分数阶偏微分方程求解与优化模型对高温防护服设计的计量分析

王 宝， 朱家明

(安徽财经大学a.金融学院；b.统计与应用数学学院， 安徽 蚌埠 233000)

引 言

高温作业是伴随着高温、高辐射以及高气湿等异常作业条件下致使湿球黑球温度指数(WBGT指数)超过一定标准的作业，通常分为高温以及强辐射作业、高温高湿作业和夏天露天作业三种，通常发生在冶金工业作业、耐火工业作业以及潜水舱作业等情况中，而实际研究结果表明高温作业往往会对人体造成极大的不同程度的影响。在生理功能方面，高温作业会导致肌体损失水分以及人体必需的微量元素，引起消化系统出现消化不良以及肠胃病发病率的提高，由于失水过多也会引发肾功能不全以及蛋白尿等连锁反应；同时也会导致由于产热及受热超过散热引发的热射病，大量脱水导致水与电解质比例失调引发的热痉挛和由于失水造成循环血量减少引发的热衰竭等[1]。高温作业防护服是在高温环境下能够防止人体产生不适的防护衣服，具有阻燃性、聚液性、服装完整性、穿着舒适性等性能[2]。目前开发研制的新型热防护材料有芳砜纶纤维、NomexⅢA等，另外相变材料的应用也成为热防护服研究的热点。热防护服织物的加工方法目前主要是纯纺法、混纺法、涂层加工法和多层织物复合法[2]等，优良的热防护服既要对外界热量具有良好的阻隔作用，又要达到一定的热湿传递能力，以利于人体热量释放和汗液蒸发[1]。但是，目前在热防护服和研究开发中，增强热防护性能与减少人体新陈代谢热负荷总是相互矛盾的，解决这一问题既是对科研工作者的挑战，又是一个机遇。因此高温热防护服设计对高效完成高温作业工作和相关科技研究具有较大意义。

而在近几年已有的研究体系下，国内部分专家学者已对高温传导，热量传递，高温热防护服设计等做了相应研究，探索出了相关结果。但也存在部分不足和局限性。例如，卢琳珍[3]在《多层高温作业防护服装的热传递模型及参数最优决定》中基于变系数抛物型方程建立并验证多层热防护热传递模型。该文对改进的变系数抛物型方程进行收敛性分析并对各层接触面给出合理的处理方式。不足之处是该文并未考虑湿传递对防热服的影响程度；蒋晓颖[4]在《两类空间分数阶扩散方程反问题研究及其在高温作业防护服设计中的应用》中基于空间分数阶热传递模型并综合皮肤层热传递模型对高温环境下防热服的传递问题进行探究。不足之处是考虑的影响因素并不全面，并未考虑到防热服不同层所处的环境不同，是否应采用不同的热传递模型加以描述;余跃[5]在《纺织材料热湿传递数学建模及其设计反问题》对空间分数阶热传递模型进行了理论分析得出该模型适合特定的温度环境。同时该文讨论了不同温度环境下的热传递过程。不足之处是在分数阶方程只能达到一阶的精度，并未解决高阶问题。本文的创新之处在于将之前已研究的局部条件状况进行综合运用，设置环境温度为65 ℃时，工作60分钟且假人皮肤外侧温度不超过47 ℃，超过44 ℃的时间不超过5分钟；以及环境温度为80 ℃时，工作30分钟假人皮肤外侧温度不超过47 ℃，且超过44 ℃的时间不超过5分钟两种模拟实验条件，从不同问题角度使用不同算法进行探讨，在对已有算法基础上针对条件进行简明创新，使算法的使用更加直接简练。

本文通过建立数学模型，研究在高温环境下实验模拟假人皮肤表面外侧温度不断变化时，高温热防护服中材料层温度发生的变化；在已知实际高温作业条件限制下针对高温热防护服材料层厚度设计并优化，为相关热防护服设计和研发提供进一步模型支持。

