转化思想在高中数学中的应用

黄培芳

随着二十一世纪经济的飞速发展，知识经济的来临，“科教兴国”战略的确立以及新一轮基础教育改革的实施，高中数学课程改革也进入一个重要时期。特别是在新的课程标准下，数学思想的教学显得更为重要。高中数学中蕴含的数学思想很多，基本的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等，而转化思想是这些思想中最基本的数学思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。下面举一些例子来说明数学转化思想在函数和几何教学中的应用，更好地利用数学思想来提高学生的素质，以便学生今后能用这种数学思想方法来解决实践中遇到的各种问题。

一、转化思想在函数中的应用

函数是高中数学教学中的重点和难点，由于函数的抽象性给教学带来了一定的困难，如果能合理运用转化思想来教学，能让学生在遇到未知问题时迅速把它转化，从而求解。如某些数学问题，在题目或结论中出现“至少”“至多”或者“不”之类的否定词的时候，可从问题的结论入手，或者从命题的条件或结论的反面思考从而解决问题。

例1  已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2-4x

（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论。

（2）设g（x）=（a-2）x，若存在x0∈         ，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围。

分析：（1）先求出函数的定义域，再求导。假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值。根据x=1的左右单调性是否相同，即可判断x=1是不是极值点;

（2）在           上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，（x0-lnx0）a≥x02-2x0，而要求a的取值范围，需把a分离出来，要分离a 必须先确定a前面的系数x0-lnx0的符号，构造函数F（x）=x-lnx再求F（x）的导数，F′（x）=        （x>0）

∴当0

当x>1时，F′（x）>0，F（x）单调递增;

∴F（x）≥F（1）=1>0，即x-lnx>0，（x>0）.

所以不等式可转化为                   ，再构造出函数G（x）=               （x∈           ）。

从而把问题转化成a≥G（x）min，对G（x）求导，确定G（x）的单调性，求出G（x）的最小值，即可求出a的取值范围。

点评：本题第（2）小题考查解决存在型不等式，通过转化思想把它转化为用导数解决单调性的问题，培养了学生运用知识解决问题的能力、转化能力和运算能力。

二、转化思想在解析几何中的应用

解析几何是高中数学的一个重要组成部分，它是以解析几何学的基本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面几何问题。因而在解析几何的学习中充分利用转化思想，就可以起到化繁为简、事半功倍的效果。

例2  如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆E：                （a>b>0）的左、右焦點，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且                         。

（1）求椭圆E的离心率;

（2）已知点D（1，0）为线段的OF2中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为K1、K2，试问是否存在常数λ，使得K1+λK2=0恒成立？若存在，求出λ的值;若不存在，说明理由。

分析：（1）由                         ，易得

。所以得到a+c=5（a-c）所以2a=3c，故椭圆E的离心率为    。

（2）中的条件较多，如果从结论来分析的话，学生可能会设存在λ，从而设法来求λ的值。但结合题目中的条件无从入手，而解析几何就是用方程表示曲线，用代数的方法去研究几何图形。所以从已知条件入手，直接假设点的坐标后进行代入点D（1，0）为线段OF2的中点，所以c=2，从而a=3，b=    ，左焦点F1（-2，0），椭圆E的方程为                      。

设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为y=          （x-1），即x=        y+1，代入椭圆方程

整理得                                           。

从而把它转化为方程，再利用根与系数的关系得到

∴                     。从而                          ，故点P                                    。

同理，点Q                                    。

∵三点M、F1、N共线，

∴                        ，從而x1y2-x2y1=2（y1-y2）.

从而

故                    ，从而存在满足条件的常数λ=        。

由条件代入直接转化进行求解是我们最基本的解题方法，而解析几何的条件中很多是给出图形的条件，因而当我们考虑一个解析几何问题时，首先应该去考虑能否利用已知条件中的“形”，由“形”直接转化到“数”来解决，而大部分题目的确都能通过这个转化来解决。

三、转化思想在立体几何中的应用

中学立体几何的主要内容，不外乎直线和平面、多面体和旋转体两大部分。在解决这两部分内容的某些空间问题时，仅凭空间有关描述是不能具体刻画出它们的相对位置关系的。这时，我们常常运用转化思想，使其转化到平面图形来，采用平面几何的知识来准确刻画出空间关系。

例3  已知正四棱锥P-ABCD 的底边长和各侧棱长均为13，M、N 分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8。（1）求证：直线MN∥平面PBC;（2）求直线MN与平面ABCD所成的角的正弦。

分析：二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，是空间角，可转化为用二面角的平面角来度量它。求二面角的大小，一般的方法是先作出二面角的平面角，再求其大小。题中要求直线MN与平面ABCD所成的角，是先转化为直线PE与平ABCD所成的角，再转化成平面几何的角∠PED，然后计算出sin∠PEO的大小而完成的。

解：（1）如图，因为P-ABCD是正四棱锥，所以是ABCD正方形。连结AN并延长BC交于E，连结PE，因为AD∥BC，所以EN：AN=BN：ND。又由已知BN：ND=PM：MA，所以MN∥PE，PE在平面PBC内，故MN∥平面PBC。

（2）由（1）知MN∥PE，所以MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角。

设点P在底面ABCD的射影为O，连结OE、OP，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角。根据正三棱锥的性质，得PO=

=        ，又根据（1）知BE：AD=BN：ND=5：8，所以BE=      。

在△PBE中，∠PEO=60°，PB=13，BE=    ，由余弦定理得PE=     。在Rt△POE中， PO=        ，PE=     ，所以sin∠PEO=

=      。故直线MN与平面ABCD所成得角的正弦值为         。

立体几何中空间向平面转化的形式是多种多样的。除此以外，立体几何中有关度量问题也可以向平面度量转化的，例如在空间角的度量中是转化为平面角，用平面角的度量方法来度量的等。同时，空间图形的面积也是转化到平面图形的面积来度量的。只要我们在教学和学习中，多加总结，注意运用，立体几何的许多问题就会化难为易，得到解决。

转化思想不仅应用在函数和几何方面，实际上转化思想也应用在三角函数、向量、数列、不等式等问题。纵观整个高中学习过程，我们可以看到转化思想是处理数学问题的一种基本思想，掌握数学转化思想方法可以使数学问题更容易理解，更重要的是领会数学转化思想是通向迁移大道的“光明之路”，形成“数学素养”、树立创新意识的关键，它能使学生在未来的学习中终身受益。