导数在高中数学中的应用

张馨内

摘 要：导数是高中教材中的重难点，在数学的占有着重要地位。并且高考试卷中占有非常高的分值。我们要明确研究导数的必要性，因为研究导数不仅能解决实际生活问题，更在函数问题上发挥着重大的作用。在中学学习过程中，导数经常与函数相结合，学生在学习时能够充分提高自己的分析和动手能力。在这里，笔者将结合导数的典例来向大家细细分析导数在高中数学中的应用。

关键词：思想;化繁为简;应用

一、导数在高中数学中的地位

导数作为高考的重要考点，考察形式很多变，常考的形式有：导数的定义、单调性、极值……而它们通常以函数作为载体来对导数进行考察。数学学习中的许多问题，用初等数学方法难以解决，所以在教学中我们引进了导数，利用导数来研究数学问题的性质，在我们的生活中，导数充分发挥了它的工具性和应用性，为中学数学中的难题带去了新的解决方法和途径。

二、结合导数典例的分析

在高中数学教学过程中，导数的应用非常广泛，下面笔者就将结合几个典型的导数典例来说明导数在各学科中的应用。

导数的定义如下：当自变量的增量x=x-x0，x趋向于0时，函数增量y=f（x）-f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限就说函数f在x0点可导，称之为f在xO点的导数（或变化率）.

[典例1]已知函数f（x）=（a）

当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程。

求函数f（x）的极值。

[分析]在我们研究曲线在某一点的切线的时，有两种情况：（1）求曲线y=f（x）在点P（XO，YO）处的切线方程;（2）已知切点坐标和切线斜率，求得切线方程为y=y0+。而典例1是第一种情况。

（2）由f′（x）=1+ax=x+ax，x>0知：I、当a≥0时，f′（x）>0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值;II、当a<0时，由f′（x）=0，解得x=−a.又当x∈（0，−a）时，f′（x）<0;当x∈（−a，+∞）时，f′（x）>0，综上，当a≥0时，函数f（x）无极值;当a<0时，函数f（x）在x=a处取得极小值−a+aln（−a），无极大值。

在我们碰到这种题型时，我们首先要明确导数的概念，熟练的掌握运用，对于该题，我们采用是第一种求切线的方法，我们要是记住这种解题步骤，因为题目的考察形式固定，解题方法同样固定，当学生掌握了函数的求导方法以及函数导数的变换形式，就能将其拿下。而在求导数的极值时，它的考察形式其实也比较固定，学生要仔细分析题目的解答步骤，要理解解答过程中是怎么从一到二，在这一步中使用的是什么知识点。并且在下次解答时再次运用。

三、导数在学科中的应用

我们说导数在生活中与我们息息相关，在这一部分，我们来细说导数在生活及学科中的应用。

1.物理学

导数在物理学中，最直观的让我们感受到的就是速度和加速度与位移之间的关系。速度和加速度分别代表位移对时间和速度对时间的变化率，瞬时速度表示为v=lim趋向于0），而加速度a=lim，即加速度为速度的导数。

2.实际生活

导数在生活中常常用来计算利润最高、成本最低和效率最高的问题，即最优化问题，例如：在边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱子，当箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？这里就是典型的最优化问题，根据题目的已知条件再结合我们的已学内容，设箱底的边长为x，容积函数为得到V=f（x），再通过导数知识求函数的最值，即最大容积。

以上只列举了两个方面应用，但是导数在生活中绝对不止应用在是这几个方面，学生们应当充分认识并理解该点。

四、学习导数的意义

导数于学生的意义不仅仅只是体现在数学试卷上的高分值，学习导数更重要的是要培养学生们的独立思考能力以及让孩子们形成思维导构，导数的确很难，可是只要抓住导数的本质，一切难关都能迎刃而解。在学习导数的过程中，学生做了大量习题，老师们将题型分类来训练孩子，为的是让学生形成固定的思维方式，通过学习导数，我们希望孩学生能够学会独立思考，拿到问题时学会剖析，将知识点联合起来。做题时，首先要分析该题考察的什么知识点，是求曲线的切线斜率还是求函数的极值……必须要让孩子们首先明确题目的考点，这种思维方式不仅仅要运用在数学上，在各个学科适用性都非常的强。在练习时我们发现，很多导数题可以一题多解，我们通过探究导数的多解，来培养学生的发散思维，提高学生的独立思考能力，这种能力和思维方法各个学科的学习上都起着重大作用。通过不断练习，孩子们才能够学到更多的知识，思维导构才会更加清晰，这种思维导构运用到学习和生活上，孩子们会取得巨大的进步。

结语

导数在生活与学习中有着非常重要的地位，学生在学习过程中要善于总结归纳，将题型与考点归纳出来，攻克导数这道难关。而在未来的学习以及生活中，学生们应当以一种更加开阔的思维去应对导数这个难关，导数存在于我们生活中的方方面面，学生们必须要将自己的眼界放在更加高的地方，这样在面对导数这个难关时，才能更加清晰的找到导数的突破口，一舉将其拿下。

参考文献

[1]唐复求《导数在高中物理中的运用》;2013年全国新课标高考数学卷