人是如何认识和表达空间的

◇史宁中

中国传统教育注重“双基”，要求基础知识扎实、基本技能熟练。2005年，在启动《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》修订时，我就在思考：数学到底研究什么？要求学生学习数学到底要培养什么？本世纪初的课程改革提出三维目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观。其中关于“过程与方法”的描述，使用了“经历”“体验”等动词，但是没有明确经历过程所要达到的目的是什么。事实上，所有这些思考，都指向一个目标：教育要从“以知识为本”转变为“以人为本”。

一、基本活动经验和基本思想的形成与发展

单纯强调“双基”的教育理念是以知识为本，因为“知识本质上是一种结果，可以是思考的结果，也可以是实践的结果，所以以知识为本的教育是结果的教育”［1］。虽然知识是重要的，但以知识为本的教育缺少了对智慧的培养。智慧表现在过程中——学生玩的过程、解题的过程、思考的过程以及想象的过程等，在过程中表现出的事物必须通过有过程的教育。因此，未来的、以人为本的教育应该是“结果+过程”的教育，引导学生在掌握知识和技能的同时，积累基本活动经验。基本活动经验包括两类：一是思维的经验，二是实践的经验。这就是“过程”教育所要达到的目标，通过“经历”“体验”培养学生会想问题、会做事情，因为会想问题、会做事情依赖的不是教师的“讲授”，而是学生自己的“感悟”。当然还需要数学的根基，这就是数学的基本思想。

基于这样的思考，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，把传统的“双基”变成了现在的“四基”，在基础知识和基本技能的基础上，加上基本思想和基本活动经验。

现在，我们强调学生核心素养的发展，关注数学学科在人的素养发展中起到的作用，也就是说，通过数学学习，学生应当成长为什么样的人，这就是数学教育的终极目标：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。核心素养的形成与发展也离不开经验的积累，如果在教学中，注重了以人为本，注重了“结果＋过程”的教育，那么学生的核心素养一定会得到发展。

二、对空间的抽象能力的培养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》是这样描述数学的：“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。”

这里提到了数学是对现实世界的抽象。对于数学教育而言，更为基础的问题是：人为什么能够抽象？是如何进行抽象的？这不仅是哲学认识论的问题，而且涉及数学教育的起点及数学教育何以可能。

要讨论人对空间的抽象，我们需要思考：学生是如何形成关于图形与几何知识的？学生学习的起点是什么？毋庸置疑，一切知识都是源于经验。但是，人对空间的感知是从零开始的？还是从一些与生俱来的本能开始的？这曾经是哲学争论的焦点，或许只有到现在才能回答这个问题。从上个世纪末开始的表观遗传学、脑科学以及认知神经科学的研究成果表明，人认识世界的先天本能是存在的，本能的充分表达需要后天相应经验的刺激。对空间的认识，我想人对距离“远近”的感知是一种本能，通过相应的数学教育可以拓展到对物体大小的感知、对线段长短的感知。这就是图形与几何教育的起点，也是教育的核心。对大小的感知涉及度量，包括“距离”“长度”“面积”“体积”。

数是对数量的抽象，比如把2 匹马、2 个苹果等抽象为数2。数量的本质是多少，与此相对应，数的本质是大小。对数量“多少”的感知也是人的本能，是数与代数教学的起点。对距离“远近”的感知也是人的本能，是图形与几何教学的起点。几何的本质在于度量，度量的关键在于两点间的距离，这样，就可以通过数轴把几何的度量和数联系在一起，使得数学成为一个有机的整体。所以，小学教师应当建立一个基本观念：数和形的关系是通过数与长度的对应表达的，使得数学融为一体，通过几何建立直观，通过代数进行表达。

什么是空间？空间是三维的。《吕氏春秋·慎大览·下贤》曾记载：精充天地而不竭，神覆宇宙而无望。这里谈到的“宇宙”，东汉高诱的注解是：四方上下曰宇，以屋喻天地也；往古来今曰宙，言其神而包覆之，无望无界畔也。也就是说，世界的广度为宇，而四方上下就是三维空间，宙是指时间。

关于空间是三维的，亚里士多德在《论天》中也提到：连续乃是可以分成部分的东西能够永远再分，物体就是在一切方面都可分的东西。大小如在一个方面可分就是线，在两个方面可分乃为面，在三个方面可分则是体。除了这些，再无其他大小，因为三维就是全部，三个方面就是一切方面。

空间抽象的核心，或者说图形抽象的本质，就是把三维空间的物体表达在二维平面上。图1表明，图形抽象是源于实践、源于生活的；图形抽象也经历了从具体到一般的过程，最终抽象成为具有象征意义的平面图形。

图1 图形抽象的过程

几何学源于古埃及。古希腊历史学家希罗多德在《历史》一书中记载：埃及第一次有了量地法，而希腊人又从那里学到了它。英语geometry源于古希腊语，在希腊语中是土地测量的意思，是由希腊语中的土地和测量复合而成的。

中国古代是如何研究空间的呢？勾股定理出于《周髀算经》，该书开篇记载了周公与商高的问答。周公问：昔者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出。商高答：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。这段话的意思是，周公问：古代包牺（伏羲）是如何制定历法的呢？天高不可攀，地远不可量，他是如何知道天有多高、地有多广呢？商高答：数出于天圆地方，自然之形。圆出于方，方出于直角，直角出于数的自乘。基于数的自乘，可以得到：“句广三，股修四，径隅五”，就是我们通常说的勾三、股四、弦五。

