一种新型双曲抛物面椅子的数学原理

杨小兵 胡丹 吴朦

摘要：本文研究了一種新型双曲抛物面椅子的数学原理.对于新型椅的构成做了简单阐述，根据新型椅的特点，抽取数学模型，确定了椅子所在的线面方程，对其进行了数学描述.对于椅子的稳定性，利用力矩平衡法对椅子的重心进行探讨，并对该方法进行了分析.最终运用Matlab软件绘制了椅子的内部形状，利用Maple软件模拟了椅子的动态形成过程.

关键词：马鞍面;椅子模型;动态变化;重心

中图分类号：O29  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）02-0008-03

椅子的造型主要以线和以体为主[1].随着经济和科技的发展，人们对椅子有了更高层次的追求，表现为对椅子各方面的创新.早在20世纪50年代设计大师Bertoia设计的以线为造型的“钻石椅”[2]，它是用一张金属网作为椅背焊接而成，简单耐用却不失华美.再如20年代，荷兰家居设计师Gerrit Thomas Rietveld设计了以体为造型的具有立体形态的红蓝椅[3]，它是由几何形态的木板组合而成，整体的立体形态和鲜艳的色彩交相辉映.

椅子的创新除了造型设计，还涉及椅子的模拟与仿生原理[4]，如1936年西班牙Salvador Dalia就设计了一种类似于嘴唇型的沙发[5]，具有超现实主义风格;1954年，Sori Yanagi设计的酷似蝴蝶的凳子[6]，它由两片弯曲定型的纤维板通过一个轴心连接而成;1956年美国Geoge Nelsom设计的琴键型椅子，将音乐融入了家具设计中.这些椅子的设计不仅仅是物质创新，还是人类精神文明的创新.

目前，美国设计师Carlo Aiello也设计了一种新型的抛物线椅，这是一种以线为造型的椅子，它充分运用了直纹面的设计理念，用不锈钢网制作而成，其几何形态十分优美.其创新之处在于，整体综合了马鞍面和人体工程学[7].由于国内外的椅子只有少部分是运用了马鞍面的理念，因此研究这类椅子的构造原理、动态生成及重心等对椅子的创新显得尤为重要.

1 椅子的组成部分

该设计来源于双曲抛物面的数学分析及其最小表面厚度和长跨距的强结构特征.椅子的外部是由三个三角形组成的一个轻质支撑框架，椅子的内部是由两个高度对称的双曲抛物面（马鞍面）合并成一个单一的表面作为椅座和靠背.其表面是由一个个开放的不锈钢网络交织而成，可以带来多孔的视觉陈述，而光线和空间的流动与周围环境融为一体，给人一种视觉的冲击.简约而不简单，深受人们喜爱.通过查阅相关资料，可知椅子的实际参数[7]为：高h1=94cm，长L=102cm，宽d=89cm，座位高h2=43cm.如图1所示：

2 提取抽象的数学模型，建系作图

如图2所示，已知这张椅子左右结构高度对称，且椅子中两个马鞍面共用平面OAA1.以椅子的后落地点作为原点O，y轴过BB1中点，Z轴过靠背顶点C，建立空间直角坐标系.如图2所示：

根据最能引起美感的比例设计，可取E为线段OA的黄金分割点，则有：

椅座马鞍面方程为：

z=-0.067（x2+y2）+0.057xy

椅座和靠背的方程并非标准的马鞍面方程，需要其标准方程经过旋转、平移，这里只给出了椅座的方程，靠背的马鞍面方程同理可求，计算中其结果四舍五入，保留到千分位.

通过抽取抽象的数学模型，对椅子建立了空间直角坐标系，根据椅子的特点及各组成部分之间的关系，利用实际参数和一个巧妙的比例对椅子支撑框架、椅座和靠背进行分析.求解出这些方程为后面椅子的仿真模拟作铺垫.

3 椅子的重心

不论物体如何放置，其重力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心[8].确定物体重心的位置在产品设计、机械制造、工程上有着非常重要的意义，而椅子重心的位置就对其使用的稳定性和舒适性有着直接的影响.目前测量物体重心的方法有力矩平衡法、质量矩守恒、引力法、悬挂法等[9].本文主要采用力矩平衡法求椅子的重心，并对这种方法进行了分析.

