有限的教材，合理的使用

刘宸

摘 要：一直以来，尺规作图都是教学的难点，一方面是内容过于抽象，对学生的推理能力和逆向思维能力要求较高，另一方面，部分教材对尺规作图的编排顺序存在缺陷，不能很好地贴合学生学情[1].作为一线教师，应当深刻领会教材的编写意图，对教学内容有所加工，合理地使用教材.笔者以"画一个角等于已知角"的教学为例，结合苏科版数学教材的设计，阐述对这部分内容教学的想法。

关键词：教材设计;教学设计

一、苏科版教材设计与分析

（一）教材设计。"画一个角等于已知角"出现在苏科版教材七年级上册第六章第二节的第二课时， 是在理解了角的有关概念、认识角的表示和常用的度量单位之后学习的内容.通过本课时的学习，要求学生会用三角尺、量角器、直尺和圆规等画图工具画一个角等于已知角，在折纸活动中理解角平分线的概念，并会用"因为...所以..."的方式进行简单的计算，推理.教材在没有学习三角形全等的条件的情况下安排了这一内容，给出了规范的尺规作图的作法书写，分五步呈现，并让学生进行模仿.教师教学用书给出如下建议：在"用量角器画一个角等于已知角"的基础上，引导学生分析图中点D的位置：点D在量角器的边缘弧上，并且与点C的距离随着角的大小的确定而确定.通过观察、探索、交流活动，引导学生归纳"用直尺和圆规作一个角等于已知角"的操作步骤.最后阅读作图步骤，画出相应图形.[2]

（二）优势分析。教学设计探究性强.课本在尺规作图之前进行了旧知铺垫，让学生回顾用量角器画一个角等于已知角其实质是利用量角器的刻度，确定另外一条射线上的点，学生容易分析出作一个角等于已知角的关键是确定角的另一边上除顶点外的任意一点，对学生作图思路的形成有好处.摈弃传统教学中的灌输模式，体现《标准》提出的"在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理"的要求.

（三）缺陷分析

1.内容呈现顺序不当。"用尺规画一个角等于已知角"的原理是构造了一对全等三角形（SSS），使其中一个三角形含有已知角，利用全等三角形的对应角相等这一性质，而教材将这一内容置于"探索三角形全等的条件"之前，使得该尺规作图缺乏理论支持.学生知其然却不知其所以然.

2.教学容量大。在尺规作图之后，紧接着安排了角平分线的概念和求角的计算，并要求学生用"因为...所以..."的表达方式进行简单说理.由于学生初学几何，对尺规作图和几何语言的书写需要适应的过程，一课时难以完成诸多教学目标.本课时应分为两节课来上，第一节课围绕"作图"展开，第二节课围绕"求角"展开.

二、笔者的教学设计

（一）活动一 用一副三角尺可画哪些特殊角

第一层次：90°，45°，30°，60°这些三角尺自身的角.

第二层次：拼接形成的角度.将三角尺拼成下图，得到两个特殊角度75°和15°.

学生可以报出很多特殊角度，教师让学生尽可能将能拼出的特殊角度找全，并按由小到大的顺序排列.

第三层次：学生归纳得出"用一副三角尺可以画出0°到180°之间的所有15°的整数倍数的角".

问题1 观察找到的特殊角度，有什么共同特征？

让学生独立思考30秒，得出都是15°的倍数.

问题2 在平角180°以内15°的倍数只有你画的这些角度吗？

问题设置的意图是让学生将没找全的角度找全，验证自己的猜想，如果已经找全，则略过.

（二）活动二 用量角器画一个角等于已知角。问题3 用一副三角板只能画出0°到180°之间的所有15°的整数倍数的角，如何画0°到180°之间的任意一个角？

学生回答用量角器.

问题4 请你画一个角等于∠AOB

学生在小学已经接触过，用量角器即可完成.先量出∠AOB的度数，再任意画一条射线O'B'，将量角器的零刻度线对准O'B'，点O'與量角器的中心点重合 ，在量角器相应刻度位置描出一个点A'，连结O'A'并延长 ，则图2就是所要画的角.