1 数据来源与假设

本文数据主要来源于2018年全国大学生数学建模竞赛主办方提供。为了更方便对参数进行求解和科学高效的解决问题，特提出以下假设：①高温作业防护服中同一织物层不同方向上具有相同性以及同一织物层中不同区域吸收热量是相同的；②由于其他无关因素如水分和湿度等因素变化导致的高温作业防护服体积变化忽略不计，并将有效曲折系数设为常数；③“环境-服装-皮肤”系统中热传递过程仅考虑热传导与热辐射的传热过程，不考虑其它热传递过程；④高温作业防护服中各织物层在防热过程中未发生熔融与分解；⑤假设高温作业防护服不同织物层的辐射系数固定不变。

2 基于热传导分数阶偏微分方程求解对材料层温度分布研究

2.1 研究思路

专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，记为IV层空隙层。以环境与高温作业防护服接触点为原点，各点与环境的距离为x轴，环境与高温作业防护服接触面为y轴，建立“环境-防护服-皮肤”系统[6]，如图1所示。

图1 “环境-防护服-皮肤”系统

根据已知不同层次的密度、比热、热传导率以及厚度四个指标，可以反映三个层面织物的热传导效率。而要利用已知参数信息对环境温度为75 ℃、Ⅱ层厚度为6 mm、Ⅳ层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的条件下求解Ⅲ层材料层的温度分布，可通过对不同织物热传导效率，环境温度、不同织物厚度以及工作时间等参数研究，将三个织物层次(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)看成一个热传导方式相同但参数不同的系统，考虑织物层热传递过程，同时分析空隙层(Ⅳ)的热传递过程，建立分数阶偏微分方程，对不同时刻的假人身体温度进行刻画。研究思路如2所示。

图2 研究思路流程

2.2 研究方法

在高温环境中，热量主要经过热传导和热辐射作用穿过高温防护服与空气间隙，作用于人体皮肤表层使人体温度逐渐升高，根据物理学中热学相关理论知识对热传导和热辐射做简单相关阐述。

在温度场中某一时刻τ下同一等温线上某点y=f(x,y,z,r)，且在具有连续温度场的情况下，用温度梯度gradt描述过任意一点的最大温度变化率，即

(1)

(2)

k(uxx+uyy+uzz)

(3)

结合能量守恒定律与比热，密度关系，可将Fourier定理改写成[8]：

(4)

另外值得注意的是，在初始阶段，假人皮肤表层温度对防护服第四层同样起着热传导作用，即人体本身温度作为内部热源。同样在dt时间内，在物体内部任何一点所产生的热量为Q(x,y,z,t)，可得出含热源的热传导方程：

(5)

如果时间足够长，温度不再变化，此时u′=0，得到稳定条件下有热源Laplace方程：

▽2u=f

(6)

在对热传导偏微分求解和Fourier定理理解基础上，对于高温高温作业防护服的多层热传递模型，考虑到高温作业防护服在与环境接触的接触面在高温下存在反常扩散现象[9]，基于此物理现象，在热传导求偏微分的基础上考虑使用分数阶偏微分方程的扩散模型[10]，具体表示如下：

①高温作业防护服中的分数阶偏微分方程模型

首先，先考虑高温作业防护服中的热传递，根据高温作业防护服的温度T(α,t)和高温作业防护服左边界与右边界的热辐射建立方程组：

(7)

环境的初值条件：

T(α,0)=T1(α),α∈A

高温作业防护服左边界条件：

(8)

其中，从热源到高温作业防护服过程中产生的热通量为：

(ρ1+ρ2)|α=0=m(T0-T1)

(9)

高温作业防护服中第Ⅰ层与第Ⅱ层的接触面：

(10)

高温作业防护服中第Ⅱ层与第Ⅲ层的接触面：

(11)

高温作业防护服的右边界条件：

(12)

