AON众筹模式下产品线设计与信息发布策略研究

刘晓峰，顾 领

(中南财经政法大学工商管理学院，湖北 武汉 430073)

1 引言

随着Kickstarter和Indiegogo这些国外众筹平台的成立，以及美国2011年通过的JOBS法案，众筹作为一种新型商业模式在国外得到了较快发展。从 2009年成立至2014年4月，600多万人在 Kickstarter 资助超过60000个创新项目，资助总金额达10亿美元。目前，尽管我国创意产业尚处于起步阶段，但是随着信用体系的完善和知识产权的保护，广大创意型企业也逐渐开始青睐这类融资模式，作为投资者和消费者的大众也越来越接受这种新型的投资模式和消费方式，大量众筹平台也应运而生并快速发展。根据艾瑞资讯的统计，通过众筹模式的交易规模在2017年有望突破70亿。对企业而言，这种预售型众筹的魅力在于一方面满足了消费者优先获得独特产品的心理，另一方面也可以对市场反馈进行测试。如较早的众筹网站“点名时间”曾成功的发起“能让你永不丢钱包的智能钱夹”，预筹资金1000元，实际融资达101092元。在获取早期生产资金的同时，这种先预定、再生产的模式也极大解决了产品的销售问题。

众多学者对该模式进行了广泛讨论，特别是关于投资人行为的研究是国外研究的一个共同趋势和关注点。然而，众筹这种新型商业模式是否会对产品线设计和价格策略产生影响并未受到广泛关注。和传统产品线设计相比，众筹作为一种筹资模式对生产运作管理的独特影响主要体现在众筹目标的完成需要作为双重身份的潜在消费者共同努力，否则，在没有目标资金的前提下无法实现生产。这种异质投资者之间的相互依赖性不同于传统产品线中的消费者决策，投资者除根据自身对产品的偏好选择相应的产品外，还需要在考虑项目融资成功概率的前提下根据其他人的投资情况，决定自己的投资决策。比如Hu Ming 等[1]的研究表明，部分对产品偏好很高的消费者如果预期到后续项目投资者较少或者投资金额较低，往往会支付更高的价格以保证项目的成功；反之，如果他预期到项目投资者较多或者投资金额较大，则会采取搭便车行为，即使在产品偏好较高情形也会投资较少。

因此，作为一种新型的商业模式，企业在采用众筹进行生产和运作管理过程中，如何将消费者这种相互依赖考虑到产品线设计之中是本文的出发点，这种相互依赖虽然类似于公共物品中消费者共同努力，但由于在产品回报型众筹模式下，根据消费者的不同报价而提供不同的产品，这一点和公共物品有着显著的差异。本文在Ming Hu一文的基础上，进一步结合众筹企业的不同信息发布策略，研究众筹企业如何设计最优的产品质量和价格决策。

2 相关概念及问题设定

作为一种新型的商业模式，众筹的概念至今尚没有统一的界定。Schwienbacher和Larralde[2]从众包(crowdsourcing)的广义概念出发，将众筹视为众包的一种特例，定义众筹为一种借助互联网进行公开募集资金的方式，通过捐赠、预购商品或享有获得回报的权利等方式，对具有特定目的的项目提供资金支持。Burtch等[3]认为众筹是集体评价和大众筹资的独特组合，公众通过投资选择要支持的项目，扮演评价项目的角色。无论是何种定义，都诠释了该模式使得融资方能够直接从广大个体投资者中获得资金支持,而不是从专业投资人或专业的金融投资机构那里获得融资，并且参与众筹的每位投资者只需提供小额资金。

