基于频响函数综合法的飞轮-轴承-壳体耦合系统扰动力特性研究

刘奥林，贺晓东，华宏星，2，黄修长，2

（1.上海交通大学 振动冲击噪声研究所，上海 200240；2.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海，200240）

飞轮系统是一种动量交换装置，一般由飞轮、轴承组件、壳体组成，由内部无刷直流电机驱动，常用于航天器的姿态控制。飞轮也是航天器平台振动主要的扰动源之一[1]。由于材料特性、机械设计、磨损或腐蚀不均匀以及加工和安装误差，飞轮质量中心和旋转中心不在同一轴线上，高速转动时会产生除正常输出力矩之外的低幅值、宽频带的扰动力，激起飞轮系统的多阶模态，对航天器的成像质量、激光通信等产生重要影响[2]。随着现代航天器向着轻量化、高转速、大扭矩、高精度等方向发展，微振动对在轨航天器的影响越来越大，因此有必要对飞轮的扰动力特性加以研究。

在转子-轴承-基础的有限元建模的研究方面，国内外学者已经开展多项工作。Kumar D[3-4]指出，对于复杂的转子结构如涡扇发动机叶片-转子系统，传统的一维梁单元方法精度不够，甚至二维轴对称单元也不能很好捕捉其复杂的非均匀几何特征。Jeon等[5]采用三维实体单元对涡轮泵的转子-壳体耦合系统进行了分析，并将结果与一维梁单元结果进行了比较，结果表明三维实体单元的结果更加精准。因此，为了获得足够的精度，对复杂转子系统进行建模时应优先考虑采用三维实体单元。在飞轮转子系统动力学建模方面，目前的研究通常将飞轮等效为一个刚性圆盘。周伟勇[6]建立了飞轮-壳体的等效动力学模型，考虑了不平衡质量、结构模态、轴承不规则、非线性刚度和宽带随机噪声等因素，分析了各扰动源对扰动力特性的影响。研究结果表明，当激励中的谐波成分与飞轮的结构模态互相作用时，会造成扰动力的峰值突出。文中飞轮结构等效为一个刚性圆盘，飞轮的结构模态为圆盘支撑在轴承组件上的模态。关新[7]将飞轮转子结构、壳体、轴承作为独立的因素，分析了几种典型扰振源引起的扰动力特性，将飞轮的扰动力特性简化为由转子和飞轮壳体的结构模态引起的扰动放大以及一系列与转速有关的谐波载荷。

目前针对弹性基础对转子动力学特性影响的研究颇丰，但是针对飞轮弹性壳体的考虑仍不充分，并且由于飞轮的转速高，陀螺效应、应力刚化的影响也不可忽略[8]。为提高计算效率，采用频响函数子结构综合方法对飞轮-轴承-壳体耦合系统进行研究。目前频响函数法常用于对静止部件的综合[9]，没有考虑转动部件的陀螺效应等。

本文分别采用三维实体有限单元和频响函数综合法对飞轮-轴承-壳体耦合系统进行建模，获得不同转速工况下考虑陀螺效应时有/无预应力的系统动力学特性以及单位简谐力激励下的扰动力特性。

1 飞轮系统动力学方程推导

如图1所示为飞轮-轴承组件-壳体模型。飞轮系统工作时，飞轮、电机转子和轴承外圈等部件发生旋转，壳体，电机定子和轴承内圈不发生转动。轴承组件可等效为轴承质量和轴承刚度。考虑陀螺效应和预应力时，飞轮-轴承-壳体耦合系统采用三维实体有限单元进行建模，其动力学方程为

其中：M、C和K是结构的质量、阻尼和刚度矩阵；u是节点位移；G是由于结构旋转而产生的“阻尼”矩阵，通常称为陀螺矩阵；Ks是由于结构旋转而产生的应力刚化矩阵；Ω为转速；F为外力矢量。

