高阶矩阵逆的分块计算探究

梁载涛

摘 要：矩阵的分块是处理高阶矩阵运算的一种非常有效的方法，但是大多数理工科线性代数教材只是简单地介绍分块矩阵的概念和运算，对其相关应用介绍的并不多.本文主要针对高阶矩阵逆的分块计算进行探究.

关键词：高阶矩阵;初等变换;分块矩阵;逆矩阵

中图分类号：O13  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）10-0010-03

1 引言

矩阵是线性代数课程中一个非常重要的内容，它在数学、物理学、计算机科学等领域都具有广泛的应用.矩阵是线性代数基本的研究对象和研究手段，矩阵理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性变换、二次型等各个方面.同时矩阵理论也是许多其他数学分支和自然学科研究问题的一个重要工具.逆矩阵作为矩阵教学的一个主要内容，对研究其他线性结构有着重要的作用.线性代数的许多问题都可以转化为矩阵求逆相关问题来研究.

对于低阶矩阵来说，可以通过待定系数法、伴随矩阵法以及初等变换法等计算其逆矩阵.但是对于求高阶矩阵的逆运算来说，直接应用这些方法就会相当的复杂和繁琐，且计算量非常大.但是高阶矩阵的逆运算又在许多自然科学领域有着重要的应用.如何得到高阶矩阵逆的简单计算公式至今仍然困扰着许多高校教师和学子们.如果对其进行分块，把高阶矩阵逆的运算转化为若干个低阶矩阵的运算，那么计算起来就会简单得多，同时也使得原矩阵的结构显得简单且清晰.因此，矩阵的分块是处理高阶矩阵运算的一种非常有效的方法，但是大多数理工科线性代数教材只是简单地介绍了分块矩阵的概念和一些简单的运算，对其相关应用介绍的并不多.受此启发，本文主要针对高阶矩阵逆的分块计算进行探究.希望本文的结果对矩阵相关领域的研究、教学以及考研等有所帮助.

2 分块矩阵的初等变换

初等变换和初等矩阵是矩阵求逆运算的一个非常简单且有效的工具.初等变换和初等矩阵同样可以推广到分块矩阵，具体可参考文献[1-3].下面简单地介绍分块矩阵的初等变换和初等矩阵.

设M是一个由l行m列子矩阵Mij所构成的分块矩阵：

下列三种变换称为分块矩阵的初等变换：

（1）交换分块矩阵M的两行（列）;

（2）用一个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵M的某一行（列）;

（3）用某一矩阵左（右）乘分块矩阵M的某一行（列）加到另一行（列）上去.

设E是一个由l行m列单位矩阵Eij所构成的分块单位矩阵：

则其经过一次初等变换所得到的分块矩阵称为初等分块矩阵.初等分块矩阵有三种：

（1）交换E的第i，j两行（列）得到初等分块矩阵记作E（i，j）;

（2）用可逆矩阵Q左（右）乘E的第i行（列）得到初等分块矩阵记作E（i（Q））;

（3）用矩阵Q左乘E的第j行加到第i行得到初等分块矩阵记作E（j（Q），i）;它也可以表示矩阵Q右乘E的第i列加到第j列.

对分块矩阵M作初等变换，有如下性质：

（1）对分块矩阵M作一次初等行变换，相当于在M的左边乘以相对应的初等分块矩阵;

（2）对分块矩阵M作一次初等列变换，相当于在M的右边乘以相对应的初等分块矩阵.

3 高阶矩阵逆的分块计算法

对于分块矩阵的运算来说，二阶分块矩阵的运算是最简单的，所以本文主要考虑由四个子矩阵组成的二阶分块矩阵.如果一次二阶分块后，发现有子矩阵仍为高阶矩阵，那么可以对其进行多次二阶分块，最后达到简化运算的目的.应用分块矩阵求矩阵的逆相关文献可参考文献[4-7].但上述专著和文献给出求逆公式大都是根据待定系数法证明，或者只是简单地进行验证，对公式的由来和证明不够合理，而且还有部分文献只是给出的是一些特殊分块矩阵的逆公式[7]，对一般矩阵的逆并没有给出.本节内容将解决这一问题.

4 总结

作者在线性代数的教学过程中发现，大多数的理工科线性代数教材以及习题往往只涉及一些低阶矩阵逆的计算，对于高阶矩阵逆的计算涉及很少.可能是因为高阶矩阵逆的计算复杂且计算量大的原因.但是高阶矩阵逆运算又在许多自然科学领域都有着重要的应用.如何得到高阶矩阵逆的简单计算公式呢？受此启发，本文主要应用分块矩阵的初等变换法探讨高阶矩阵的逆矩阵，并给出具体的计算公式.本文的结果对高校教师进行线性代数矩阵方面的教学以及学生考研都有着一定的帮助，也进一步补充和完善了这方面的教学内容.如有不妥之处，请予指正.

参考文献：

〔1〕王耕禄，史荣昌，等.矩阵理论[M].北京：国防工业出版社，1988.

〔2〕陳本美，林宗利，司马诩.线性系统理论：结构分解法[M].席斌，译.北京：清华大学出版社，2008.

〔3〕魏平.初等变换在高等代数中的应用研究[J].数学教学研究，2010，29（9）：57-58.

〔4〕同济大学数学教研室.工程数学：线性代数[M].第3版.北京：高等教育出版社，1999.

〔5〕江蓉，王守中.分块矩阵在线性代数中的应用及其教学方法探讨[J].西南师范大学学报，2017，42（6）：167-171.

〔6〕陈本美，林宗利，司马诩.线性系统理论：结构分解法[M].席斌，译.北京：清华大学出版社，2008.

〔7〕马学玲，詹建明.浅谈逆矩阵求解的方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2014，30（11）：3-5.