Griffin[4]根据投资回报方式将众筹模式划分为捐赠式、奖励式、债权式和股权式。捐赠式众筹是一种约定投资者在投资后不会获得任何物质或金钱奖励的捐赠合同；奖励式众筹是一种约定投资者在投资后获得有形奖励(如产品)或无形奖励(如感谢)的投资合同；债权式众筹是一种融资方与投资方直接签订、无中介(如银行)的信贷合同；股权式众筹是一种以股份购买合同或收入共享的形式签订的投资合同。在我国法律环境还不成熟的情形下，主流的众筹平台主要以实物回报型为主，并带有部分公益捐款形式，因此本文拟研究这类实物回报型众筹的产品线设计和定价策略。

尽管众筹得到较大发展，然而并非所有提交的项目都能成功的获得融资，众筹平台的项目融资成功率也有显著的差异。因此，众多学者从不同视角探索影响众筹成功的因素，投资人的动机得到了广泛关注。Gerber等[5]基于认知评价理论，从内在和外在两个方面对投资人的动机进行了分析，将投资人的动机归纳为获取奖励(外在)、帮助他人(内在)、融入圈子(内在)和支持一项事业(内在)。Cholakova和Clarysse[6]认为外在动机是驱动投资者参与众筹的主要动机，内在动机对投资者的投资决策作用不显著。Alilison[7]指出内在动机的语言线索(如家庭关系)对投资者的吸引力更大，过多外在动机的语言线索(如风险和收益)会削弱投资者的内在动机。

投资人行为的研究是国外研究的一个共同趋势和关注点。如Bruton等[8]从众筹过程中信息传递的角度对投资人决策行为的影响因子进行了实证分析，他们考虑众筹过程中的动态环境的变化，研究表明前期贡献频率每增加1%，后续投资会减少0.31%。Chris[9]认为众筹投资人面临网络信息过载时，更容易受同群效应的影响，他们很大程度上会以过去相似项目的成败作为投资决策依据。Agrawal[10]发现投资者对已达到80%筹资目标项目的出资意愿是仅达到20%筹资目标项目的两倍，同时指出众筹过程中可能出现羊群效应(Herd effect)。Julie等[11]从社会心理学的角度指出，由于当投资人通过众筹与自己兴趣或想法相似的社区或团体连接时，他们会得到心理或情感上的满足，从而驱动他们更积极地做出投资决策。因此，社会互动对于投资人行为影响的至关重要。我国部分学者也对众筹模式下的投资人行为进行了研究。黄玲等[12]研究了创意众筹的异质性融资激励与自反馈机制；姜昭君等[13]研究了基于参照依赖模型的众筹投融资决策问题；叶芳等[14]研究了众筹参与者的两阶段行为决策问题；郑海超等[15]还研究了投资人的公民行为。

然而，很少有文献考虑众筹模式下的产品线设计。Hu Ming[1]对产品预售型众筹模式下产品的定价策略和产品线设计进行了开创性的研究。该文研究结论表明：和传统的销售模式相比，众筹模式下的产品线策略比单一产品策略更优，而且产品线间的质量差异更小。该结论在产品质量外生时的确成立。其原因是产品质量外生时，当第二个消费者看到第一个消费者报了较高价格时，无论其对产品价值感知的高低，都会报较低的价格，只要能达到企业在众筹模式下预先设定的目标T;而当产品质量内生时，不同的报价会得到不同的产品质量，第二个消费者看到第一个消费者报了较高价格时，除了需要考虑众筹是否会达到预定目标以外，还会根据自身对产品的感知价值选择不同的报价。因此，第二个消费者不一定会始终选择较低价格。在质量内生的情景下，产品线的设计也将显著的不同于质量外生的情景。此外，该文基于完全信息的框架，第二阶段的消费者可以完全了解第一阶段消费者的投资信息，进而做出自己的产品选择，而实际上很多众筹平台很难及时更新消费者的投资信息，这种不完全信息框架下的消费者投资决策将进一步影响产品线的设计和定价策略。

