模型思想教学：在不同情境中建构与感悟——基于一道例题变式教学的感悟

☉江苏省宿迁市实验学校 张 诚

数学模型是学生分析问题和解决问题的重要工具.在初中阶段，帮助学生感悟模型思想是数学教学的重要任务.与其他数学思想一样，模型思想同样是“蕴含在数学知识的形成、发展和应用过程之中”.因此，数学教学应把握住数学知识形成、发展与应用的每一个环节，让学生体会和感悟数学模型的价值.在近期的一次教学研讨活动中，笔者就依托一幅图建构了多个不同的问题情境，让学生反复经历建构与求解模型的过程，对学生感悟“共边直角三角形”这一常见数学模型起到了很好的推动作用.现呈现其中的片段，并谈一些感悟，希望能给您带来启示.

一、教学片段简述

1.例题探索

教师投影例1，并请学生自主探索解题思路.大约3分钟后，教师组织全班交流.

例1如图1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求AB.

师：请一名同学说说解题的思路.

图1

图2

生1：过点C作CD⊥AB，垂足为D（如图2），再在Rt△ADC和Rt△BDC中分别求出AD和BD，就可以求出AB的长了.

师：非常棒！你是怎么想到过点C作垂线段CD的？

生2：题目给出了“∠A=30°，∠B=45°”，作垂线段CD，就可以将这两个特殊度数的锐角都放到直角三角形中去.

师：太好了！通过一条垂线段，我们把一个看似复杂的数学问题，转化成了解“两个共边直角三角形”的问题.接下来，请大家自己试着求一求AB.

（学生自主解答，教师找出存在问题的过程并进行了展示与点评，进一步强调了“‘共边直角三角形’是化解很多与三角形相关的问题的基本模型”）

2.变式训练

教师首先投影例2（变式题1），并要求学生读题、思考，寻求解决问题的方法.

例2A、B、C三个村庄在地图上的位置如图1所示，已知∠A=30°，∠B=45°，A、C两村相距8km.求B、C两村之间的距离.

两分钟后，教师组织学生交流解题思路.

师：如何求B、C两村之间的距离？

生3：和刚才的例1一样，还是过点C作CD⊥AB于D，将∠A和∠B放到两个直角三角形中先求出CD，然后在Rt△BCD中可以求出BC的长.

师：很好！CD这条垂线段起到的作用与例1相同吗？

生4：相同.事实上，这个题目只是给前面的例1套上了一个生活情境.解题时，直接从生活情境中抽象出数学问题“如图1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求BC”，这与例1实际上是差不多的.

师：你的观察与分析非常仔细.看来，例1中的“共边直角三角形”在例2这种实际问题中也能发挥作用！在下面的问题中，还需要建构这种“共边直角三角形”吗？

教师投影例3（变式题2）.

图3

例3如图3，海面上有一轮船，从A处测得海岛C在其北偏东60°方向上，当轮船航行到A处正东方向100海里的B处时，测得海岛C在其西北方向上.此时轮船距离海岛C有多远？

在学生读题、思考后，教师组织交流.

师：谁来说说这道题的思路？

生5：我觉得解法和上面的两道例题差不多.

师：具体说说.

生6：和例2一样，这也是一个实际问题.我们可以将其抽象为：“如图3，在△ABC中，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AB=100海里，求BC”.

师：真不错！你能在短时间内将这么丰富的生活情境抽象为简洁的数学情境，不简单.那接下来怎么求呢？

生7：和前面的例题一样，还是过点C作CD⊥AB于D，将∠A和∠B放到两个共边直角三角形中.此时，BC=CD.只要能求出CD，就可以求出BC.师：那怎么求CD呢？生8：列方程求解.我们可以设CD=x海里，则AD=海里，BD=x海里.由AB=100海里，可得方程x+x=100.解这个方程就可以求出CD的长了.

师：真不错.看来，我们不仅可以通过解共边直角三角形来求线段的长，有时还可以通过方程模型求线段的长.请同学们自主解答例3，并在小组中交流各自的解题过程.

3.阶段归纳

师：通过这一组例题的分析与解答，你们有哪些收获？

生9：建构共边直角三角形是解决很多数学问题的途径.就算是实际问题，我们也可以将其抽象为数学问题，然后利用共边直角三角形解决.

生10：构造共边直角三角形的基本方法是作垂线段，而这条垂线段往往是两个直角三角形所共有的边.

生11：在应用共边直角三角形这一模型解决问题时，有时可以直接计算得到结果，有时可以借助方程模型来求解.