②高温作业防护服与皮肤层之间空隙(即IV层)分数阶偏微分方程模型空隙层的初始条件为：

T(α,0)=T1(α)

空隙层的分数阶偏微分方程模型为：

(13)

2.3 问题求解

针对 “环境-服装-皮肤”系统建立的分数阶微分方程进行数值离散：

前三层织物层的离散为：

其中，i=1,2,…,a1-1；n=0,1,…,N-1。

假设

则：

其中，i=1,2,…,a1-1；n=0,1,…,N-1。

III层织物层的左边界离散：

(14)

假设

则III层织物层的右边界离散：

(15)

空隙层的左边界条件离散：

(16)

空隙层的右边界条件离散：

(17)

2.4 结果输出

热防护服材料主要参数见表1，根据已知参数对已构建偏微分方程进行求解。

表1 热防护服材料主要参数

结合Matlab等数学计量软件计算，初步拟合出方程为：

y=9.093e-9x2-3.031e-5x3+0.03252x+36.72

画出温度分布方程图像，如图3所示。

图3 拟合曲线与已知实验值对比图

由此拟合出在环境温度为75 ℃、Ⅱ层厚度为6 mm、Ⅳ层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的条件下实际作业限制条件下热量传导拟合图，如图4所示。

图4 热量传导拟合图

3 基于非线性优化算法对单层材料层最优厚度研究

3.1 粒子集群算法对最优厚度设计的使用

下面我们在环境温度为65 ℃时，确保工作60分钟假人皮肤外侧温度不超过47 ℃，且超过44 ℃的时间不超过5分钟条件下，确定II层最优厚度。

3.1.1 研究方法

对于内层有如下一维稳态热传递模型：

(18)

对织物外层有：

(19)

T(x)|x=A′=TR

(19)

在上文建立的热传导模型基础上，可得出Ⅱ层热传导过程，结果如下：

(20)

可以确定Ⅱ层的厚度为A2-A1，其中：

α1=0.06 mm,α2=(A1-0.6) mm,

α3=3.6 mm,α4=5.5 mm

第II层的初始条件为：

T(α,0)=(α2,0)=T(A1-0.6,0)

第II层的左边界条件为：

第II层的右边界条件为：

(21)

由题意可得到约束条件为：

T(x,t=3600)≤47 ℃

T(x,t≤3600)≤44 ℃

联立上述方程，可利用Lingo运算得出：α2≥9.2。

第一步：选择阈值ε和最大迭代次数Nmax；每个粒子的初始位置和初始速度分别为：

3.1.2 结论分析

由输出结果可以看出，在环境温度为65 ℃，IV层的厚度确定且等于5.5 mm情况下，在t≤3600s，满足约束条件T(x,t=3600)≤47 ℃，T(x,t≤3600)≤44 ℃，从非稳态到稳态状态和制作成本等角度考虑，Ⅱ层最优厚度可取9.2 mm。

3.2 简单遗传算法对单层材料层最优厚度研究分析

在环境温度为80 ℃时，确保工作30分钟假人皮肤外侧温度不超过47 ℃，且超过44 ℃的时间不超过5分钟条件下，确定II层和IV层的最优厚度。

3.2.1 研究思路

对于当环境温度为80 ℃时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47 ℃，且超过44 ℃的时间不超过5分钟的问题。首先将皮肤外侧温度转化为皮肤热损伤程度的问题，建立反方向理论模型[11]。在热损伤程度与防护服厚度的限制条件下，建立目标函数及离散形式，最后对离散方程进行正则化处理，通过遗传算法求解得到最优厚度。可简化思路如图5所示。