因此，本文在文献[1]的基础上，通过个人理性和激励相容的理论，增加了产品质量内生时第二个消费者决策的约束条件，并结合不同的信息框架，进一步探讨了产品预售型众筹模式下的菜单价格和产品线设计，结果表明在顺序发布策略的众筹模式下，产品线质量并不总比传统机制下产品质量的差异小。特别的，当消费者异质性较低但高保留价格消费比例较高时，众筹模式下产品线的质量差异化更大；而在同时发布策略的众筹模式下，产品线质量差异和传统模式相同，但是价格差异却更大，这些结论为众筹企业在不同信息模式下的产品线设计提供决策参考。

3 模型建立

本文以产品回报型众筹为背景，在产品回报型众筹模式下，众筹发起者一般为企业，本文将筹资方称之为企业；众筹投资方一般为消费者，本文将投资方称之为消费者。在本文中假设企业是风险中性，由于目前大多数平台均采用all-or-nothing的筹资机制来发起项目来为产品筹资，即只有当众筹截止时项目筹集金额达到预设目标T，项目才会启动；否则，项目不会启动，所筹资金将返还给消费者。本文在all-or-nothing筹资机制下讨论企业的菜单价格策略以及相应的产品线质量设计。

考虑一个两阶段市场，众筹活动在两阶段过后即截止。在每一阶段t，都会有一个消费者进入市场，用Bt来表示在t阶段进入市场的消费者，其中t=1,2。假设达到筹资目标金额T启动项目时，两个消费者都必须支持项目，这对于研究消费者之间的协同关系是很重要的。在现实中，大多数众筹项目都会需要许多消费者来支持。对企业而言，越多消费者支持该项目，就能带来强大的规模效应，企业生产成本也就越低，绝大多数的电子产品都属于这一类型。

在消费者进入市场之前，企业必须做出产品质量以及定价策略。本文用Q来代表产品质量，并且假设产品的生产成本为Q2/2，这一假设被学者广泛的用于营销文献中(例如，Guo Liang和Zhang Juanjuan[16])。对于消费者而言，不同的消费者可能有不同的产品感知价值，为了刻画这一异质性，假设消费者的感知价值为独立同分布的两点分布函数，其中Vh=HQ,其概率为α；Vl=LQ，其概率为1-α，这里H>L>0。在第一阶段进入市场的消费者B1会根据自身的产品感知价值做出投资决策，企业观察并决定是否将前期消费者的投资行为发布；消费者B2进入市场，根据自身的产品感知价值以及所能够观察到的B1的投资行为来做出自身的购买决策。假设每一个消费者都是理性的，会根据期望效用理论做出最大化自身效用的决策。本文的博弈顺序为：

(1)企业确定产品质量以及定价策略，并且设定预期筹资金额T；

(2)第一阶段的消费者进入市场并且做出投资决策；

(3)企业观察到第一阶段消费者的行为并决定是否公布这一信息；

(4)第二阶段的消费者进入市场，根据企业发布的第一阶段筹资信息，做出投资决策；

(5)企业根据筹集到的资金，决定是否启动项目并根据报价提供给消费者相应产品。

考虑企业的两种信息发布策略：(1)顺序发布策略：企业在第一阶段末期发布第一个消费者的投资信息；(2)同时发布策略：企业在第一阶段末期不发布第一个消费者的投资信息，而是在临近众筹结束时公布所筹资金。这样，在第一种策略下，第二个消费者可以看到第一个消费者的投资信息而可能采取搭便车行为；而在第二种策略下，第二个消费者无法看到第一个消费者的信息，只能根据自己的产品偏好进行投资。以下分别在这两种情形下考虑企业的最优产品线设计和菜单价格。

3.1 顺序发布策略下的产品线设计

假定企业会同时提供高低两种质量不同的产品QH和QL给消费者进行选择，其价格分别为PH和PL，其中QH>QL，PL≤LQL

采用倒序法来求解最佳策略。在第二阶段，消费者B2根据企业发布第一阶段的信息了解到消费者B1的投资行为并做出自己的购买决策。当B1选择投资PH时，对B2而言，此时由于两种产品的质量和价格不同，消费者选择不同的报价得到期望效用也不同。当B2选择L型产品的期望效用高，则B2会选择L；当B2选择H型产品期望效用高，则B2会选择H型产品。当B1选择PL时，B2要么选择PH，要么放弃购买，因为这时B2选择PL没有意义，项目无法筹得目标资金，不会启动。