建立固定坐标系Oxyz，原点O位于旋转轴上，z轴垂直向上并和旋转轴心重合，壳体下表面固定。

图1 飞轮-轴承组件-壳体模型及其有限元模型

为提高建模效率，采用频响函数综合子结构方法对图1所示的耦合系统进行建模。飞轮和轴承组件（包括轴承刚度和轴承质量）共同组成子结构A，子结构B由壳体构成。子结构A和子结构B之间通过单根三向弹簧相连（模拟碟簧），该弹簧的刚度矩阵为KAB，阻尼矩阵为CAB。

子结构A和B的频响函数可以写成

其中，上标A和B表示子结构A和B；下标c表示连接点自由度，i表示内部坐标；x表示内部感兴趣点自由度（如激励点、感兴趣响应点）；H表示频响函数，f表示节点受力。由于发生转动，子结构A频响函数和转速Ω有关，为求得其频响函数矩阵，采用三维实体有限单元进行建模，并分别在连接点自由度和内部点自由度上施加单位力进行响应求解，以获得其频响函数矩阵中的某一行。对于壳体子结构B，采用模态叠加法进行求解（模态阻尼比取为0.001）。

子结构A和B之间的弹簧采用阻抗矩阵进行表示

其中：Z11、Z12、Z21、Z22为子矩阵，由KAB和CAB得到。根据频响函数综合，可得飞轮-轴承-壳体系统的频响函数矩阵为

上式中，子结构A的频响函数已考虑陀螺效应和预应力影响。由于不平衡量只存在于子结构A上，、和都为零，子结构A上受力表达式为

其中：θ为转子初始相位，将式(5)代入式(4)，可以得到响应X。则传递到壳体的扰动力可以表示为

2 数值模型计算

2.1 坎贝尔图

在图1中，轴承沿Ox、Oy和Oz方向的线性刚度分别为5.4×107N/m、5.4×107N/m和1.8×107N/m。碟簧沿Ox、Oy和Oz方向的圆盘弹簧的线性刚度分别为1.1×109N/m、1.1×109N/m和1.1×108N/m。飞轮的材料为钢，材料参数如下：密度为7827.08 kg/m3，弹性模量为 199948×106N/m2，泊松比为0.27。壳体的材料为铝，材料参数如下：密度为2793.55 kg/m3，弹性模量为73084.4×106N/m2，泊松比为0.33。轴承质量为0.65 kg。针对图1模型，求解不考虑/考虑陀螺效应时不同转速下有/无预应力的模态，得到不同条件下的坎贝尔图如图2和图3所示。

图中横坐标表示转速，纵坐标表示频率，每条曲线对应各阶模态频率在不同转速下的变化；过零点斜率为1/60的直线为转速对应的频率，即转频。

据图2可知，不考虑陀螺效应和预应力时，飞轮的坎贝尔图是一些平行的直线，模态频率不随转速发生改变；考虑预应力时，模态频率随转速升高略微上升，但变化幅度不大。这是因为考虑预应力时，由于应力刚化的作用，结构的刚度有所增加，预应力的存在会对飞轮系统模态频率造成影响。

图2 不考虑陀螺效应时飞轮系统坎贝尔图

图3 考虑陀螺效应时飞轮系统坎贝尔图

对比考虑陀螺效应时无/有预应力下的飞轮系统坎贝尔图，可以发现部分模态频率随转速的升高而升高或降低，查看模态振型可知，这些随转速升高发生变化的频率均出现在转动部件飞轮上；而静止部件壳体的频率几乎不随飞轮转速的升高而发生改变，且在有预应力的情况下，转动部件对应的各阶模态频率普遍有所增大。另外，飞轮系统的第一阶临界转速由于考虑预应力而出现上升，因此在对飞轮系统进行设计时，有必要在飞轮系统临界转速对应频率附近进行更细致分析。从图2和图3可知，陀螺效应和预应力对飞轮模态的影响不容忽视。

