《1.2.4平面与平面的位置关系(第一课时)》教学案例

方泽运

摘 要：依据《数学课程标准》中关于空间中平面和平面位置关系的教学要求，引导学生类比空间中线与线、线与面的位置关系学习，通过对教室内的地面、天花板面、墙壁等位置关系进行分析，组织学生展开讨论。结合两个平面公共点个数进行位置关系的分析，总结归纳，探究空间中两个平面的具体位置关系，进一步寻找平面与平面平行的判定定理和性质定理，直观感知，理论联系实际，帮助学生提高探索分析问题的能力。

关键词：平面;位置关系;教学案例

苏教版普通高中课程标准试验教科书必修2的《1.2.4平面和平面的位置关系》学习时，学生已经学习了空间线与线、线与面的位置关系，空间两个平面的位置关系也是学生比较熟悉的，如教室的墙壁、地面、屋顶所在平面的位置关系，引导学生积极讨论，进而根据两个平面公共点的情况归纳出两个平面的位置关系，进一步寻找平面与平面平行的判定和性质定理，于直观感知中，鼓励学生探索发现。

学情分析

学生已经学习了线与线和线与面的位置关系，空间两个平面的位置关系也是学生比较熟悉的，如教室的墙壁、地面、屋顶所在平面的位置关系，引导学生讨论，进而根据两个平面公公共点的情况归纳出两个平面的位置关系.进一步寻找平面与平面平行的判定和性质定理，于直观感知中，鼓励学生探索发现.

教材分析

两个平面互相平行在学习“棱台”定义时，对其就有所介绍，教学时可结合平面互相平行的定义，回顾棱柱、棱台、圆柱、圆台的概念，逐步推进直至发现判定定理.

对于两个平行平面的性质定理的教学，要引导学生认真分析教材中提示的两个问题，两个平行平面内的线线关系，区分“异面和平行”，从而自然地引出两个平面平行的性质定理及其证明与应用.

教学目标

1.理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义，会画平行或相交平面的空间图形，并用符号语言表示.

2.通过探究空间两个平面的位置关系以及平面与平面平行的判定与性质定理，明确数学概念的严谨性和科学性，培养学生运用数学思维分析解决问题的意识.

3.通过直观感知、探究、思考、反思、完善，进一步培养学生空间想象能力、理性思维能力以及团队合作创新能力。理论联系实际，渗透数学核心素养.

教学重点

1.了解空间两个平面的位置关系.

2.两个平面平行的判定定理和性质定理及其应用.

教学难点

两个平面平行的判定定理、性质定理及其应用.

教具准备

多媒體课件、长方体模型等.

课时安排1课时

教学过程

创设情景，引入新课

师：前面几节课我们已经研究了空间两条直线、直线和平面之间的位置关系，同时我们也掌握了空间直线和直线、直线和平面的各种位置关系的判定和性质，你觉得构成空间图形的基本元素之间的哪种关系我们还没有研究呢？

（生思考）

师：现在我们来探究空间两个平面之间的位置关系。

（生思考）

师：数学无处不在，某学校宿舍里的双层床（如图所示），上铺和下铺的床板面就可抽象成两个平面，爬梯所在面可抽象成一个平面.

问题1：床板所在的两平面是什么位置关系？公共点有多少？

问题2：床板所在平面和爬梯所在平面是什么位置关系？公共点有多少？

（生探究后归纳）两平面的位置关系：

合作探究，推进新课

探究空间两个平面平行的判定定理

问题1：如果平面α内有一条直线a平行于平面β，那么α与β平行吗？（不一定）

问题2：如果平面α内有两条直线a，b平行于平面β，那么平面α与β平行吗？

（不一定）那你认为怎样才能判定两平面平行？

师：同学们知道木工师傅是怎样利用水平仪检测桌面是否水平的吗？这样做的理论依据是什么？（生思考）

（多媒体慢镜头播放木工师傅利用水平仪检测桌面是否水平的过程，组织学生观察）

师：同学们能把木工师傅利用水平仪检测桌面是否水平过程用自己的语言叙述出来吗？

（生讨论交流，师适时归纳，得出如下结论）

木工师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的.

师：木工师傅这样做的原理是什么呢？

（生讨论交流，抽象出两平面平行的判定定理，板书定理）

两个平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.简述为“线面平行则面面平行”.

师：你能在长方体模型中借助于长方体的棱和面的位置关系来验证上述结论的正确性吗？

（生探究）

师：你能否用符号语言和图形语言来表示上述定理呢？

（生讨论，并动手画图归纳出如下结论）

【例1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1∥平面面C1BD.