…………

在学生陈述过程中，教师适时板书，最终形成如下网络图：

图4

4.跟进思考

图5

师：如图5，将上面例1中的图逆时针旋转90°得到图5，你能给它创设一个生活情境吗？大家课后试一试，并尝试给出解决问题的思路和过程.学生画图并记录教师提出的问题.

二、片段简析

本节课中，模型思想的教学是从例1开始的，这是一道简单的几何题，对于这类纯数学情境的问题，在前面的学习中学生已经积累了解决的经验.因而，在探索这道例题的解法时，仅通过简单的对话与交流，学生便给出了思路及过程.在建构辅助线和呈现解题过程时，非常顺利地唤醒了学生应用“共边直角三角形”解题的经验，为进一步感悟模型思想夯实了基础.接下来的例2和例3是例1中的图形的再应用，教者给图1设计了递进式的生活情境，将“作垂线段，建构共边直角三角形，计算或列方程求解”的一般思路蕴含在两道例题中，学生在情境抽象与思路探索中，反复感知到“共边直角三角形”这一模型的应用价值，并进一步体会到不同数学模型间的联系.这样的教学历程，学生会随着对这一数学模型的反复抽象和应用，不断被强化和巩固，这对他们深入体会模型思想的应用价值有着十分重要的意义.

三、几点感悟

1.解答原型问题，经历建模过程

数学模型蕴藏于数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括.因而，数学模型的教学不仅要紧扣数学概念的形成过程，还要特别注重让学生从数学知识的应用过程中加以体验，尤其是对原始数学问题的深度探索对学生感知与应用数学模型是最为重要的.事实证明，只有通过这种反复的建构与应用，学生才能真正感悟到数学思想的应用路径和实际价值，从而使之逐步固化到学生的认知结构中，成为充分遗忘后最后留下来的数学知识.以本文中的教学片段为例，例1是蕴含“共边直角三角形”模型的原始数学问题.教学时，教师特别注重对例1的教学，先后安排了自主探索、思路分享、模型抽象、展示点评、方法归纳等活动，让学生在此过程中体会模型的抽象、建构和应用过程，这样的设计与实施无疑为学生更进一步感悟模型思想夯实了基础、积累了经验.

2.递进变式探索，强化应用体验

数学模型教学，从原型问题中获得模型仅仅是开端.为了让学生真正认识到数学模型的价值，在实际教学时，我们应创设不同的问题情境，让学生反复经历包含同一模型的不同数学问题的求解过程，从而真正体会到数学模型具有广泛的应用性.在设计这些数学问题时，我们应努力让这些问题之间具有明显的递进关系；在教学这些问题时，要由易到难逐步呈现这些问题，并通过这种递进变式的不断探索，不断加深学生对课时模型的认知.显然，本文中所述片段，正是基于这一理念之上的精巧设计，三道例题都包含了“共边直角三角形”这一数学模型.教师在教学时，将三题逐一呈现，使学生在反复建构和应用“共边直角三角形”模型过程中，不断加深对这一模型的认识，及其在解决与三角形相关的数学问题和实际问题时的价值.在本节课的最后，笔者还安排了学生跟进思考：给由图1变换所得的图5赋予一个生活情境并解答.显然，这样的要求明显高于上述三题，具有明显的递进性，学生在课后分析与解答时完全可以借助本节课所获得的模型和解题的经验.

3.注重网络建构，实现思想渗透

数学教学，知识的结构化是一项较为重要的任务.数学模型教学，同样应注重知识体系的建构.教学数学模型，课时模型固然应成为课时教学的重点，但我们绝不能只关注到课时模型这一单体模型的教学，而应将建构与课时模型相关的模型网络作为本节课的重要任务.在整个教学过程中，教师应时刻做好与课时模型相关联的知识的呈现与板书，在学生深入体会到课时模型与相关模型的联系后，通过箭头、方框等符号将其链接起来.在本节课上，笔者所述的这些做法都得到了很好的体现.在环节1“例题探索”中，笔者基于学生构造的辅助线和模型在黑板上板书了网络图（如图4）中的“数学问题”“作垂线段”“转化”“共边直角三角形”等词语及后两个方框之间的箭头；在环节2“变式训练”中，由于例2和例3都是实际问题，解答时需要先抽象后建模，因而，我又板书了“实际问题”“抽象”和前两个方框之间的箭头；在环节3中，将“直接计算或列方程求解”及其上面由方框1到方框3的箭头画出.随着知识网络图的逐渐完善，学生的认知会与教学过程同步，对知识的网络化是十分有利的.