一类半阶变型Bessel方程的边值问题解的相似结构及其在石油工程的应用

李顺初， 张红丽， 郑鹏社， 桂钦民

(1.西华大学理学院应用数学研究所， 成都 610039; 2.北京东润科石油技术股份有限公司， 北京 100029)

引 言

某些微分方程的求解十分复杂，因此引起部分学者对如何简化求解过程的思考，并于近年来形成了相似构造理论[1-3]。该理论认为，微分方程的边值问题的解的结构具有相似性，同一定解方程在不同边界条件下的分布具有统一、规范且结构极其简单的表达式，其中外边界条件只改变其解的相似结构式中的相似核函数。自理论形成，便被大量专家学者认可并将之应用到多种微分方程的求解中，其中主要包括二阶齐次线性微分方程[4]、含参数λ的Bessel方程[5]、扩展性Bessel方程[6]、Legendre方程[7]等，使该理论得到了较好的传播。

一类半阶变型Bessel方程广泛应用于油气工程的试井分析中，但目前针对该类边值问题的解的研究却很少，若是将相似构造理论应用于该类方程的求解中，将极大地减少相关分析软件运算量，提高实际工作效率。为此，本文针对一类半阶变型Bessel方程的边值问题进行研究。

x2y″+2xy′-Bx2y=0，x∈(a,b)

(1)

(2)

(3)

其中，B、D、E、F、G、H、a、b为已知实常数且D≠0，G2+H2≠0，并提出了针对该类问题解式的相似构造法。本方法经过严密的数学推导，只需根据定解方程(1)的两个线性无关解，及内边界条件(2)系数和外边界条件(3)系数即可得出相似核函数和解的相似结构，且只需经过简单变量替换，即可将解的表达式应用到一类油气渗流的数学模型中，简化其求解过程，实现试井分析软件效率的提升。仿真结果证明了相似构造法在油气渗流工程数学模型求解中的正确性和有效性。

1 主要定理与其证明

定理1若边值问题(1)～(3)有解，则其通解为：

(4)

其中,

(5)

证明：

方程(1)有两个线性无关的解，

则其通解可以表示为：

(6)

进而可得：

其中M、N为任意常数。

再由内边界条件(2)有：

得到：

(7)

同样，由外边界条件(3)：

得到：

(8)

由边值问题(1)～(3)具有唯一解[8]可知，关于待定系数M、N的系数行列式Δ≠0，经联立求解线性方程组(7)、(8)，求得(7)与(8)的系数行列式Δ:

再根据Gramer法则，求得待定系数M、N：

(9)

(10)

然后将式(9)与式(10)代入式(6)中，得到式(11)：

(11)

结合边值条件组装，便得到边值问题(1)～(3)的解(4)式。由此得到半阶变型Bessel方程的边值问题的解，并且该解具有相似结构。

由定理1可以得到以下在实际应用中起着重要作用的推论。

推论1边值问题(1)～(3)中，若外边界条件(3)变为y=0(即H=0,G≠0)则对应的相似核函数变为:

Ψ(x)=

(12)

推论2边值问题(1)～(3)中，若外边界条件(3)变为y'=0(即G=0,H≠0)则对应的相似核函数变为：

(13)

2 应用举例

相似构造法避免了繁杂的理论推导和工程应用上棘手的求导运算，获得了一个既简单而又行之有效的求解微分方程边值问题的方法。特别是针对渗流模型的求解，对工程技术方面的工作和研究人员来说，该方法易学易掌握更便于应用[9-16]。

例如，对于外边界封闭的均质球向流油藏的Laplace空间数学模型：

(14)

(15)

(16)

(17)

表1 边值问题(1)～(3)和(14)～(16)中参数与变量替换表

符号说明：

C—井筒储集系数,m3/MPa

S—表皮系数(无量纲)

下标：

D— 无量纲；w— 井；i— 初始。

(18)

其中相似核函数为：

Ψ(rD)=

(19)

利用解的相似构造，大大简便了编程的难度，更能直观了解到各个变量如CD,S,RD变化对无量纲井底压力的影响。将一类半阶变型Bessel方程的相似构造法用MATLAB编程实现，并分别分析CD,S,RD中某一个量变化时对无量纲井底压力的影响，程序运行结果如图1～图3所示。图中横坐标表示无量纲时间，纵坐标表示经过Laplace反演后的无量纲井底压力及其导数(变化率)值。

图1 井筒储集系数CD对井底压力及其变化率的影响

图1考虑RD=100，S=1时，CD取不同值时对无量纲井底压力及其变化率的影响。图中的实线、虚线自上向下分别表示CD取为10、20、60、100时的计算结果。

由图2可知，对于外边界封闭的均质球向流油藏的无量纲井底压力，变量CD主要影响流体流动早期，CD越大，无量纲井底压力越低，两者呈负相关关系，且CD越大，中期开始的时间越迟，中期无量纲井底压力均保持稳定，后期逐渐增大。对于无量纲井底压力的变化率，CD主要影响流体流动早期与中期，早期CD越大，无量纲井底压力的变化率越低，两者呈负相关的关系，且CD越大，出现峰值的时间越晚(即流动中期开始的时间越迟)；中期CD越大，无量纲井底压力的变化率也越大，两者呈正相关的关系。

图2 表皮因子S对井底压力及其变化率的影响

图2考虑RD=100，CD=40时，S取不同值时对无量纲井底压力及其变化率的影响。图中的实线、虚线自上向下分别表示S取0、1、4、6时的计算结果。

由图3可知，对于外边界封闭的均质球向流油藏的无量纲井底压力，变量S主要影响流体流动中期，S越大，无量纲井底压力越大，两者呈正相关关系，且S越大，流动中期与后期开始的时间越迟。对于无量纲井底压力的变化率，S也是主要影响流体流动中期，S越大，无量纲井底压力的变化率越大，两者呈正相关关系。

图3 外边界长度RD对井底压力及其变化率的影响

图3考虑CD=90，S=1时，RD取不同值时对无量纲井底压力及其变化率的影响。图中的实线、虚线自上向下分别表示RD取500、800、2000、4000时的计算结果。

由图3可知，对于外边界封闭的均质球向流油藏的无量纲井底压力，变量RD主要影响流体流动后期，RD越大，无量纲井底压力越低，两者呈负相关关系，且RD越大，流动后期开始的时间越晚。对于无量纲井底压力的变化率，RD也是主要影响流体流动后期，RD越大，无量纲井底压力的变化率越低，两者呈负相关关系。

Ψ(rD)=

(20)

3 结 论

(1)提出了针对一类半阶变型Bessel方程边值问题的相似构造法，避免了原来复杂繁琐的求解过程,只需利用定解方程的任两个线性无关的解及外边界条件系数构造相似核函数,再根据内边界条件中的系数所决定的相似结构式进行组装即可获得微分方程边值问题的解。

(2)提出的相似构造法只需经过简单的变量替换即可应用到油气工程的数学模型求解中，极大地简化了相应测试分析软件的编制，提高了软件运行效率。