师：根据你所学的知识，你认为要证明空间两个平面平行，可以从哪些方面来考虑呢？

（生思考）

探究：证明空间两个平面平行的方法有哪些？

（生讨论，得出如下结论）

师：：证明空间两个平面平行有以下两种方法：

（1）定义法：根据定义，即如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行.符号表示为α∩β=Φ则α∥β.

（2）平面与平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.简述为“线面平行则面面平行”.可以用符号表示为：

师：你觉得对于例1用哪种方法证明比较方便呢？

生根据判定定理.

师：如何运用判定定理来证明呢，其关键是什么？

生只要证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行.

师：请同学们完成该题的证明，并和你的同桌交流你的证法.（板书）

探究两个平面平行的性质

师：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线和另一个平面的位置关系是怎样的呢？

生平行.

师：你能解释一下吗？

（生讨论，结合两平面平行的定义，给出如下解释）

因为两个平面平行，则这两个平面没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线均和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，这条直线和这个平面平行.

师：分别在两个平面内的两条直线的位置关系是怎样的呢？

生因为两个平面平行，所以它们没有公共点.因此，分别在两个平行平面内的两条直线也没有公共点，根据空间两条直线的位置关系，可得分别在两个平行平面内的两条直线要么平行，要么异面.

师：怎样才能在两个平行平面内找到两条互相平行的直线呢？

（生思考）

师：能否在教室里或在长方体中找到具体实例呢？

（生探究，并把自己的探究结果用文字语言叙述。）

（师适时归纳得出如下结论）

结论：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

师：你能用你所学过的知识证明上述结论吗？

（生思考）

探究：求证：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

师：你能用符号语言和图形语言表示上述问题的已知和求证吗？

（生讨论，归纳如下结论）

已知：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b.

求证：a∥b.

师：要证明空间两条直线平行，可以从哪些方面来考虑呢？

（生讨论，得出如下结论）

师：证明空间两条直线平行的方法有以下几种：

（1）根据两条直线平行的定义：即在同一平面内，且没有公共点;

（2）平行公理（公理4）即若a∥b，b∥c，则a∥c;

（3）根据直线和平面垂直的性质定理：即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

师：对于该题，你觉得用哪种方法证明比较简单呢？

（生讨论，并完成解答）

【例2】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.

（1）求证：AC∥BD;

（2）已知PA=4，AB=5，PC=3，求PD的长.

（生分析图形并写出解答过程）

课堂练习，巩固提升

课本第45页练习题2、3、4.（视教学实际灵活安排）

课堂小结

师：请同学们总结一下本节课中所学的知识和运用的主要数学思想.

（生以交流的方式对本节课所学知识和思想方法加以总结）

1.空间两个平面的位置关系有哪几种？其分类的依据是什么？

2.两个平面平行的判定方法有哪些？

3.两个平面平行的性質定理及应用.

数学思想：类比转化

布置作业

《课时作业本》第23-24页.

板书设计

教学反思

在认真研读教材和教学参考书，多次请教组内资深教师和骨干教师后，确定了1.2.4节第一课时的教学内容：空间中两个平面位置关系的概念、表示方法，面面平行的判断定理、性质定理及其应用。

新课程理念中倡导学生主动探索、动手实践、合作交流。于是我在教学中主要关注学生的主体参与程度，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，通过对生活中教室架构、宿舍的双层床铺等实际模型的认识，学会将空间平面位置关系及判断与性质的文字语言转化为图形语言和符号语言，注重数学思想潜移默化的渗透。

回顾整个课堂教学过程，准确把握教学重点、难点，各环节的安排基本合理，师生互动，探索发现过程流畅，教学中突出了学生对基本概念的理解及对基本思想的领悟，学生参与教学活动积极发言，上黑板练习正确，较好的完成了本节课的教学任务。

当然也有一些遗憾的地方，在平面与平面的判定定理的引入时，如果准备一个水平仪，课堂上让学生自己实验观察水平仪的气泡位置，进而判断归纳出面面平行判定定理的内容，那样也许会更精彩。其次，第一个例题给出后，学生明显感觉吃力，表明对普通班学生而言难度有点大了。再者，课堂教学语言可以更精练些。在今后的工作中，我将认真改进不足，努力上进。

感谢学校开展教科研活动，给予我们年轻老师锻炼和成长的机会，今后我将一如既往的向组内资深教师学习，向骨干教师学习，刻苦钻研，努力使自己的业务水平上升到一个新的台阶。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准.人民教育出版社.

[2]普通高中数学课程标准实验教科书.江苏凤凰教育出版社.

[3]普通高中数学教学参考书.江苏凤凰教育出版社.