浅谈导数的作用

梁大军

摘 要：导数这一知识点是我们从高中时就开始接触学习的，在高中的知识体系中占有重要作用，在大学里它还是微积分中的一个重要概念，新课改要求学生能够熟练掌握导数的相关知识及其应用，本文利用导数的概念和相关性质，谈一谈导数在数学函数和物理中的应用.

关键词：导数;函数;物理;应用

众所周知，导数的概念是牛顿、莱布尼兹等数学家在解决一些实际问题的过程中归纳、提炼出来的，是对客观世界中某种数量關系的精确描述.本文利用导数的概念和相关性质，谈一谈导数在数学函数和物理中的应用.

一、导数的概念和性质

（1）定义1[1]：假设函数y=f（x）在点x0的某个领域内有定义，自变量在Δx=x-x0，函数相应的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），若极限

存在，则称此函数f（x）在x0处可导，并称其极限值为函数y=f（x）在点x0的导数或微商，记作f’（x0）.假如上述极限不存在，那就说函数f在x0不可导.

定义2[2]（a）函数f（x）在点x0的某个右领域上有定义，若右极限

存在，则称这个极限值为y=f（x）在x0的右导数，记作.

（b）与右导数类似，函数f（x）在点x0的某个左领域上有定义，若左极限

存在，则称这个极限值为y=f（x）在x0的左导数，记作.（a）和（b）统称为单侧导数.

（2）性质1若y=f（x）在点x0处可导，则f（x）在点x0处连续.

性质2可导的偶函数，其导函数是奇函数;可导的奇函数，其导函数是偶函数.

性质3可导的周期函数，其导函数仍是周期函数，且周期不变.

二、导数在函数中的应用

1、利用导数判断函数的单调性

函数中一个最重要的知识点就是函数的单调性，这也是高考中最重要的一个考点，接下来利用导数来判断函数的单调性.

定理3假设函数f（x）在区间（a，b）内可导，则

（1）如果在（a，b）内，恒有f'（x）>0，那么f（x）在此区间内是单调增函数;

（2）如果在（a，b）内，恒有f'（x）<0，那么f（x）在此区间内是单调减函数;

（3）如果在（a，b）内，恒有f'（x）=0，那么f（x）在此区间内是常数函数.

2、利用导数判断函数的凹凸性及拐点

目前，对判断函数凹凸性以及拐点有很多的结论，接下来重点介绍函数的凹凸性.

定理5若函数y=f（x）在区间（a，b）上存在二阶导函数f''（x）

1）如果对任意x∈（a，b），有f''（x）>0，则函数y=f（x）在（a，b）内是凹的;

2）如果对任意x∈（a，b），有f''（x）<0，则函数y=f（x）在（a，b）内是凸的.

三、导数在物理中的应用

导数的应用十分广泛，在物理中也处处都有导数的存在，只要对相应问题建立适当的数学模型，然后就可以利用导数来解决.在历史上求变速直线运动物体的瞬时速度以及加速度这个问题，是一个非常经典的利用导数来求解的问题.比如瞬时速度就是路程对时间的导数，加速度就是瞬时速度对时间的导数.

之前初中时学过怎么求匀速直线运动物体的运动速度，表示平均速度，s表示位移，t表示时间，那么，

然而当物体做变速运动时，速度就不是一成不变的，而是时刻变化的，那么此时就要求这瞬间的速度，也就是瞬时速度.

当越小，平均速度就越接近物体在t0时的瞬时速度，所以我们就用→0时的极限

来定义t0时的瞬时速度7].

综上所述，当t=1时物体的瞬时速度为6m/s.

参考文献

[1]上海交通大学数学系.微积分上册[M].上海交通大学出版社，2002.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001.