在第一阶段，若消费者B1的最高保留价格为LQ，则其始终会选择报价PL；若消费者B1的最高保留价格HQ，则其会在两种产品中进行选择：当其选择PL时，会获得消费者剩余HQL-PL，项目成功的概率为α；当其选择PH时，会获得消费者剩余HQH-PH，项目成功的概率为1。当B1为H型消费者时，根据激励相容理论，只有满足如下条件B1才会倾向于选择PH而不是PL：

α(HQL-PL)≤HQH-PH

(1)

由此可以得出：PH≤HQH-α(H-L)QL，又因为PL≤LQL，企业为了自身利润最大化，会选择PH=HQH-α(H-L)QL，PL=LQL。以下分别分析消费者B2选择QL和QH时的产品线设计。

(1)B2选择QL的情形。当B1为H型消费者且选择H型产品时，根据激励相容理论，若要B2选择L型产品，其消费者期望效用要大于选择H型产品时的期望效用，即有约束条件：

HQL-PL≥HQH-PH

(2)

(Ⅰ)如果1≤H/L≤(1+α)/α时，则企业提供的两种不同的产品分别为：

(QH,PH)=(H,H2-α(H-L)(L-α(H-L)))，(QL,PL)=(L-α(H-L),L)

(3)

(Ⅱ)如果H/L≥(1+α)/α时，则企业提供的两种不同的产品分别为:

(2)B2选择QH的情形。当B1为H型消费者且选择H型产品时，根据激励相理论若要H型的B2消费者选择H型产品，则其消费者期望效用要大于选择L型产品，即有约束条件:

HQL-PL≤HQH-PH

(4)

再将以上PH=HQH-(H-L)QL，PL=LQL代入利润函数，由一阶条件，分别对QL和QH求一阶导数，可得QH=H，QL=((2-α)L-H)/(1-α)。令QL=0，可求得临界值H/L=2-α。因此，根据该临界条件可以得到：

(Ⅲ)如果1≤H/L≤2-α时，企业提供的两类产品分别为:

(QH,PH)=(H,H2)，(QL,PL)

(5)

(Ⅳ)如果H/L≥2-α时，企业提供的两类产品分别为:

通过对以上不同价格策略下的利润进行比较，可以得到以下结论：

定理1在顺序发布策略下，企业应根据H/L以及α的范围进行最优产品线的设计，具体而言：

证明：见附录。

图1 顺序发布策略最优产品线设计

从以上图1可以看出，企业的最优产品线设计依赖于消费者的异质性程度和高保留价格消费者所占比例两个维度。在区域Ⅰ时，消费者的异质性较高，高保留价格消费者的比例也较高，企业应该只提供高质量的产品而不提供低质量的产品，此时的产品线质量差异为H；在区域Ⅱ时，消费者的异质性较低，而高保留价格消费者的比例较高，企业应分别提供两种不同质量的产品，两者的质量差异(2-α)(H-L)/(1-α)；在区域Ⅲ时，高保留价格消费者的比例较低同时消费者异质性较高，或者高保留价格消费者的比例较高而消费者异质性较低时，企业也应该提供两种不同质量的产品，但两者的质量差异(1+α)(H-L)≤(2-α)(H-L)/(1-α)。由于各种情形下高质量的产品质量均为H，因此，产品线的质量差异来自于对低质量产品的不同质量设计，对低质量产品质量的扭曲程度随着高保留价格消费者比例的增大而增大，其主要目的是通过不断降低低质量的产品质量，使得高保留价格的消费者选择高质量产品。

3.2 顺序发布策略下产品线质量与传统模式下产品线质量的比较

在传统模式的产品线设计中，最优的产品的质量以及相应的价格：有以下引理(Hu,引理2)