图5 遗传算法思路分析图

3.2.2 研究过程

为了改善高温作业防护服的厚度，采用Henriques积分来做标准[12]。以此为准则，当基底层(这里表示为人体外侧皮肤中间接触面)温度达到44 ℃时，人体皮肤就会发生热损伤。长时间在高温条件下工作，防护服很难满足保持舒适的要求；另外，高温工作人员的人身安全是最主要考虑的事情。因此，提出的反问题目标为皮肤热损伤程度最小或者避免热损伤。为了预测皮肤的损伤程度，将接触面温度代入下面积分：

(22)

其中，积分的时间区间为人体外侧皮肤温度超过44 ℃之后的时间。T取基底层的温度，当基底层满足Ω|x=A1+A3≤1，不会发生热损伤。P和ΔE的值见表2。

表2 P和ΔE的数值分布[14]

以人体外侧皮肤接触面作为目标点，满足Ω≤1即认为没有发生热损伤，将发生热损伤的临界Ω记做Ω·。对于正问题而言，如果知道相应的参数，就可以算出热损伤的程度及时间。那么在反问题中，在给定的工作时间内，保证安全的同时能够使得皮肤损伤程度最小的最优参数，即求L,k，使得：

(23)

当不考虑Ω>Ω*=1的部分，则Ω与Ω=1所围成的面积越大表示着热损伤程度越低，也就是人体外侧温度超过44℃的时间越短。因此将防护服厚度优化的问题转化为下列目标函数：

(24)

这样原来优化函数求最小值就转化成求该方程组的最大值点。

已知在基层处(x=A1+A3)任意时刻的温度T(t)=T(A1+A3,t)， Ω(t)=Ω(A1+A3,t)。这里，选取最优II层和IV层的厚度A2和A4，将Ω(t)改写为Ω(t,A)，其中A=(A2，A4)。由前面分析可知，当Ω<1，人体外侧皮肤没有达到热损伤程度，认为是安全的。我们只在安全前提下讨论反问题。工作时间取30分钟，烧伤程度取Ω*=1，故上述目标函数可改写为：

(25)

改写为离散形式为：

(26)

最优解即为求该方程的最大值点。

3.2.3 问题求解

现实生活中防护服的制造还受到厚度上的限制，例如A2+A4≤Amax=31.4。首先对离散式(10)进行正则化处理，再使用遗传算法进行求解，得到下列目标函数：

(27)

其中，参数β称为正则化参数，该目标函数的解即是满足安全指标与厚度限制的最优解。Qβ(A2,A4)即是该方程的极小值点(A2*,A4*)，称为反问题的正则化解。具体方法表述如下：

①给定工作时间t*=1800 s

②划分情况：Amin=A′

③求解DP，获得Qβ(A2,A4)

对β的处理将对结果产生直接的影响。这里我们采用先验误差，取β=10-6，另外赋值遗传算法的其他参数：个体数目为40，迭代数目为100，变量个数为2，每个变量的25位数字表达为25，代沟数为0.9。这里我们将运行50次的最大值作为最优解，得出A=(10.6,4.2),且Q(A)=0.9906。即II层最优厚度为10.6 mm，IV层的最优厚度为4.2 mm。结合实际研发，可从工作时间和具体工作环境角度进行合理化设计。

4 结束语

本文结合之前高温防护服相关设计研究的基础上，建立了完整的“环境-服装-皮肤”系统热传递模型。考虑到高温作业防护服的左边界处于高温状态时会发生反常扩散现象，基于此现象提出分数阶微分方程的热传递模型并求解得出单层在特定条件下温度分布。在对高温作业防护服最优厚度确定时，以安全性作为指标，结合其他织物层的热传导过程，建立了反问题模型，以最优参数的确定和粒子集群算法来求解最优解。遗传算法作为全局优化算法，不需要深入研究问题的内在特性。对于任意形式的约束与目标函数，无论是连续还是离散，线性还是非线性都可处理。本文总体研究思路、模型建立与求解过程简明有效，具有较强理论和实证性，可为相关高温热防护服设计及其衍生产业发展提供理论依据与实验解释，提供相关参考依据。