非线性方程的抛物线性化二重迭代法

陈娟 何斯日古楞

1 引言

许多实际问题的数学模型常常归结为求解非线性方程f（x）=0，最常用的办法是迭代方法，其中Newton法[1]的每步迭代需要计算一次函數值和一次导数值，因此不便用于较复杂的函数.不含导数项的经典迭代法有弦截法[1]和抛物线法[1].弦截法用已知的两步迭代值xk-1，xk求出新的迭代值xk+1，其收敛阶为1.618.抛物线法则用已知的三步迭代值xk-2，xk-1，xk求出新的迭代值xk+1，其收敛阶高于截法，但其计算较复杂，需要处理符号问题.为此，文[2-5]用不同的三点构造抛物插值函数L（x）来近似代替f（x），再在xk处对抛物方程L（x）=0使用一次Newton公式，得到新的近似根xk+1.这种处理手段不需要直接求解二次方程L（x）=0，从而避免了符号处理问题.文献[4]采用黄金分割思想，基于已知的两步迭代值xk-1，xk及黄金分割点在内的三点构造抛物插值多项式，进而用xk点处切线的零点作为新的近似根，构造了一种至少二阶收敛的两点迭代公式.在此基础上，本文利用文献[6]的二重弦截法的思想，构造了一种二重抛物线性化迭代格式

用Matlab软件进行了数值试验，与Newton方法（NT）和文献[6]的迭代格式（P.C.）进行了比较.本文所给格式需要两个初始值x-1，x0，其中初始值x-1=x0-2×10-6，计算过程采用双精度，停止准则采用|xk-xk-1|<10-6，计算结果见表1-表2.表中数值结果表明，在相同条件下本文所给格式的收敛性高于文献[6]所给方法和Newton方法，符合理论分析结果.