引理：在传统的产品线设计中，最优策略为：

(1)如果1≤H/L≤1/α，则最优的产品线设计为：

(6)

(7)

(2) 如果H/L>1/α，则最优的产品线设计为：

(8)

为比较众筹模式下产品线与传统模式设计下产品线的区别，根据定理1中的产品线设计，将引理中传统模式下产品的质量差异与众筹模式下产品线质量的差异进行对比可以得到以下结论：

定理2在顺序发布策略下，众筹模式和传统模式下产品线质量差异的大小取决于高保留价格消费者比例以及消费者异质性程度，具体而言：

(1)区域Ⅰ:当H/L≥1/α时，众筹模式和传统传统下产品线的质量差异相同；

(2)区域Ⅱ: 当α∈(0,b]，c≤H/L≤1/α，或者α∈[b,1]，d≤H/L≤1/α时，众筹模式下产品线质量差异更大；

(3)区域Ⅲ：当α∈(0,b]，1≤H/L≤c，或者α∈[b,1]，1≤H/L≤d时，传统模式下产品线质量差异更大。

证明：见附录。

图2 顺序发布策略众筹模式和传统模式产品线质量差异的比较

从以上图2可以看出，在区域Ⅰ和区域Ⅲ中，众筹模式下的产品线质量与传统模式下产品质量的差异相同或者更小。然而，和Ming Hu不同的是，众筹模式下的产品线质量并不总是比传统模式下产品质量的差异更小，如图形中区域Ⅱ所示：当α∈[0,b]，c≤H/L≤1/α，或者α∈[b,1]，d≤H/L≤1/α时，即消费者异质性较低而高保留价格消费者的比例较高，或者消费者异质性较高而高保留价格消费者的比例较低时，众筹模式下产品线的质量差异化更大，其主要原因是当消费者异质性处于较低水平时，高保留价格消费者更关注众筹项目的成功率，而不会偏离均衡而报一个较低的价格以获取更多的消费者剩余。这样，在高保留价格消费者出现概率较大时，企业可以更低成本的向下扭曲低质量产品的质量，以确保高保留价格消费者都会选择高质量产品而放弃低质量产品。因此，在此情形下，相对与传统模式下的产品线质量差异，众筹模式下的产品线质量差异更大。

3.3 同时发布策略下的产品线设计

当企业采用同时发布策略时，第二个消费者无法知道第一阶段消费者的投资情况，因此，只能和第一个消费者一样，按照自己对产品的偏好进行投资。此时的纯策略均衡为H型消费者选择H型产品，L型的消费者选择L型产品，相应的约束条件α(HQL-PL)≤(HQH-PH)。由此可以得出：PH≤HQH-αHQL+αLQL，又因为PL≤LQL，企业为了自身利润最大化，会选择PH=HQH-αHQL+αLQL，PL=LQL。

(9)

因此，可以得到以下在同时发布策略下的产品线设计：

定理3在同时发布策略下，企业的最优产品线设计为：

(1)如果1≤H/L≤1/α，则最优的产品线设计为：

(QH,PH)

(10)

相应的最优利润为：Ωsim=[α((1-α+α2)H2-2αHL+L2)]/(1-α)；

(2)如果H/L>1/α，则最优的产品线设计为：

(11)

相应的最优利润为：Ωsim=αH2。

通过将以上定理3和引理进行比较可以看出，此时的产品线质量设计相同，两者的质量差异也是一致的，都是在异质性较高且高保留价格消费者比率也较高时，只提供高质量的产品；否则，同时提供两种不同质量的产品。和传统模式下产品线设计不同的是价格差异，当消费者异质性程度较低时(1≤H/L≤1/α)，众筹模式下产品线的价格差异比传统模式下的价格差异更大:

(12)