2.2 模态振型

图4为考虑陀螺效应且有预应力时3000 r/min工况下1000 Hz以内的典型模态振型。壳体设置为半透明以便于观察飞轮在壳体内的运动，结果表明，100.18 Hz和192.11 Hz时为飞轮沿径向的翻转模态，105.68 Hz时为飞轮绕轴向的旋转模态，212.38Hz时为飞轮沿轴向的上下拍打模态，313.88 Hz和535.77 Hz对应壳体的弹性变形，382.77 Hz对应飞轮扭转和径向的耦合变形，873.11 Hz时为轮毂沿轴向的上下振动模态。从以上结果可知，飞轮的模态包括刚体模态、弹性模态、飞轮与轴承和壳体互相作用时的耦合模态。

2.3 传递力结果

在飞轮轮缘处施加了一沿着Ox方向的径向单位简谐力，求解单位简谐力作用下传递给壳体的扰动力大小，扰动力分解为在xOy平面内的径向力（为沿着Ox方向和沿着Oy方向的扰动力平方和开根号）和轴向的扰动力。频响函数子结构综合法和有限元法求得的考虑陀螺效应且有预应力时的结果如图5所示。

可见，在0和3000 r/min时，频响函数子结构综合法结果和有限元法的结果一致，所建立的频响函数子结构综合法可用于求解不同转速工况下考虑陀螺力矩时的子结构和静止子结构的综合，所得结果中考虑了陀螺效应的影响。该子结构方法可应用于压气机多级叶片-转子系统-轴承-机匣的整机动力学建模。

图4 考虑陀螺效应和预应力时3000 r/min工况下飞轮-轴承-壳体典型模态振型图

图5 基于有限元法和频响子结构综合法的传递力计算结果

不同转速工况下径向力和轴向力的结果如图6所示。可见，考虑陀螺效应和预应力时，径向方向的响应大于轴向方向的响应。径向方向上，不随转速发生变化的模态对应的响应也不随转速变化，而随转速发生变化的模态对应的响应也随转速升高发生变化。轴向方向上的响应和径向方向类似。以有预应力时3000 r/min工况下的扰动力结果为例，参考图4中模态可知，100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz对应的模态在径向和轴向都有较为明显的扰动力输出，其中径向的响应远大于轴向，说明在对应频率处扰动力主要沿径向传递。在212.38 Hz和873.11 Hz处，扰动力在轴向有明显的峰值，但是在径向方向没有出现，说明飞轮以轴向振动为主的模态会在轴向上产生较大的扰动力，但是对径向上的扰动力贡献不大。313.88 Hz和535.77 Hz处是壳体的模态，对于目前的模型，对径向和轴向方向上的扰动力影响小。382.77 Hz等对应的模态是轮体的弹性变形，其在扰动力上的传递特征类似于100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz，即扰动力的峰值主要沿着径向传递。

当飞轮旋转时，会产生不平衡质量激励，如果飞轮的模态频率与激振力频率接近，则扰动力会被放大。因此，需要对考虑预应力影响的模态频率进行精确估计，以检查模态频率与激励频率之间的重叠。

图6 不同转速工况下考虑陀螺效应和预应力的扰动力计算结果

3 结语

建立了飞轮-轴承-壳体系统的三维实体有限元模型和子结构动力学模型，获得了飞轮系统在考虑陀螺效应时不同转速工况下有/无预应力的模态结果和扰动力计算结果，得到了以下结论：

(1)考虑陀螺效应和预应力时，随着飞轮转速的增加，模态频率会出现一定的上升，且陀螺效应对模态特性的影响要大于预应力。

(2)扰动力结果对应的峰值既包括不随转速发生变化的飞轮轴向振动模态和壳体模态，也包含随转速发生变化的飞轮径向振动模态。飞轮径向振动模态对飞轮径向扰动力影响显著，飞轮以轴向变形为主的模态对轴向扰动力影响显著。当飞轮旋转时，会产生不平衡质量激励，如果飞轮的模态频率与激振力频率接近，则扰动力会被放大。

(3)所提出的频响函数子结构综合法既能对静止部件进行综合，也能在考虑陀螺效应和预应力情况下对不同转速的旋转部件进行综合。该子结构综合方法可应用于压气机多级叶片-转子系统-轴承-机匣的整机动力学建模。