一类趋化-流体耦合方程组的局部存在性

赵 丽， 侯智博

(西华大学理学院， 成都 610039)

引 言

趋化性(也被称为化学趋向性)是趋向性的一种，指身体细胞、细菌及其他单细胞、多细胞生物依据环境中的某些化学物质的分布而作定向运动。趋化方程组[1]主要是研究细胞或者细菌在有化学物质或营养液中的趋化行为。趋化方程组的代表是标准的Keller-Segel模型[2-4]及其各类变体。经典的Keller-Segel模型主要描述了细胞和化学物质二者之间的相互作用。然而，在实际的生物背景下，细胞自身所处的流体环境也会对趋化运动有影响[4-9]，这一生物现象可以用趋化-流体方程组刻画，如下[5]：

(1)

此处的n表示细胞密度，c表示化学物质、信号的浓度，u和P分别表示流体速度场和相应的压力；系数κ和非线性流体对流项的强度有关；φ表示重力势；趋化灵敏度S(c)和氧气消耗率f(c)是已知的标量函数。对于这类趋化-流体方程组，其局部存在性的研究是后续所有研究的基础，至关重要。文献[10]中，Winkler已证明方程组(1)的解是局部存在的，并在此基础上进一步研究了其解的整体存在性、有界性、大时间行为等。随着大量数学者的研究，文献[11-13]中，Wang等考虑方程组(1)在2、3维的情况下，方程组的解具备整体存在性和有界性。后来Lorz(文献[14])考虑了重力(势力)对细胞的影响和趋化力对流体的影响，考虑一类更符合现实的自封闭趋化-流体耦合模型，提出如下的初边值问题：

(2)

(3)

在上述的假设条件下，本文的主要结果如下：

c∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);W1,q(Ω))

u∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);D(Aα))

t→Tmax

成立。

1 定理1的证明

定理1的证明：证明分三步完成。

(1) 存在性：利用不动点定理，Neumann热半群，Stokes半群和不等式进行估计即可证得。

Step1:先证明Φ是S上映射到自身的算子：

取R>0且T∈(0,1)待定。在

Banach空间：

设Φ=(Φ1,Φ2,Φ3)为如下定义在S上的映射：

Φ1(n,c,u)(·,t)=

u·▽n-▽·(n▽φ)}(·,s)ds

Φ2(n,c,u)(·,t)=

Φ3(n,c,u)(·,t)=

其中,ρ为L2(Ω)上的Helmholtz投射算子。

(4)

(5)

这里运用了D(Aα)嵌入到L∞(Ω)，因此u在L∞(Ω)上有界。

最后，存在C9>0,C10>0,C11(R)>0使得对任意t∈(0,T)。

(6)

结合(4)，(5)和(6)式就可以得到当T充分小时，Φ是从S到S的映射。

Step2:再证明Φ是压缩映射，即证存在0

使得：

以下的估计方法与上面的相类似：

因此可得：

Step1:对方程组(2)中的第一个方程左右两端乘以，对任意t∈(0,T0)得到如下：

(7)

若T00使得对任意t∈(0,T0)

把I1～I5的不等式相加代入(7)得：

(8)

(9)

以下分别对II1～II4进行估计，对任意t∈(0,T0)：

这里运用Poincare′inequality：

结合II1～II4，我们可以得到如下不等式：

(10)

(11)

类似地，我们也对III1、III2、III3进行估计，对任意t∈(0,T0)：

同样结合II1～II3可以得到：

(12)

综上，把(10)、(11)、(12)三个式子相加得：

(13)

y′(t)≤C59y(t)

(14)

这里C59>0的与时间T0有关。

由于y(0)=0，对(14)直接积分可得，在区间(0,T)上y=0，即

因此得出方程(2)的解是唯一。

结合以上三步，最终我们证得了定理1。

2 结束语

本文证明了一类趋化-流体耦合方程组解的局部存在性，主要研究重力对细胞影响(▽·(n▽φ))和趋化力对流体影响(n▽c)这两项对证明局部存在性的影响。既为此类方程组解的长时间适定性奠定了基础，也为更为复杂的模型解的局部存在性证明提供了一个方法基础。显然，对于这类模型在更高维情形下解的局部存在性还要继续研究。