由于此时低质量产品的价格相同，以上(12)式进一步表明在众筹模式下，企业可以在相同质量的情形下，设置比传统模式更高的价格以获取最大化收益，其主要原因是高保留价格的消费者为了项目的成功，可能会愿意支付更高的价格。和定理2类似，可以得到以下结论：

定理4在同时信息发布策略下，众筹模式和传统模式下产品线的质量差异的相同，但众筹模式具有更大的价格差异。

之所以产品质量相同，而企业可以在众筹模式下制定更高的价格，其原因可能是在相对于传统模式，众筹模式下消费者更关注项目的成功率，从而愿意付更多的价格以保证项目的成功。因此，即使在提供相同质量水平的情形下，企业依然可以相对传统模式制定较高价格以最大程度获取高保留价格的消费者剩余。

3.4 顺序发布策略与同时发布策略的利润比较

通过将定理1和定理3中的利润函数进行比较可以得到企业的最优信息发布策略：

定理5众筹模式下企业采用同时发布策略优于顺序发布策略。具体而言，当消费者异质性较高并且高保留价格消费者比例也较高时，两种发布策略的利润相同；当消费者异质性较低并且高保留价格消费者比例也较低时，同时发布策略优于顺序发布策略。

证明：见附录。

图3 众筹模式下顺序发布策略和同时发布策略的利润比较

当H/L≥1/α时，同时发布策略和顺序发布策略下的产品线设计相同，都是只向高保留价格的消费者提供产品，而放弃低保留价格的消费者，此时企业可以获取较高的利润；然而，当1≤H/L<1/α时，顺序发布策略下第二阶段的消费者可以根据第一阶段消费者的投资情况决定自身的投资水平，特别的，在某些情形下高价值的消费者可能采取搭便车的策略而选择低价值的产品，进而导致企业利润的损失。而在同时发布策略下，由于众筹方没有在第一阶段末期公布第一阶段消费者的投资情况，因此第二阶段的消费者无法了解到第一阶段消费者的投资水平，自然也就无法通过搭便车行为增加自身的消费者剩余，从而可以有效的避免这些高保留价格消费者搭便车行为所导致的损失。因此，在同时发布策略下的利润优于顺序发布策略的利润。

4 结语

在“互联网+”时代，众筹作为一种新型的商业模式，正日益成为众多商家筹集资金和开发创意产品的手段。本文通过两阶段博弈理论模型，结合不同的信息发布方式，考虑了众筹方采用不同信息发

布策略的产品线价格和质量设计。研究表明在顺序发布策略下产品线的质量差异化程度依赖于不同的市场情形，具体而言：当消费者异质性很大同时高保留价格消费者的比例很高时，产品线质量差异和传统模式下产品质量差异相同；当消费者异质性较小并且高保留价格消费者的比例较低时，产品线质量差异比传统模式下产品质量差异更小；当消费者异质性较小而高保留价格消费者比例较高时，产品线质量差异比传统模式下产品质量差异更大。另一方面，在同时发布策略下产品质量的差异化程度和传统模式下产品质量差异相同，但价格差异比传统模式下的价格差异更大；最后，相对于顺序发布策略而言，同时发布策略下由于极大程度的降低了投资人可能的搭便车倾向，因而众筹方可以获取更大收益。

本文也存在一定的局限性，如本文将众筹过程简化为两个阶段和两个不同的参与者。事实上，本文的结论在多个消费者和多个阶段也是成立的，只是计算过程将更为复杂；第二，本文假设参与者之间没有信息交流，而很多网站中设置了众筹参与者的讨论区，因此，消费者之间的信息交流可能会对本文的结果产生一定的影响；第三，本文假设消费者为完全理性的自利人，如果消费者存在利他行为将可以进一步减少消费者搭便车的倾向而增加众筹方制定高价的可能性；最后，本文只考虑了菜单价格策略，将其与单一价格、动态价格进行比较以制定最优的价格策略，这些都可能是未来的研究方向。

