高三复习教学设计与反思

赵敏华

【摘要】在课程改革、素质教育的指导思想下，准确把握高考数学的命题特点、发展趋势是提高复习效率的必要条件，这不仅使得高考备考更有针对性，而且为高三学子减负也起到积极的作用。空间几何体的三视图，作为课程标准即将删除内容之一，在2019年高考舞台上依然肩负着“直观想象”核心素养达成使命，面临新旧交替的尴尬，如何做好高三文科数学复习，准确把握新高考动态，是每位一线高三数学教师值得深究的重要课题。

【关键词】高三文科数学；新课标；空间几何体；三视图

一、问题背景

2018年1月16日，教育部颁布普通高中课程方案和课程标准（2017年版），2018年秋季执行。新旧课程标准对比，本次修订的幅度比较大，既有增加内容，如数学建模、数学探究等，也有删减内容，如算法初步、简单的线性规划问题、三视图等，还有降低要求内容，如计数原理、圆锥曲线与方程按原文科要求处理等。

作为一线的高三教师，最关心的当然是新课标对今后高考的影响有哪些？特别是即将到来的2019年高考。不难发现，2018年秋季才开始实施的新课标，使得2018、2019、2020这三年的高考都将面临新旧交替的尴尬，如何做好高三数学复习，准确把握新高考动态，是每位一线高三数学教师需要深究的重要课题。

二、案例呈现

空间几何体的三视图，这块内容在新课标中是删除内容之一。回顾2018年高考全国卷，笔者发现，它依然活跃在考题中，2018年高考全国卷Ⅰ（文科）第9题，2018年高考全国卷Ⅲ（文科）第3题，都考察了空间几何体基本结构的三视图，不偏不怪，立意考察直观想象核心素养。引人注目的是2018年高考全国卷（文科）Ⅲ第3题中融入了古代数学文化背景，着实让人眼前一亮，高度吻合了新课标中提出的重视数学文化这一要求。显然，2018年高考已有新课改的体现与落实，值得一线高三数学教师关注。

1.教学设计思路

①教材分析

展望2019年高考，高三文科数学第一轮复习中《空间几何体的三视图》这块内容该怎么进行备考呢？旧版《数学课程标准》要求“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”，因此，笔者认为，三视图一般属于中低档题，要求熟悉常见几何体基本结构的三视图，并能还原所表示的立体模型。根据近年来高考中数学文化的渗透，可以适当地补充相关的古代数学文化，增添学习的趣味性。例如《九章算术·商功》中，“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。”意即取一长方体，斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵（底面是直角三角形的直棱柱）。

再沿堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个。以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”。余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”。

“堑堵、阳马、鳖臑”分别是三棱柱、四棱锥、三棱锥的典型代表，而它们又都是从长方体模型中裁切而得，这不正是我们高三复习课《空间几何体的三视图》教学设计的好素材吗？

②学情分析

授课班级为高三文科普通班，虽然历经初中、高一必修2的《立体几何》学习，文科生通过实物和模型，已经有了初步空间观念的体验，懂得借助直观图来搭建通往感性认知向理性认知转化的桥梁，但由于生活体验有限，大部分文科生还是深感空间形象感知力匮乏，尤其是三视图还原空间几何体直观图普遍感到迷茫。

再者，学生对三视图形成的原理，停留在“长对正，宽相等，高平齐”的口诀上，并没有真正理解其实质意义，导致求棱长、表面积、体积时使用数据时出错，得不到正确的答案。

2.教学目标

①理解三视图产生的原理；

②会画简单空间图形（长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图；

③通过观察、分析，识别三视图并能还原所表示的立体模型。

3.教学重点和教学难点

①教学重点：画出简单空间图形（长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图；能识别上述三视图并能还原所表示的立体模型。

②教学难点：三视图的形成原理、还原几何体。

③教学过程：了解空间几何体的三视图在近年高考中的地位。空间几何体的三视图的辨析是高考的热点内容，一般以选择题或填空题的形式出现。常见的命题角度有：①已知几何体，识别三视图；②已知三视图，还原几何体；③已知几何体的三视图中的某两个视图，确定另一种视图。

三、学习新课

1.三视图的概念

①光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图，叫做几何体的正视图。

②光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图，叫做几何体的侧视图。

③光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图，叫做几何体的俯视图。

设计意图：通过动画演示，回顾基础知识，引导学生体验三视图形成的原理过程，借助长方体的展开图来形象感知，观察对比找到三视图的度量准则：长对正、宽相等、高平齐，为进一步求空间几何体的棱长、体积、表面积等做好准备。

