弹性力学可视化教学的探讨

张琼 杜永峰 程选生

摘  要：弹性力学是高校本科教育中工程科专业的一门较复杂的专业基础理论力学课程，由于引入了大量的数学理论，特别是偏微分方程的边值问题，学生普遍反映该门课程枯燥难学。基于可视化教学的特点，以孔边应力集中为例，利用Matlab数学计算软件把抽象弹性力学问题以图像形式直观化，探讨可视化教学方法在弹性力学教学中的应用，以激起学生学习兴趣，培养学生创新能力。

关键词：弹性力学;偏微分方程;可视化;学习兴趣

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：2096-000X（2019）18-0061-03

Abstract： Elastic mechanics is a more complex professional basic course of theory mechanics in the undergraduate education. Due to the introduction of a large number of mathematical theories， in particular differential equations with boundary value problems， students generally reflect that the course is boring and difficult. Based on the characteristics of visual teaching， taking the stress concentration at the hole edge as an example， the abstract elasticity problems are visualized in the form of images by using MATLAB mathematical calculation software. The application of visual teaching method in the teaching of Elastic mechanics is discussed in order to arouse students' interest in learning and cultivate students' innovative ability.

Keywords： elastic mechanics; partial differential equations; visualization; learning interest

彈性力学是固体力学的一个分支，致力于解决弹性体由于外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移，是土木工程专业的一门理论性与应用性都很强的基础课程[1-2]。通过该课程的学习能够培养学生逻辑思维及分析和解决工程实际问题的能力。由于弹性力学课程引入了大量的数学理论，使该课程具有理论性强、概念抽象、逻辑严谨、直观性差、公式推导多及对数学基础知识要求较高等明显特点[3-4]。而在弹性力学课程学习和讲授过程中，学生普遍反映该门课程枯燥难学，知识点复杂、抽象、难以理解，提不起学习兴趣，是公认的是学生难学、老师难教的课程[5-6]。本文利用MATLAB强大的数值计算和图形显示功能特点[7]，将其引入到弹性力学的教学实践中，可以很方便地绘制出弹性体的应力、形变和位移分布图，将理论知识直观地呈现出来，实现可视化教学，便于学生理解并加深认识，增强教学效果。

一、弹性力学教学现状及存在的问题

弹性力学致力于寻求构件和结构在弹性变形阶段的位移、应变和应力分布，是“材料力学”和“结构力学”中杆件基本变形和受力分析理论的推广及一般化，研究也由单一的杆件扩展到了杆件、板壳和实体。当前，我国高等工科院校的主流弹性力学教材是徐芝纶教授编著的《弹性力学》和《弹性力学简明教程》，以此为基础的弹性力学教学内容和组织体系主要包括弹性力学的基本概念和基本假设、平面问题的基本理论、直角坐标解法和极坐标解法、空间问题的基本理论和解答、薄板弯曲问题以及差分法、变分法和有限元法介绍等。教学从静力学、几何学和物理学三个方面考虑，经过严密的数学推导，建立微分方程和边界条件，把问题归结为偏微分方程组边值问题。

由于偏微分方程边值问题的复杂性，能直接求出解析解的问题非常有限，而教学内容则着重于求解简单典型弹性力学问题的解析解[8-9]。解析解的求解让学生对所研究对象的弹性力学特性有更加全面的认识，对于人们认识问题的本质，发现事物的原理仍起着不可替代的作用，是科学理论进步的一项重要工具。但是这些解析解大多采用逆解法或半逆解法求得，其中应力或位移函数的选取往往比较抽象，技巧性强。教师在弹性力学解析解的讲解中有大量的数学推导和验算，涉及到微积分和与之相关的微分方程等知识，导致学生需要花费大量时间与精力来接受数学推导，使得学生在学习过程中往往迷失在数学推导中，找不到重点，甚至等到课程结束，以至于很多学生学完整门课程都弄不清几个应力分量之间存在什么样的关系，更难以将抽象的力学计算模型与工程实际构件联系起来，进而认为弹性力学理论抽象，数学推导麻烦，课程枯燥乏味。另外，土木类专业所面临的现代工程结构问题大多为复杂的结构体系，求解域的几何形状，边界条件和荷载形式都比较复杂，弹性力学经典解析解法存在很大的局限性，从而使学生普遍认为弹性力学解决实际工程的能力远不如材料力学和结构力学。以上导致学生学习弹性力学的热情不高，学习效果不理想，综合分析解决工程实际问题或从事科研活动的能力不足。

二、可视化在弹性力学教学中的探讨

如何把抽象的弹性力学问题直观化，从复杂而且繁琐的公式推导中走出来，调动学生学习弹性力学课程的兴趣和热情，使学生能够深刻认识弹性力学在工程应用领域的重要性显得尤为重要。弹性力学问题是数学物理方程的边值问题，尽管数学物理方法的公式通常都有明确的物理意义，可是怎么能够使学生从让人眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，恐怕学生会感觉困惑，教师也难免觉得棘手。由此不难理解，为什么许多学生都觉得弹性力学太枯燥乏味了。如何让这些公式中的物理图像展现出来，让这些无言的公式“开口说话”，这正是应关注的问题。显然，这个问题离不开数值计算及其可视化，利用可视化技术可以把抽象的弹性力学问题直观化，进而增加学生对理论的感性认识，提高学生学习的兴趣。