问题5 你能说明用量角器画图的原理吗？（先独立思考，再小组讨论）

其画图的原理是角的定义：角是由两条具有公共端点的射线所组成的图形.我们可以先任意画一条射线DE，要画∠A'O'B'=∠AOB，关键是确定另一条边O'A'，而要确定射线O'A'，只要确定该射线上除顶点外的任意一点，此时量角器的边缘弧完成了寻找这一点的任务.即根据角的定义最终转化为已知一条射线O'A'，确定一个点A'.

（三）活动三 探究如何用直尺和圆规作一个角等于已知角。数学史料：古希腊人的作图方式比较特殊，几何作图全靠手画，难度很高.辅助画图的机械工具不是没有，只不过希腊人认为这些工具过于依赖感官上的直觉而不太依赖思想上的真理，使用起来颇有在神灵面前作弊的感觉，因此不太瞧得上.希腊人合法的作图工具只有两个，直尺和圆规，因为在他们看来，直线和圆是最基本的几何图形.这里的直尺跟我们印象中的直尺不太一样，它没有刻度，也就是说只能画线，无法度量长短.希腊人的作图方法因此被称为尺规作图法.

通过介绍尺规作图的由来，调动学生学习积极性.[3]

问题6 若不用量角器，像古希腊人一样只用直尺和圆规，你能画出∠A'O'B'吗？

在活动二的铺垫下，学生容易分析出作一个角等于已知角的关键是确定射线O'A'除O'点外的任意一点.但学生仍然难以形成作图思路，这需要全等三角形的有关知识.此时对学生的要求不宜过高，要靠细致的讲解让学生看清每一步操作并学会模仿，等到学生学过全等三角形的相关知识再回顾这个问题，螺旋上升，让学生在不同的阶段有不一样的收获.

教师让学生拿出直尺和圆规，自己在黑板上板演步骤，学生在草稿纸上模仿.

作法：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧分别交OA、OB于点C、D.

2.作射线O'A'，以点O'为圆心，以OC为半径画弧C'E交O'A'于点C'.

3.以点C'为圆心，以CD长为半径画弧，交弧C'E于点D'.

4.过点D'，作射线O'B'.∠A'O'B'是所求作的角.

操作步骤结束后，让学生回顾体会每个步骤的目的和意义，加深理解.

问题7 现在你能独立完成书上的做一做吗？

让学生再画一个角等于已知角，加深对步骤的印象.

（四）小结

问题8 你学會了哪些画一个角等于已知角的方法？

问题9 如何运用直尺和圆规作一个角等于已知角？在这个过程中，你是如何探索"作法"步骤的？

三、教学后记

笔者连续两年从事初一数学的教学，第一次教这部分内容时感觉书本内容的编排不合理，学生能理解吗？于是只是照本宣科，教学效果不佳，第二次教学时改变了教学思路，认真研读教师参考用书，并查阅相关资料，讲解步骤之前融入了一些数学史料，提高了学生学习的积极性.尽管学生仍然不知道这个尺规作图的原理是利用全等三角形的性质，但通过讲解，反思，再次操作的过程，不少学生记住了画法，至于原理，等到学过全等之后再回顾，相信大了一岁的学生们会顿悟：原来我当初是画了一对全等三角形！我想这就是教材编者将内容放置在七上的原因，先初步感受，等八上再螺旋上升，让学生在不同的阶段有不一样的体会.

尽管教材呈现给我们的文字、图片十分有限，但是背后所蕴藏的深意值得我们去挖掘，它们留给我们思考的空间是无限的，我们应学会合理加工，创造性地使用教材，以达到良好的教学效果.

参考文献：

[1]詹金芳 方玉芬 郑志奎知其然 知其所以然"然"何而来--"作一个角等于已知角"的教材分析及作图思路分析[J].中学数学杂志，2011，8.

[2]杨裕前 董林伟.义务教育教科书 数学 七年级上册[M].南京：江苏科学技术出版社，2012，6.

[3]唐小谦.欢乐品数学：爱上你眼中的魔鬼学科[M].北京：清华大学出版社，2018，8.