2.简单几何体的三视图：①棱柱的三视图；②棱锥的三视图；③棱台的三视图；④旋转体的三视图

动手试一试：《九章算术·商功》中，“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。”意即取一长方体（假设长宽高分别为3，2，1），斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（※堑堵），再沿这个三棱柱的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥（※阳马）和三棱锥（※鳖臑）各一个。请画出它们的三视图并标出对应的长度，其余的仅需作出对应的三视图。

设计意图：复习简单几何体的基本结构，并根据三视图的度量准則，画出三视图标出对应长度，直观地体会直观图与三视图的联系与区别，为后面的三视图还原几何体做好充分的铺垫。引入古代数学文化背景，其中的“堑堵、阳马、鳖臑”即为学生熟知的特殊的柱体、锥体，接近学生的认知最近发展区，容易激发学生学习的兴趣。

3.高考题型分析

题型1：已知几何体，识别三视图。

例1： （2018年高考全国卷文数Ⅲ3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 。

变式1：（2018·惠州调研）如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的侧（左）视图为（ ）

设计意图：根据几何体特点，引导学生把几何体置于正方体来确定三视图，领会三视图产生原理，注意区分虚实线的来由。让学生经历由点的投影再到线的投影，最后得到的就是面的投影的过程，其最本质的东西就是先把握好点的投影。

题型2：已知三视图，还原几何体。

例2：（2018年高考全国卷文数Ⅰ9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图。圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为 。

变式2.（2017·浙江高考文数3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 。

设计意图：结合前面的简单几何体的结构特征与三视图原理的回顾铺垫，引导学生抓住三视图特点，还原几何体（组合体），并联系三视图中的点（或长度）与几何体（组合体）对应点（或数据）的关系，达到解决问题的目的。

例3：已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是 。

A.3 B.2 C.6 D.8

变式3.（2017·北京高考理数7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 。

设计意图：已知几何体类型（四棱锥）结合三视图还原几何体，可以先确定底面在哪，找出四个顶点，再确定最后一个顶点即可。结合三视图，把它嵌入边长为2的正方体中，容易求出需要的面积与长度。例3是常规的四棱锥（锥体顶点在上方）放置，变3是侧放的四棱锥（锥体顶点在左边）放置，目的为了让学生注意观察，不同的放置的方式其三视图是有差异的。

4.拓展提升

（2017·北京高考文数6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 。

设计意图：由变3的惯性迁移，学生容易思维定势审题不清，直接定位它是一个四棱锥，导致错解。引导学生留意俯视图的虚线，必须有遮挡才有可能是虚线，所以肯定不是四棱锥，结合题意，这是一个三棱锥，由正视图与侧视图可断定一个顶点的位置，其余三点的投影应该落在俯视图中，可以尝试在长方体中还原三棱锥剩余三个顶点的位置。

5.总结提高

从高考命题角度上来看：①已知几何体，识别三视图；②已知三视图，还原几何体；③已知几何体的三视图中的某两个视图，确定另一种视图。归根结底，就是要掌握空间几何体的直观图与三视图的相互转化，由于高考要求并不高，因此更应该把重心放在常规转化，舍弃奇、难、怪的题目。

四、回顾与思考

1.渗透文化，激发兴趣

教育部《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用”，并提出“在数学试题中增加数学文化的内容”，以及近年来，高考数学试题中开始渗透数学文化，如，2015年湖北理科卷19题；2015年新课标全国卷Ⅰ（理科）第6题都与空间几何体有关，虽然它与数学问题之间的联系不大，但对学生拓宽数学视野，认同“数学是人类文化的重要组成部分”有着积极的意义。

2.归纳总结，突破难点

培养学生的直观想象力是六大核心素养之一，《空间几何体的三视图》对学生进一步提高空间想象能力和几何直观能力有重要的促进作用，学生通过数学活动“实物模型——三视图——直观图”这样的一个转化过程认识空间几何体是培养学生空间想象能力的有效途径。而借助长方体（正方体）来还原几何体，是对平行投影（三视图）的深刻理解，较好地突破了三视图还原直观图。

3.立足课标，服务高考

高考备考往往是细节决定成败，因此，研读课标和考纲，从考情学情出发，从整体上把握高考动态，以经典例题为主旋律的复习课教学设计一直是笔者的着力点，只有教师钻进题海，才能把学生从题海中解放出来，实现课堂高效，才能有备考成果。如何更好地掌握学情，在学生已知与未知的基礎上建架适当的桥梁，需要在后续阶段深入研究。

参考文献：

[1]郭明娴.走进鳖臑几何体，增长数学文化知识[J].高中数理化，2017（23）：6-7.