数形结合的误区与对策探析

摘 要：数无形时少直觉，形少数时难入微。为了培养学生的数形结合意识，要引导学生明察数形结合的误区，明确克服误区的有效对策，做好数形转化，完善数学思想，增强解题的精确性、严密性。

关键词：数形结合；误区；对策

数形结合是数学中一个重要思想，我国著名数学家华罗庚就强调“数无形时少直觉，形少数时难入微；数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”。我们要引导学生明察自己在学习中运用数形结合的误区，科学使用“数形结合”，以形助数、以数辅形，做好数形转化，增强解题的精确性、规范性、严密性，完善和发展自身的数学思想。

一、 运用“数形结合”思想中的常见误区

（一） “形”与“数”不相匹配、不精确

数形结合必须“数”与“形”匹配，方能相得益彰，实现以形助数、以形想数，促进数形转化。但有的学生在绘制图形时的不精确，就会导致借助图形解读“数”时出现错误。

例1：方程sinπx=x4的解的个数是（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解：将方程的解转化为函数图像的交点。在同一平面直角坐标系中画出y1=sinπx和y2=x4的图象（如图）。

已知y1与y2在第一象限共有4个交点，又因为两者都是关于原点对称的奇函数，所以可得在第三象限，两者也有4个交点。所以y1与y2共有8个交点，所以根据图像得答案为D。

该生之所以错解此题，就是因为在画函数图像时由于观察不仔细或者图像不够准确，使得函数图像画错，并且在错的基础上，忽视了原点也作为两者交点的事实，最终得到了错误的答案。

（二） 忽视题目条件，“数”转“形”不等价

数形结合，就是用数表示形，用形显示数，两者必须是统一的。有些学生在运用数形结合时，忽视了题目中的相关条件，片面地进行数形结合或转化，结果导致数转形不等价而解题错误。

例2：已知sin2α+sin2β=2sinα+2sinβ-1，求t=sinα+sinβ的取值范圍

解：先把已知等式化为（sinα-1）2+（sinβ-1）2=1。

令u=sinα，v=sinβ，则（u，v）的轨迹为圆心为（1，1），半径为1的圆。函数t=u+v即函数v=-u+t。该函数与圆必有交点。故由图像可知t的取值范围为2-2≤t≤2+2。

该生错解原因就在于“在令u=sinα，v=sinβ时，忽视了u和v的取值范围，即-1≤u≤1，-1≤v≤1”，从而导致作图出现错误，因此得到错误答案。

（三） 盲目使用数形结合，设置解题障碍

数形结合的目的是为了让解答试题更为简洁、更为准确，并非为了运用原理而进行“数形结合”。有些学生认为所有可以使用数形结合的试题都需要运用数形结合的原理，就造成在解题中盲目使用数形结合，反而导致解题更为麻烦，影响解题效率甚至解答质量。

例3：求y=（x2+2）/（x-1）的取值范围。

解：由于函数的形式与斜率公式较为相像。故取点a（x，x2），点b（1，-2）。则y为两点之间的斜率。可知点a在函数y=x2上，所以作出函数图像，题目转变为求函数y=x2上的动点与点b（1，-2）的连线的斜率的变化范围。

设过点b（1，-2）的直线为y=k（x-1）-2，将其带入函数y=x2中，可得x2-kx+k+2=0。

要求x存在，所以Δ=k2-4（k+2）≥0。故可得，k的取值范围为k≥2+23或k≤2-23，即斜率y的取值范围为y≥2+23或y≤2-23

数形结合方法在解答此题中并没有起到“减负”的作用，反而加大了解答难度，耗费更多的时间，其效果反而不如普通方法简单。

二、 科学运用“数形结合”的有效对策

（一） 制“形”谨慎，追求精准

“形”要辅“数”，必须精准，方能显效，因此我们在进行由数到形的变换绘制图形时，一定要谨慎，确保图像的准确性；尤其在在图像上一些不容易确定的点的关系上，可辅以数值的计算，来保证数形结合方法的准确性和可靠性。

比如对上述例1我们可以这样解答：

将方程的解转化为函数图像的交点。在同一平面直角坐标系中画出y1=sinπx和y2=x4的图象（右图）；并且在x=4.5时，经过计算可得y1=1，y2=1.125，y2>y1，所以两者不相交。由图像可得两个函数在第一象限有3个交点，又由于两者均关于原点对称，所以在第三象限还有三个交点，再加上两者在原点也有交点，所以两者一共有7个交点，故答案选C。

（二） 仔细扣题，数形等价

在进行数形结合的方法时，一定要仔细审题，紧扣题中的数形条件，确保数形转换的等价性；要把题中隐含的或容易被忽略的条件，全都反映到图上，使答案准确无误。

比如例2的正确解答过程就是：

把已知等式化为（sinα-1）2+（sinβ-1）2=1。令u=sinα，v=sinβ，并且-1≤u≤1，-1≤v≤1。则（u，v）的实际轨迹为一小段圆弧。函数t=u+v必与该圆弧有交点，则由图可知t的取值范围为2-2≤t≤1。

（三） 科学思维，合理运用

数形结合是数学解答的科学思维与方法，但并非唯一的途径，我们在运用时要克服盲目、滥用的思想，要对试题进行科学思维，选择解答试题最契合、最有效的原理与思维，方能四两拨千斤、化腐朽为神奇，让学生感受到数学的神奇与快乐。

比如例3并不必须使用数形变换，在原式经过简单变换后便可得到，更为简洁、高效，如下：

式子y=（x2+2）/（x-1）可变形为（x-1）y=x2+2，继续变形为x2-yx+2+y=0，有Δ=y2-4（y+2）≥0。故可得y的取值范围为y≥2+23或y≤2-23。

总之，我们在平时的数学教学中培养学生科学运用数形结合的意识与能力，总结数形结合的规律和方法，才能有效提高自身数学解题上的能力，保障在高考数学中解题质量与效率。

参考文献：

[1]徐金霞.数形结合在高中数学教学中的运用探讨[J].当代教研论丛，2017（6）：58.

[2]司春炎.莫入“数形结合”的误区[J].数学学习与研究，2015（13）：115.

作者简介：

陈健，福建省宁德市，福建省宁德市第五中学。