在教学过程中利用有限元软件进行数值计算，通过图表的形式可以直观地展现弹性力学问题的理论解答，学生在听取了基本理论的讲解后能够看到生动形象的图表演示，从而直观地看到理论的表现，既能加深对理论的理解，又能提高其学习的积极性。但常用的大型有限元软件安装以及计算过程对电脑硬件要求比较高，不利于学生课下操作练习。更重要是，多数大型有限元软件开放性不好，学生一般只能看到建模过程和计算结果，而计算过程则是“黑匣子”，导致学生很难深入理解其原理。MATLAB是美国MathWorks公司出品的数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，具有高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来，同时具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化。英美大多数高校都将其引入到本科教学，几乎所有公共机房的计算机都装有该软件。笔者团队成员访学的英国埃克塞特大学，无论是教工、学生还是访问人员，只要用该校邮箱在MathWorks公司网站注册，就可以非常方面地下载安装MATLAB正版软件，教室里经常可以看到本科生利用MATLAB处理课后作业。MATLAB软件包含有各种工具箱，特别是PDE工具箱中的“Structural Mechanics”模块，可以提供偏微分方程的数值解，从而能够快速求得弹性力学问题的解答，提供直观二维或三维空间的可视化图形，与其它有限元软件相比，还能让学生了解其中的计算过程及其原理，特别方便于弹性力学的本科教学。

三、可视化在弹性力学教学中的实践

由于MATLAB的通用性与开放性，弹性力学本科教学中几乎所有的典型问题，如圣维南原理、简支梁受均布荷载、圆环或圆筒受均布压力、小孔应力集中、等截面直杆的扭转、半空间体受重力及均布压力、薄板横截面上的内力等，都可以利用MATLAB对其进行数值计算，并用彩色图表展示节点位移、应变、应力结果。限于篇幅，笔者以“圆孔的孔边应力集中”一节为例[1，10]，展示可视化的教学方案。在正式讲解新内容前首先以笔者承担的一个实际工程作为案例，引出孔应力集中问题。案例是一座大型体育场馆的悬挑大跨度楼板，为了保证其在施工过程的安全以及运营期的振动舒适度，需要对方钢管柱打孔引出传感器导线，这就带来开什么性状的孔、开多大的孔、开孔后柱的力学性能有何变化等一系列问题。把案例抽象为两对边受均匀压力的钢板如图1所示。钢板为单位厚度，长为800mm，宽为200mm，在长对边两侧受到均匀压应力q=100N/mm，弹性模型为210GPa，泊松比为0.3，探讨在钢板中间开不同性状、不同孔径的空口附件的应力分布情况。假定在钢板中间部位开直径为10mm的圆孔，通过MATLAB软件可方便计算并绘制出孔口附件以及沿指定路径的VonMises应力分布，如图2所示。让学生观察应力分布情况并总结应力分布特点。

学生通过对彩色应力分布图的观察和讨论，加之老师适时引导，可以较快地总结出圆孔孔边应力集中的概念与特点。即开孔后应力显著增大，截面尺寸的一个微小变化可导致的应力成倍的增加;应力增大是局部的，应力集中所导致的应力增大效应只表现在截面尺寸突变的附近区域内远离这个区域其应力不受影响。然后再引导学生，如果开孔的直径变化呢，是不是还有同样的规律呢。通过MATLAB软件再展现孔径为15mm、20mm的应力分布图如3所示，学生自然可以得出相同的结论。最后再引导学生，如果不是圆孔，是方孔呢？通过MATLAB软件再展现开孔边长为10mm、20mm应力分布图如图4所示。

教师最后根据小孔受力特点，就可以把带圆孔平板的均匀拉伸问题转化为圆环承受压力的问题，进而通过半逆解法，给出齐尔西解答。利用MATLAB进行数值计算，并用彩色图形展示应力分布情况、应力集中的概念、应力集中的特点以及孔的形状和大少对应力分布的影响。从而能够形象且更具说服力地表现孔边应力集中的概念与特点，同时加之相应的理论分析和推导，使学生留下全方位深刻的印象。从理论到实际工程应用，结合感性和理性的认识形成日后解决工程实际问题或从事科研活動的能力。

四、教学效果分析

在弹性力学的教学实践中，利用可提供简便的建模方法、高速的求解过程的MATLAB，弹性体的应力、应变、位移等结果为彩色可视化图形，吸引了绝大多数学生的注意力，课堂气氛得到改善，讨论比较热烈，有利于学生学习理论知识，得到了不错的教学效果;课后调查和学生的反馈显示，学生对本门课程的兴趣有所提高，同时对可能的性质和意义也有了新的认识，认为所学的理论和推导和工程实践有了联系，认识到了课程的重要性，学习态度有了显著改善;同时也训练了学生发现问题，利用所学基本理论解决实际工程问题的能力。

参考文献：

[1]徐芝纶.弹性力学简明教程（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2012

[2]程选生，杜永峰，李慧.工程弹性力学[M].北京：中国电力出版社，2009

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[4]糜长稳，郭力.面向国际化人才培养的弹性力学课程建设[J].东南大学学报（哲学社会科学版），2014，16（z1）：163-165.

[5]张旭，何尚文，苗同臣.《弹性力学》课程理论体系逻辑结构分析与教学探讨[J].教育教学论坛，2017（49）：90-91.

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[10]郑华升，李静.《弹性力学-圆孔的孔边应力集中》的启发式教学[J].科技创业月刊，2014，27（12）：147-148.