“画”出精彩的作图世界—— 谈中考几何作图题的复习

余海斌

一、提出问题

纵观2014、2015、2016年的舟山市中考数学卷，均未出现作图题。正当作图题渐渐淡出大家的视线时，2017年的舟山市中考数学卷在第19题出现了一道作图题。作图要求是这样的：用尺规做出三角形的内切圆，内切圆圆心作图掌握的很好，考生对内切圆半径作图痕迹没能很好的作出，考生为了作图痕迹描黑花了不少时间。《2019年浙江省初中毕业升学考试说明》例卷中“仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角”，这道作图题不是一道单一的尺规作图题，是几何推理与作图相融合的新型作图题。用来考察学生的几何探究能力、解决问题的能力。怎样基于学情，有效地进行中考数学的作图复习摆在了我们的眼前。

二、知识整理

“创新画（作）图”题代表了中考数学的一个新变化，它在传统的尺规作图题基础上，既保留了尺规作图的严密的逻辑推理的要求，同时还需要结合几何推理，对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探索。我们的几何作图复习往往是放在第一轮的复习中。对这阶段的复习我们的要求是起点低、落到实处。于是，怎样把这些知识有效地整合，高效地进行复习成为我们几何作图复习中首要考虑的问题。

三、方法突破

尝试用拟开放题的形式予以复习。拟题为：请从下列条件中选出两个作为已知条件，作出一个等腰三角形。（1）腰AB的长；（2）底边BC的长；（3）顶角平分线的长：（4）底边上的高的长；（5）底边上的中线的长；（6）周长；（7）面积。此题建议用小组合作的形式进行复习，先让学生组合出7×6÷2＝21种可能，再把能作出等腰三角形的18种情况，组内分配进行解决，最后由一位同学把组内的做法予以整理汇总并进行交流。同时对学生进行分类要求，对于基础薄弱的同学只要求解决（1）（2）、（1）（3）、（2）（3）这类的做法即可，对于基础中等的同学要求解决除（1）（7）、（3）（6）、（6）（7）以外的15种做法，对于基础好的同学把重心放在（1）（7）、（3）（6）、（6）（7）的作法解决上。这样做的好处是让每一位同学都有事可做，都能量力而行。充分体现了“不同的人学习不同的数学，不同的人在课堂上得到不同的满足”这一数学学习理念。

七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：

如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小.我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB＝PB＇。因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB＇，与直线l的交点就是要求的点P。有很多问题都可用类似的方法去思考解决。

探究：

（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点。连接EP，CP，则EP+CP的最小值是____________；

（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是_____________；

（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小。（不写作法，保留作图痕迹）

四、感悟反思

1.立足教材，课标与考纲 在我们的几何作图复习中，要树立“考纲引领，用好课本”的意识，我们要在领悟考纲的前提下以教材为主，认真再次钻研教材，研读教材，要坚持让学生带着问题上几何作图复习课，不时地问学生，几何作图“考什么”、“怎么考”。

2.面向全体，分层教学 在我们的几何作图复习中，我们还是要有统一认识。对于优秀学生，我们教师要帮助他们完善几何知识与数学思想方法体系，同时提高他们作图的速度与准确度。对于基础较差的同学，尤其是后20%的学生，我们的任务是帮他们再次理解基本概念和基本作图方法，手把手地教他们作图。

3.充分利用学习型小组的力量 在我们的几何作图复习中，其实更适合的是小组合作学习。在完成几何作图后，组员之间可以相互比对、观察，找出同组中的最佳作图，还可以建议各小组的组员利用几何作图的知识进行改题和编题，力争能把旧知识编出新题型，让我们的作图题“旧貌换新颜”，也能提高学生对几何作图复习课的兴趣。

在几何作图的复习中，我们教师要适时让学生领悟联想、类比、转化、数形结合、特殊到一般等数学思想方法，从直观到推理、从推理到论证、由静止到运动，循序渐进地在学生思维训练上下功夫。知识点犹如一盘散沙，只有串成美丽的项链，才会价值连城。我们教师也该为成为别具匠心的“教书匠”而思索、奋进。