的共轭复根，满足下面的横截性条件成立

引理2.2假设条件（H1）成立，由（8）定义且由（9）给出，则

证明  将特征方程（3）两边对微分，可以得到

注意到当时，，则

于是

证明完毕.

由引理2.2，可陈述下面的系统（3）平衡点的稳定性和Hopf分支的结论.

定理2.3 方程（9）定义了且方程（10）定义了.

（1）如果，则系统（3）的平衡点是局部渐近稳定的.

（2）如果，则系统（3）的平衡点是不稳定的.

（3）如果，则系统（3）在平衡点处出现Hopf分支.

3 结论

本文研究时滞微分方程，首先考虑系统ODE模型的稳定性，通过分析系统线性化方程中特征方程的根的分布;其次分析了一个时滞系统的线性稳定性和单次稳定性切换，最后得到了相关的一些具体结果. 结果表明当系统中的时滞在临界值时，系统在平衡点附近出现Hopf分支.

参考文献

[1]郑祖庥. 泛函微分理论[M]. 安徽教育出版社，1994.

[2]魏俊杰，黄启昌. 泛函微分方程分支理论发展概况[J].科学通报，1997（24）：2581-2586.

[3] 魏俊杰，王洪滨，蒋卫华. 时滞微分方程的分支理论及应用[M].北京科学出版社，2012.

[4]Yan X，Shi J. Stability Switches in a Logistic Population Model with Mixed Instantaneous and Delayed Density Dependence[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations，2017，29（1）：113-130.

作者簡介：

杨晓燕（1994-），女，山西朔州人，硕士研究生，主要从事非线性微分方程的动力学研究.