附录：

定理1的证明：

(1)当H/L≥(1+α)/α时，

(2) 当2-α≤H/L≤(1+α)/α时，

该抛物线是开口向下，且在[2-α,(1+α)/α]单调递减。

ΔΩ(2-α)=α(2-α)L2(α4-2α3+4α2-4α+1)/2

令f(α)=α4-2α3+4α2-4α+1=(α-1)(α3-α2+3α-1)，对其求一阶导有：f′(α)=4α3-6α2+8α-4，求二阶导有：f″(α)=12α2-12α+8>0，因此一阶导数单调递增，且f′(α)在(0,1)上的值域为(-4,2)。假设a为f′(α)=0在(0,1)的解，则f(α)在(0,a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，又因为f(0)=1，f(1)=0，因此在(0,1)上存在唯一一点b使得f(α)=0即使得α3-α2+3α-1=0，此时ΔΩ(2-α)=0。由此可知，当α∈(0,b)时，ΔΩ(2-α)>0；当α∈(b,1)时，ΔΩ(2-α)<0。

①当α∈(b,1)时，ΔΩ(2-α)<0，又因为ΔΩ在[2-α,(1+α)/α]单调递减，因此ΔΩ在[2-α,(1+α)/α]上始终小于0。

(3)当1≤H/L≤2-α时，

该抛物线是开口向下，且对称轴位于(1,2-α)之间,ΔΩ(1)=0;

令g(α)=α3-α2+3α-1，一阶导数有g′(α)=3α2-2α+3在(0,1)上的值域为(8/3,4)，g(α)在(0,1)上单调递增且其值域为(-1,2)。由此(0,1)存在唯一解b使得α3-α2+3α-1=0。因此，当α∈(0,b]时，ΔΩ(2-α)≥0；当α∈(b,1)时，ΔΩ(2-α)<0。

①当α∈(0,b]时，ΔΩ(1)=0，ΔΩ(2-α)≥0，又因为抛物线在(1,2-α)上先增后减，所以当H/L∈[1,2-α]时ΔΩ≥0。

定理2的证明：

通过以上定理1和引理可以得到：当H/L≥1/α时，两种机制下的产品线一样；

当α∈(0,b]，c≤H/L≤1/α时，或者当α∈[b,1]，2-α≤H/L≤1/α时，

当α∈[b,1]，d≤H/L≤2-α时，

当α∈(0,b]，1≤H/L≤c，或者α∈[b,1]，1≤H/L

≤d时，

从而定理2得以证明。

定理5的证明：

(1)当H/L≥1/α时，两者利润相同；

(2)当α∈[0,b]，c≤H/L≤1/α或α∈(b,1]，d≤H/L≤1/α时，

(3)当α∈[0,b]，1≤H/L≤c或α∈(b,1]，1≤H/L≤d时，

Ωsim-Ωseq={α((-α4+3α3-α2+α)H2+2α2(α2-2α-1)HL-(α-3α2-α3+α4)L2)}/2(1-α)

令f(y)=(-α4+3α3-α2+α)y2+2α2(α2-2α-1)y-(α-3α2-α3+α4)

当α∈[0,1]时

因此，二次函数在当α∈[0,b]，1≤H/L≤c或α∈(b,1]，1≤H/L≤d时单调递增，这样

Ωsim-Ωseq>f(1)=0

(4)当α∈[b,1]，d≤H/L≤2-α时，

令f(y)=-(1-α2)y2+4(1-α)y-(α2-4α+3).

当α∈[b,1]时，-(1-α2)<0；Δ>0；2-α≥2/(1+α)≥1。因此，二次函数在当α∈[b,1]，d≤H/L≤2-α时，如果2/(1+α)≤d，那么二次函数单调递减，这样

Ωsim-Ωseq>f(2-a)>0

如果2/(1+α)>d，那么二次函数先递增，然后递减，这样二次函数极小值在端点出取得：

Ωsim-Ωseq≥f(d)>0

从(1)-(4)的分析可以得到定理5成立。