3.1 力矩平衡原理

力矩：在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向，力矩可以分为力对轴的矩和力对点的矩，力矩M的计算为：

当作用在物体上多个力的合力矩为零时叫作力矩平衡，有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零.

3.2 力矩平衡法求椅子的重心

用力矩平衡法求椅子重心，首先需要测量椅子的重量，其次测量个支撑点受力大小，然后设出重心坐标结合力矩平衡即可求出重心[10-11].本文的计算结果采用四舍五入，经查阅资料，知道该椅子的质量为5kg，以D2点为原点，建立空间直角坐标系，如图3所示：

运用倾斜法求z的坐标[9]，保持B、B1支撑点的状态不变，将O点抬高60cm，此时椅子与水平面的夹角可以近似为？琢=？仔6，传感测力器测得O、B、B1点示数分别为：

由式（1）～式（5）可知重心F（34，0，43），此时椅子的重心刚好落在椅座的马鞍面上，如图3所示.根据三角形重心坐标，可知底面三角形重心为G（34，0，0），即椅子的重心刚好与椅子框架落地点所组成的三角形的重心重合.这样的高度吻合，可见该椅子的设计十分巧妙.该椅子上重下轻，重心较低.当有人坐在上椅子时，使得重力对支点产生力矩，即抵抗力距.由于各支撑点与原点的距离不断增大，抵抗力矩也随之增大，最终实现和外力力矩的平衡.此时，椅子的重心有所降低，重心的投影仍与底面三角形的重心重合，加上椅子的支撑框架为三角形，充分体现了椅子的稳定性.

结果分析：用力矩平衡法求椅子的重心操作简单，结果较为准确，是一种测量重心的好方法，但是需要传感测力器.另外，查阅资料可知该椅子的材料采用304号不锈钢，且密度均匀为7.93g/cm3理论上我们可以利用质心去近似计算椅子重心，该方法不需实验仪器，只需确定积分区间和椅子体积，也不失为一种方法，这就需要我们在面对具体的问题中，采用适当的方法.

4 椅子的动态生成过程

研究椅子的生成过程，对于椅子的设计尤为重要.这里采取由局部到整体的研究方法，要研究整个椅子的动态生成过程，就必须清楚椅子每一部分是如何生成过程.首先运用Matlab软件绘制了椅座靠背连一起的情况，如图6所示，再利用Maple软件对椅子的仿真模拟得到如图7的结果.

5 結语

本文通过建立椅子支撑框架直线方程模型和椅座、靠背马鞍面方程模型，考虑椅子的稳定性，采用力矩平衡法对椅子的重心进行计算，并将这种方法进行分析，最后利用Matlab软件、Maple软件绘图，直观地描述了该新型椅子的数学原理和动态生成过程.

参考文献：

〔1〕骆佳，李永春.浅谈椅子的创新设计[J].美术大观，2014（07）：125.

〔2〕罗威，周小凌，徐伟.西方社会椅子发展史及其案例分析[J].家具，2015，36（02）：78-83.

〔3〕吴萍.论风格派绘画与设计[J].文艺生活·文艺理论，2009（8）：26-26，32，2010.

〔4〕谌锴.基于仿生原理的坐具设计研究[D].中南林业科技大学，2015.

〔5〕田兆耀.形式多样——简析西方当代椅子仿生化造型设计[J].美与时代（下半月），2003（9）：51-53，2014.

〔6〕姜玉婷.浅谈仿生设计在家具设计中的应用[J].艺术品鉴，2017（4）.

〔7〕http：//www.dolcn.com/archives/5577.

〔8〕任皎.人体工程学在家具设计中的应用[J].包装工程，2014，35（18）：50-52+63.

〔9〕郝桐生.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2006.

〔10〕贾恒信，李明波，吕江涛.基于力矩平衡原理的物体重量重心测量系统的研究及应用[J].衡器，2012，41（08）：5-9.

〔11〕曹琦，田婷婷.基于力矩平衡法的飞机称重系统设计[J].中国科技信息，2015（22）：33-34+30.

〔12〕唐金元，王翠珍，王波，周洪霞.飞机重心位置的计算分析方法[J].航空计算技术，2016，46（03）：72-74.