高中数学解题技巧之"数""形"结合途径分析

陈孝严

几何是高中学习的重难点，具有较强的综合性，对学生来说具有一定学习难度，如没有切实掌握其中蕴含的知识点将无法达到预期的学习效果。而采用数形结合的学习方式则可有效解决数学几何题，提升学习效果。对此，笔者结合自身实际学习经验，提出几点数形结合的有效途径，为学习者提供参考。

一、由“数”变“形”，使抽象数据具体化

相比于数学语言来说，图形更具直观性和形象性，因此，对于数学的学习可采用数形结合的方式，将抽象的、难度较大的代数问题转变成图形问题，从而打开思维方式，更好的解题。

比如题为：已知方程|x2-1|=k+1，当k值不同时，那么方程有几个解。在对该题解答时，先将方程边做y1=|x2-1|和y2=k+1的函数方程，并画出相应的图形（如图1），然后在结合图形求解。当k<-1时，图中的函数没有相交点，也就证明此方程误解;当k=-1时，图中的函数有两个交点，也就证明此方程有2个解;当-1

二、由“形”变“数”，使图形更具逻辑性

虽然图形具有更直观、更形象的特点，但是却缺乏逻辑性和精准性，如果仅仅依靠看图也难以顺利完成解题，稍有疏忽便会出错。基于此，也可应用数形结合思想，采用数学语言将图形展现出来，拓宽解题思路。

比如题为：已知ABCD为直角梯形（如图2），P为动点由B点向A点沿线运动，分别经过C点和D点，将P点运动的路程设为X，f（x）为△ABP的面积，若函数y= f（x）的图像为图（3）所示，求△ABC的面积。

解：从图像可知，在x处于0-4之间时，f（x）>0为最大值，即BC=4，对图形进行分析，得出在x=4和x=9的情况下，f（x）不变，也就表示P点存在DC边上，得出CD=5，因此AD为14-9=5，过D点作DG与AB相垂直，即DG=BC=4，得出AG=3，进一步得出AB=3-5=8，求得△ABC的面积为：DB×BC×DB=16，因此△ABC的面积为16。

三、“数”与“形”结合使用，提高解题效果

众所周知，采用数形结合的解题方式可提升几何解题效果，尤其是对平面圆几何问题的解决更能起到帮助。采用数形结合模式，更直观、更充分的将平面圆的数量关系表现出来。这是由于在对此类题型解答时，主要是对圆和直线之间、圆和圆之间的位置变换以及相关方程等的解决，而此类问题都可从构建图形出发加以解决。但是在实际解题过程中，学生还应具备正确的解题思路，这也是保证解题效果的关键所在。比如题为：直线y=k（x-2）+4与曲线y=1+（4-x2）有2个交点，判断k值范围。对此，在解题之前应对这两个方程式分别分析，接着将y=1+（4-x2）变化为x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），通过对方程的转变计算出点A（0，1），为曲线y=1+（4-x2）的圆心，接着得出圆的半径为2。然后再根据条件（1≤y≤3），进一步计算出y值域在1之上，因此可以推测该圆应属于上半圆，如图（4）所示。   图（4）

直线 y=k（x-2）+4过点B（2，4），直线绕B点做旋转动作，直线相切于圆，然后在结合相关数量关系做进一步解析，知道数量间关系与题干要求相符。而在交点M位于直线y=1上时，即可推断出M点坐标为（-2，1）。采用点斜法计算直线BM，KBM=，因此知道点M与点A的距离便是圆的半径。通过上述分析进一步列等式，KBT=，即k∈（ ）。

四、应用数形结合思想方法需遵循的原则

在使用数形结合思想方法时，需要遵循一定的原则才能达到预期的学习效果。首先，等价性原则。在應用数形结合思想时，最主要的便是要遵循等价原则。

结束语：

几何是高中数学学习的重难点，因此还应采取有效的学习方式，不断积累学习经验。采用数形结合的学习方法能够使数学问题更直观、更有逻辑性的展现出来，有助于打开解答者的思维，拓宽解答思路，提高学习质量。