商高的回答蕴含了勾股定理与天有多高、地有多广的关系。《周髀算经》记载着周朝关于髀的计算方法，开篇就谈到勾股定理是为了得到直角，使表（髀）垂直于地面。中国古代认识地理方位的方法是“土圭之法”，即“立竿测影”的方法。《周礼·地官》记载：平台上竖立 8 尺之表（髀），圭 1.5 尺。意思是说在平台上竖直立一根高8尺的竿子，进行测量。早在夏朝，人们就用“土圭之法”测量日影的长度，夏朝人利用竿子，每天中午测量太阳的影长，比较一年中影子最长和最短的时间，得到了冬至和夏至。冬至和夏至的日影长相加除以2，得到春分或秋分。人们又发现夏至这一天的影长每隔四年才重合一次，四年一共有 1461 天，用 1461 除以 4 得到一年是天，这也说明了分数在这个时候就已经出现了。

古代人认识地球的周长与太阳的高度，都是通过日影。对于日影的长度，存在一个有趣的关系：古希腊人认为地球是圆的、太阳很远，可以产生影子；古代中国人认为地是平的、太阳不远，也能产生影子。两种想法不同，但测量影子得到的结果却相差不大。

古希腊的亚历山大图书馆中记载，被西方誉为“地理学之父”的埃拉托色尼，发现夏至这一天，阿斯旺（点A）在北回归线上、立竿无影，而在亚历山大城（点B）则测得 7.5 度的日影，如图2所示。据此，埃拉托色尼认为地球是圆的、太阳光平行照射在地球上。他又派人测量了亚历山大城到阿斯旺的距离大约为5000 希腊里，大约折合现在的800 千米，所以得到地球周长800÷7.5 360≈40000（千米）。

图2 测量地球的周长

中国人过去认为太阳很近，所以希望计算的是太阳的高度。因为番禺是在北回归线上，他们知道，夏至那一天正午，在番禺立竿无影，如《吕氏春秋》记载：夏至日行近道，乃参与上……日中无影。据《周髀算经》记载，周人在夏至那一天，利用“土圭之法”在咸阳立8 尺长的表，测得日影长为1.5 尺。于是，周人规定番禺到咸阳两地的距离为1.6 万里，然后利用正切的思想，也就是相似直角三角形两个直角边之比为一个常数，可以计算得到，太阳与地球的距离大约 8 万里，如图3所示。周朝的一里大约折合现在的80 米，关于这个问题的详细讨论，可以参见我的一篇文章《宅兹中国：周人确定 “地中” 的地理和文化依据》，发表在《历史研究》2012年第 6 期。

图3 中国古时候确定太阳的高度

三、如何在教学中培养空间观念

数学抽象出研究对象以后，主要是认识这些研究对象的性质、关系、规律。在认识的过程中，帮助学生建立直观理解数学、把握事物本质，积累把握共性、分辨差异的思维经验，养成利用图形理解问题的思维习惯，是非常重要的。这样的培养宜早不宜晚。

在培养空间观念的过程中，需要同时关注几何直观。空间观念是把三维空间的物体抽象成二维图形，研究的问题主要是位置关系、变化规律；几何直观是利用图形认识问题、启发思路、预测结果。二者相辅相成、不可或缺。

在空间观念的培养上，要遵循学生的认知规律，关注学段和知识的划分。刘鹏飞在他的博士论文《义务教育数学课程学段划分研究》中提出建议：“义务教育阶段数学可按照三个阶段安排：第一学段（一、二年级）为‘数学感悟阶段’；第二学段（三、四、五年级）为‘具体抽象阶段’；第三学段（六、七、八、九年级）则是‘抽象模型阶段’。”这项研究有一定价值，从学段与认知的角度，小学生空间观念的培养可以分为如下三个阶段。

一至二年级学生应该认识现实生活中的物体，感悟三维空间，把握共性、分辨差异。学生能把空间的感悟抽象为上下、左右、前后，感受物体不仅有高低、胖瘦，还有前后。以圆柱和长方体为例，因为学生容易发现差异，不容易发现共性，所以教师要着重引导学生体会圆柱和长方体的共性是什么。可以尝试让学生搭积木，理解空间的表达不仅有高低和胖瘦，还有前后，可以借助分类活动体会共性和差异。一至二年级学生需要在分类活动中学会自己制定分类的标准，让学生懂得要按制定的标准进行分类。

三至四年级学生应该从三维空间的图形中，把点、线、面这些基本概念抽象出来，知道这些概念的性质，即两点决定一条直线，三点决定一个平面；知道这些概念的关系，即点在线上、线在面上、面在体上；感悟度量的本质，即两点间的距离；进一步培养学生的空间想象力，建立几何直观。设计一些活动是非常重要的，如让学生拆盒子：三年级学生会把三维的盒子的展开图表达在二维平面上；四年级学生会从二维的展开图想象出三维的盒子，从而建立三维空间和二维平面之间的联系。这样的直观对未来学习立体几何、解析几何非常重要。

五至六年级学生需要感悟几何度量的重要性，知道为什么要设置统一的度量单位，学会基于两点间距离的各种度量方法，会度量长度、面积、体积、角度，并且基于度量重新认识空间。例如，如何理解基本事实“两点之间直线段最短”，如何从这个基本事实出发推导出三角形两边之和大于第三边。再如，通过体积的计算，知道对于一个给定的矩形，以宽为轴旋转得到的图形体积大于以长为轴旋转得到的图形体积。

基于这样的思考，图形与几何的教学也可以相应地划分为三个阶段。