自由曲面网格结构力学性能分析

施 旋，谢中友，徐 培

（铜陵学院建筑工程学院，安徽铜陵 244000）

人类对自由曲面的研究和探索有着很久的历史，从古罗马发明单拱、十字拱和球拱，给世界带来了优美自由曲面的概念后，艺术与结构的结合冲击着整个欧洲。十九世纪中叶，钢筋混凝土的大量使用使得曲面建筑得以兴起。到了20世纪的时候，多种组合形式的双曲率混凝土[1]由西班牙著名建筑师Candela F设计成功，突破了传统的曲面形式，对建筑自由曲面的造型有了极大丰富。在著名建筑师Isler H对于薄壳形态[2]发展道路的坚持努力下，研究得出了40多种新的曲面形态，这些曲面广泛应用于各类建筑当中，丰富了建筑类型，取得了丰硕成果。随着人们对建筑美观的注重，自由曲面因为自身的优美而获得极大的重视。特别是以“不均匀有理B样条曲线造型系统”（NURBS）为代表的三维建模技术在计算机上的应用[3]，打破了传统的局限，使得自由曲面结构的形态能够被建筑师自由控制。

曲面拟合方法和基于曲线变换技术的曲面生成方法[4]是自由曲面几何造型的两种主要方法，其中曲面拟合方法操作更简便，适用范围更广。我国著名的学者崔昌禹教授提出高度调整法，将有限元法作为基础，通过对自由曲面高度的微分计算，对自由曲面的高度进行调整，从而得出最合理的自由曲面结构[5]。高度差对应的结构应变能的计算是利用高度变化参数来进行，该方法只能计算相对比较简单的弯曲效应小、受力效应高的曲面结构。Winslow教授开创了基于遗传算法[6]的计算模型，该模型主要调整设计变量为两个方向，通过对网格杆方差的计算得出受力均匀的曲面。遗传算法能很好地求解结构的最优解，但对于计算量较大时存在短板。梯度法[7]是通过对函数自变量x求导，找出自变量x顺着函数负梯度的方向变化，从而求出目标函数f(x)的最小值。以找到目标函数单调递减的方向为基础，通过它建立自由曲面形状结构与其控制变量间的关系，从而可以根据要求对自由曲面进行调整。相较于前两种方法，梯度法更容易得出控制点和全因子的合理取值，通过几何或数值方法可以方便地创建自由曲面形状，且只涉及一阶求导，更容易进行操作。本文以NURBS为基础，采用曲面拟合技术建立自由曲面数学模型，对梯度算法进行优化，分析构件模型的力学稳定性。

1 自由曲面结构形态模型的构建

自由曲面模型以计算机NURBS软件建模技术为基础，在长度为50m和宽度为50m的范围内建立自由曲面模型，自由变化的方向定位高度，曲面模型采用混凝土材料，弹性模量设定为E=2.5×104MPa，设定泊松比v=0.2，厚度t=20 cm。模型如图1所示。

NURBS自由曲面以B样条曲面为基础而形成。假设三维空间它的参数定义：u、v定义为两个方向的参数，是u、v平面上参数u、v的坐标，di,j是曲面控制点在u、v方向的基函数。

其中Wi，j是控制点的权重因子。

图1 自由曲面模型图

图2 自由曲面和控制点之间的关系

2 自由曲面的空间形成

通过（3）式形成的自由曲面结构并不能满足实际需求，因此需要优化相应的参数，对自由曲面结构进行合理的优化，通过优化后建立的自由曲面结构，才能使得研究具有实际应用意义。优化结构参数的基本思想是通过改变控制点的坐标和权重[5]，使应变能最小时获得较为合理的自由曲面。优化思想理念是对自由曲面的单一参数进行优化，需采用梯度法进行处理，这样经过多次逐步优化就形成合理的且应变能较小的自由曲面网格结构[3]。自由曲面结构应变能为

3 结构的稳定性能分析

3.1 理想模型下的自由曲面力学性能分析

前文介绍经过数学参数建立的模型，并不能适应实际的需求，需要对其进行参数优化，形成优美形态的自由曲面网格结构，图3～图5是该曲面的具体分析模型图。图3是模型1的曲面以受薄膜压力为主；图4中模型2的区域比例以拉、弯应力为多，受压部分的区域面积所占较小；图5中模型3曲面拉、压、弯曲区域比例相当。通过对图3～图5优化前后的形态模型分析，得到图6及图7的结构优化荷载位移图，可知结构受到拉压力为主的时候，结构极易发生破坏，且发生破坏之后，荷载-位移曲线的加速度迅速减小。弯曲压力占比重大时，单元节点的位移处于较大数值，结构处于不稳定的状态。拉应力及弯曲应力的有利作用，能够消除自由曲面薄膜拉力与弯矩比重较大对结构带来的不稳定性问题。

图3 模型1优化前后的自由曲面网格结构形态

图4 模型2优化前后的自由曲面网格结构形态

图5 模型3优化前后的自由曲面网格结构形态

3.2 存在缺陷条件下的自由曲面力学性能分析

对自由曲面进行分析时，影响结构承载力和稳定性重要的因素之一就是缺陷。缺陷越大，自由曲面的承载力和稳定性越差[8]。现施加一个缺陷在优化后的自由曲面上，缺陷为L/1 000～L/200，其中L表示跨度，图8是不同模型下施加的缺陷对应的屈曲荷载变化，模型1，2，3与前文一致。两者临界荷载比值是指考虑缺陷和不考虑荷载缺陷下的比值。

通过图8可以看出：当薄膜压力作为主要受力作用于曲面结构时，（模型1）缺陷和屈曲荷载的关系呈负相关性；当薄膜拉力与弯矩比重在曲面结构中的值较大（模型2）时，缺陷和屈曲荷载的关系呈负相关关系，实际案例中此情况发生的概率很低。当受压、受拉与受弯在曲面结构中比例接近时，屈曲荷载对缺陷的反映灵敏度低。

图6 优化前后曲面内力拉力和弯曲压力应力云图

图7 优化过程荷载-位移

图8 不同模型下施加的缺陷对应的屈曲荷载变化

4 结论

综上所述，通过采用曲面拟合技术并以NURBS为基础建立自由曲面的数学模型，运用优化的梯度算法，对数学模型进行优化，优化后结合三种施加荷载的模型对理想状态和存在缺陷两种状态的自由曲面结构进行相应的受力分析。分析结果显示：对于理想状态的自由曲面结构，其中理想状态下以受薄膜压力为主的结构发生极值点失稳，缺陷增加导致屈曲荷载降低；当薄膜拉力与弯矩比重较大，结构具有屈曲后强度，缺陷增加易导致屈曲荷载增加；当结构受拉、受压以及受弯区域面积比例相当时，曲面对缺陷不敏感。研究结论对自由曲面的稳定性研究及实际工程设计具有参考意义。